Kesir Problemleri Konu Anlatımı

Kesir problemleri nedir?

KPSS'de kesir problemleri her yıl en az bir soruyla karşımıza çıkar ve yüzde, kâr–zarar, havuz gibi pek çok problem türünün de temelini oluşturur. Bu sorularda bir bütünün (para, kitap, sınıf mevcudu, depo, yol...) belli kesirleri harcanır, okunur, boşaltılır ya da paylaştırılır; bizden bütünü ya da bir parçayı bulmamız istenir.

Konunun özü tek cümledir: Bütün 1'dir. Bütünün \(\frac{a}{b}\)'si kullanıldıysa geriye \(1 - \frac{a}{b}\) kalır. Soruların neredeyse tamamı "hangi parça hangi sayıya karşılık geliyor?" sorusunu yanıtlamaya dayanır.

Temel kurallar ve formüller

Bir sayının kesrini bulma

"Bir sayının \(\frac{a}{b}\)'si" demek, sayıyı \(\frac{a}{b}\) ile çarpmak demektir. Pratik yol: sayıyı paydaya böl, payla çarp.

\[A \text{ nin } \frac{a}{b} \text{ si} = A \cdot \frac{a}{b}\]

Örnek: 240'ın \(\frac{3}{8}\)'i: \(240 \div 8 = 30\), \(30 \cdot 3 = 90\)

Kesri verilen sayının tamamını bulma

Bir sayının \(\frac{a}{b}\)'si B ise sayının tamamı, B'nin \(\frac{a}{b}\)'ye bölünmesiyle bulunur. Pratik yol: "\(\frac{2}{5}\)'i 36 ise \(\frac{1}{5}\)'i 18, tamamı (\(\frac{5}{5}\)'i) 90'dır."

\[A = B \div \frac{a}{b} = B \cdot \frac{b}{a}\]

Tamamının kesirleri ve kalanın kesirleri

• Kesirlerin hepsi bütüne (tamamına) göre verilmişse kesirler toplanır, bütünden çıkarılır.
• Bir kesir "kalanın" kesri olarak verilmişse önce kalan bulunur, sonra kalanla çarpılır.

\[\text{Tamamının: } 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{5}{12}\]

\[\text{Kalanın: } \left(1 - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2}\]

Örnek: Parasının \(\frac{1}{3}\)'ünü, sonra paranın \(\frac{1}{4}\)'ünü harcayan kişiye paranın \(\frac{5}{12}\)'si kalır.
Parasının \(\frac{1}{3}\)'ünü, sonra kalan paranın \(\frac{1}{4}\)'ünü harcayan kişiye ise paranın \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1}{2}\)'si kalır.

Bütüne paydaların EKOK'u kadar değer vermek

Kesirlerle uğraşmak istemiyorsan bütünü, paydaların EKOK'u kadar parça kabul et. Örneğin paydalar 3 ve 4 ise bütüne 12x (ya da 60 gibi uygun bir kat) de; bütün kesirler tam sayıya dönüşür.

Örnek: Bir kitabın \(\frac{1}{3}\)'ü ilk gün, kalanın \(\frac{1}{4}\)'ü ikinci gün okunuyor. Kitaba 12x sayfa diyelim:
İlk gün \(4x\) okunur, \(8x\) kalır. İkinci gün \(8x\)'in \(\frac{1}{4}\)'ü olan \(2x\) okunur, \(6x\) kalır.
Kalan \(6x\), kitabın \(\frac{6x}{12x} = \frac{1}{2}\)'sidir.

Soru tipleri ve yöntemler

1. Parçadan bütüne gitme

Hangi kesrin hangi sayıya karşılık geldiği bulunur, önce birim kesre (\(\frac{1}{b}\)), sonra bütüne gidilir. "Erkekler kızlardan 6 fazla" gibi fark verilen sorularda iki kesrin farkı o sayıya eşitlenir.

2. Ardışık harcamalar (tamamının ya da kalanın)

Önce "tamamının mı, kalanın mı?" diye sor. Tamamının kesirlerini topla; kalanın kesirlerinde kalan kesirleri çarp. Sonunda kalan kesir, verilen sayıya eşitlenir.

3. Sondan başa çözüm (ters işlem)

Kesirlerin yanında "150 TL daha harcadı", "10 litre ekledi" gibi sabit miktarlar da varsa en kolay yol sondan başa gitmektir. Her adım ters çevrilir:

• Harcama → toplama, ekleme → çıkarma
• "Kalanın \(\frac{1}{4}\)'ünü harcadı" → geriye \(\frac{3}{4}\) kaldı; önceki miktar = kalan \(\div \frac{3}{4}\)

4. Doluluk (depo, bidon, tanker) problemleri

Depoya eklenen ya da depodan alınan miktar, doluluk kesirlerinin farkına karşılık gelir. "Depo \(\frac{2}{5}\)'ten \(\frac{7}{10}\)'a çıktı" ise eklenen su deponun \(\frac{7}{10} - \frac{2}{5} = \frac{3}{10}\)'udur. "İçindekinin" kesri ile "deponun" kesri karıştırılmamalıdır: içindekinin kesri, içindeki miktarla çarpılır.

5. Kesirleri eşit olan çokluklar

"A'nın \(\frac{2}{3}\)'ü, B'nin \(\frac{3}{5}\)'ine eşittir" türü sorularda iki ifade ortak bir k sayısına eşitlenir; A ve B, k cinsinden yazılır. Pratik yol: A'ya paydaların çarpımıyla uyumlu bir sayı ver.

\[\frac{2}{3} A = \frac{3}{5} B = k \Rightarrow A = \frac{3k}{2}, \quad B = \frac{5k}{3}\]

6. Paylaşım, eşitlenme ve sıçrayan top

• Para verince eşitlenme: Veren kişinin parası azalır, alanınki artar; son durumda iki ifade eşitlenir.
• Kesir ve fazladan tutarla paylaşım (miras): Her kişinin payı adım adım yazılır; en son kişinin aldığı sabit miktardan geriye gidilir.
• Sıçrayan top: Top her seferinde bir önceki yüksekliğin \(\frac{a}{b}\)'si kadar sıçrar. İlk bırakılıştaki iniş tek, sonraki her sıçrama için çıkış ve iniş yani iki kat yol alınır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. Bir sınıftaki öğrencilerin \(\frac{4}{9}\)'u kızdır. Sınıfta 20 erkek öğrenci olduğuna göre kız öğrenci sayısı kaçtır?

Çözüm: Kızlar sınıfın \(\frac{4}{9}\)'u ise erkekler \(1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\)'udur.
\(\frac{5}{9}\)'u 20 ise \(\frac{1}{9}\)'u \(20 \div 5 = 4\) öğrencidir.
Sınıf mevcudu: \(9 \cdot 4 = 36\)
Kız öğrenci sayısı: \(4 \cdot 4 = 16\)

Kontrol: \(16 + 20 = 36\) ve \(36 \cdot \frac{4}{9} = 16\).
Cevap: 16

• Benzer soru: Kız oranı bilinen sınıftaki erkek sayısı

Örnek 2. Bir sayının \(\frac{3}{8}\)'i 45'tir. Bu sayının \(\frac{5}{6}\)'sı kaçtır?

Çözüm: \(\frac{3}{8}\)'i 45 ise \(\frac{1}{8}\)'i \(45 \div 3 = 15\), sayının tamamı \(15 \cdot 8 = 120\)'dir.
120'nin \(\frac{5}{6}\)'sı: \(120 \div 6 = 20\), \(20 \cdot 5 = 100\)

Kontrol: \(120 \cdot \frac{3}{8} = 45\).
Cevap: 100

• Benzer soru: Dörtte üçü bilinen kumaşın altıda beşi

Örnek 3. Bir sınıftaki öğrencilerin \(\frac{5}{9}\)'u erkektir. Erkek öğrenciler kız öğrencilerden 6 fazla olduğuna göre sınıf mevcudu kaçtır?

Çözüm: Erkekler \(\frac{5}{9}\) ise kızlar \(\frac{4}{9}\)'dur.
Aradaki fark: \(\frac{5}{9} - \frac{4}{9} = \frac{1}{9}\)
Bu fark 6 öğrenciye karşılık gelir; o hâlde \(\frac{1}{9}\) = 6 ve sınıf mevcudu \(9 \cdot 6 = 54\)'tür.

Kontrol: Erkek \(54 \cdot \frac{5}{9} = 30\), kız 24; fark \(30 - 24 = 6\).
Cevap: 54

• Benzer soru: Erkeklerin kızlardan fazlasından sınıf mevcudu

Örnek 4. Bir sayının \(\frac{2}{5}\)'i ile \(\frac{1}{3}\)'ü arasındaki fark 8'dir. Bu sayı kaçtır?

Çözüm: Kesirleri eşitleyelim (payda 15):
\(\frac{2}{5} - \frac{1}{3} = \frac{6}{15} - \frac{5}{15} = \frac{1}{15}\)
Sayının \(\frac{1}{15}\)'i 8 ise sayı \(15 \cdot 8 = 120\)'dir.

Kontrol: \(120 \cdot \frac{2}{5} = 48\), \(120 \cdot \frac{1}{3} = 40\), \(48 - 40 = 8\).
Cevap: 120

• Benzer soru: İki kesri arasındaki farktan sayı

Örnek 5. Bir memur maaşının \(\frac{1}{3}\)'ünü kiraya, \(\frac{1}{4}\)'ünü mutfak giderlerine, \(\frac{1}{6}\)'sını faturalara ayırıyor. Geriye 6.000 TL kaldığına göre memurun maaşı kaç TL'dir?

Çözüm: Bütün kesirler maaşın tamamına göre verildiği için toplanır (payda 12):
\(\frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}\)
Kalan kesir: \(1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)
Maaşın \(\frac{1}{4}\)'ü 6.000 TL ise maaş \(4 \cdot 6000 = 24000\) TL'dir.

Kontrol: Kira 8.000, mutfak 6.000, faturalar 4.000 TL; harcanan 18.000 TL, kalan \(24000 - 18000 = 6000\) TL.
Cevap: 24.000 TL

• Benzer soru: Elma ve armut dışındaki erik ağaçları

Örnek 6. \(\frac{2}{5}\)'i dolu olan bir bidona 18 litre su eklenince bidonun \(\frac{7}{10}\)'u dolu hâle geliyor. Bidon tamamen dolu iken kaç litre su alır?

Çözüm: Eklenen 18 litre, iki doluluk kesrinin farkına karşılık gelir:
\(\frac{7}{10} - \frac{2}{5} = \frac{7}{10} - \frac{4}{10} = \frac{3}{10}\)
Bidonun \(\frac{3}{10}\)'u 18 litre ise \(\frac{1}{10}\)'u 6 litre, tamamı \(10 \cdot 6 = 60\) litredir.

Kontrol: Başta \(60 \cdot \frac{2}{5} = 24\) litre vardı; \(24 + 18 = 42\) ve \(\frac{42}{60} = \frac{7}{10}\).
Cevap: 60 litre

• Benzer soru: Eklenen suyla doluluğu artan bidon

Örnek 7. Bir öğrenci okuduğu kitabın ilk gün \(\frac{1}{4}\)'ünü, ikinci gün ise kalan sayfaların \(\frac{2}{5}\)'ini okuyor. Geriye 135 sayfa kaldığına göre kitap kaç sayfadır?

Çözüm: İkinci günün kesri kalanın kesri olduğu için kalan kesirler çarpılır.
İlk günden sonra kalan: \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)
İkinci gün kalanın \(\frac{2}{5}\)'i okununca kalanın \(\frac{3}{5}\)'i kalır.
Geriye kalan kesir: \(\frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{20}\)
Kitabın \(\frac{9}{20}\)'si 135 sayfa ise \(\frac{1}{20}\)'si 15 sayfa, kitap \(20 \cdot 15 = 300\) sayfadır.

Kontrol: İlk gün 75 sayfa okunur, 225 kalır; ikinci gün \(225 \cdot \frac{2}{5} = 90\) okunur, \(225 - 90 = 135\) kalır.
Cevap: 300 sayfa

• Benzer soru: İki gün okumadan sonra okunmamış sayfalar

Örnek 8. \(\frac{4}{5}\)'i dolu olan bir tankerdeki suyun \(\frac{3}{4}\)'ü kullanılıyor. Daha sonra tankere 120 litre su eklenince tanker yarıya kadar dolu oluyor. Tanker kaç litre su alır?

Çözüm: Dikkat: \(\frac{3}{4}\) tankerin değil, içindeki suyun kesridir.
İçindeki suyun \(\frac{3}{4}\)'ü kullanılınca \(\frac{1}{4}\)'ü kalır: \(\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{5}\) (tankerin \(\frac{1}{5}\)'i dolu)
120 litre eklenince \(\frac{1}{2}\) oluyor. Eklenen su: \(\frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}\)
Tankerin \(\frac{3}{10}\)'u 120 litre ise \(\frac{1}{10}\)'u 40 litre, tamamı 400 litredir.

Kontrol: Başta 320 litre; \(\frac{3}{4}\)'ü (240 litre) kullanılınca 80 litre kalır; \(80 + 120 = 200\), bu da 400'ün yarısıdır.
Cevap: 400 litre

• Benzer soru: Boşaltma ve eklemeden sonra yarısı dolu tanker

Örnek 9. Ali'nin bilyelerinin \(\frac{2}{3}\)'ü, Veli'nin bilyelerinin \(\frac{3}{5}\)'ine eşittir. İkisinin toplam 76 bilyesi olduğuna göre Ali'nin kaç bilyesi vardır?

Çözüm: İki ifadeyi ortak bir sayıya eşitleyelim. Bu sayıyı 2 ile 3'ün katı seçmek işleri kolaylaştırır: \(\frac{2}{3} A = \frac{3}{5} V = 6t\)
\(A = 6t \cdot \frac{3}{2} = 9t\)
\(V = 6t \cdot \frac{5}{3} = 10t\)
Toplam: \(9t + 10t = 19t = 76 \Rightarrow t = 4\)
Ali'nin bilyeleri: \(9 \cdot 4 = 36\)

Kontrol: Veli'nin 40 bilyesi var. \(36 \cdot \frac{2}{3} = 24\) ve \(40 \cdot \frac{3}{5} = 24\); eşit.
Cevap: 36

• Benzer soru: Kesirleri eşit olan iki kişinin toplam bilyesi

Örnek 10. Ayşe parasının \(\frac{1}{4}\)'ünü Fatma'ya verince ikisinin parası eşit oluyor. İkisinin toplam parası 600 TL olduğuna göre Fatma'nın başlangıçtaki parası kaç TL'dir?

Çözüm: Ayşe'nin parasına 4x diyelim (paydası 4 olduğu için). Ayşe Fatma'ya x TL verir ve elinde 3x kalır.
Paraların eşit olması için Fatma'nın son parası da 3x olmalıdır. Fatma x TL aldığına göre başlangıçta \(3x - x = 2x\) TL'si vardı.
Toplam para değişmez: \(4x + 2x = 6x = 600 \Rightarrow x = 100\)
Fatma'nın başlangıçtaki parası: \(2x = 200\) TL

Kontrol: Ayşe 400 TL'nin \(\frac{1}{4}\)'ü olan 100 TL'yi verir; Ayşe'de 300, Fatma'da \(200 + 100 = 300\) TL olur.
Cevap: 200 TL

• Benzer soru: Paranın üçte birini verince eşitlenen arkadaşlar

Örnek 11. Bir kişi parasının önce \(\frac{1}{3}\)'ünü, sonra kalan parasının \(\frac{1}{4}\)'ünü harcıyor. Ardından 150 TL'lik bir alışveriş daha yapınca cebinde 450 TL kalıyor. Bu kişinin başlangıçta kaç TL'si vardı?

Çözüm: Sabit tutar (150 TL) olduğu için sondan başa gidelim; her işlemi tersine çevirelim.

• Son durum: 450 TL
• 150 TL harcamadan önce: \(450 + 150 = 600\) TL
• Kalanın \(\frac{1}{4}\)'ünü harcayınca \(\frac{3}{4}\)'ü kalmıştı; 600 TL, önceki paranın \(\frac{3}{4}\)'üdür: \(600 \div \frac{3}{4} = 800\) TL
• İlk harcamada \(\frac{1}{3}\) gidip \(\frac{2}{3}\) kalmıştı; 800 TL, başlangıç parasının \(\frac{2}{3}\)'üdür: \(800 \div \frac{2}{3} = 1200\) TL

Kontrol: 1200 → \(\frac{1}{3}\)'ü (400) harcanır, 800 kalır → \(\frac{1}{4}\)'ü (200) harcanır, 600 kalır → 150 harcanır, 450 kalır.
Cevap: 1.200 TL

• Benzer soru: Ardışık harcamalardan başlangıç parası

Örnek 12. Bir miras üç kardeş arasında şöyle paylaştırılıyor: Büyük kardeş mirasın \(\frac{1}{3}\)'ünden 10.000 TL fazlasını, ortanca kardeş kalan paranın yarısından 5.000 TL fazlasını alıyor. Geriye kalan 45.000 TL'yi küçük kardeş alıyor. Ortanca kardeşin payı kaç TL'dir?

Çözüm: Sondan başa gidelim. Büyük kardeşten sonra kalan paraya K diyelim.
Ortanca kardeş \(\frac{K}{2} + 5000\) alır; küçüğe \(\frac{K}{2} - 5000\) kalır:
\(\frac{K}{2} - 5000 = 45000 \Rightarrow \frac{K}{2} = 50000 \Rightarrow K = 100000\) TL
Ortanca kardeşin payı: \(50000 + 5000 = 55000\) TL

Mirasın tamamını da bulalım (M): Büyük kardeş \(\frac{M}{3} + 10000\) alınca \(\frac{2M}{3} - 10000\) kalır.
\(\frac{2M}{3} - 10000 = 100000 \Rightarrow \frac{2M}{3} = 110000 \Rightarrow M = 165000\) TL

Kontrol: Büyük \(55000 + 10000 = 65000\), ortanca 55.000, küçük 45.000; toplam \(65000 + 55000 + 45000 = 165000\).
Cevap: 55.000 TL

• Benzer soru: Mirasta ortanca kardeşin payı

Örnek 13. Belli bir yükseklikten bırakılan bir top, yere her çarptığında düştüğü yüksekliğin \(\frac{2}{3}\)'ü kadar sıçramaktadır. Top yere üçüncü kez çarptığı anda toplam 290 cm yol aldığına göre top kaç cm yükseklikten bırakılmıştır?

Çözüm: İlk yüksekliğe 9h diyelim (paydalar 3 ve 9 olacağı için).

• 1. iniş: 9h → yere 1. çarpma
• 1. sıçrama \(9h \cdot \frac{2}{3} = 6h\): çıkış + iniş = 12h → yere 2. çarpma
• 2. sıçrama \(6h \cdot \frac{2}{3} = 4h\): çıkış + iniş = 8h → yere 3. çarpma

Toplam yol: \(9h + 12h + 8h = 29h = 290 \Rightarrow h = 10\)
İlk yükseklik: \(9h = 90\) cm

Kontrol: \(90 + 2 \cdot 60 + 2 \cdot 40 = 90 + 120 + 80 = 290\) cm.
Cevap: 90 cm

• Benzer soru: Sıçrayan topun ilk yüksekliği

Örnek 14. \(\frac{a}{b}\) kesrinin payına 4 eklenirse kesir \(\frac{2}{3}\)'e, paydasına 3 eklenirse kesir \(\frac{1}{3}\)'e eşit oluyor. Buna göre \(a + b\) kaçtır?

Çözüm: Her koşulu içler–dışlar çarpımıyla denkleme çevirelim:
\(\frac{a + 4}{b} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3a + 12 = 2b\)
\(\frac{a}{b + 3} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3a = b + 3 \Rightarrow b = 3a - 3\)
İkinci eşitliği birincide yerine yazalım:
\(3a + 12 = 2(3a - 3) = 6a - 6 \Rightarrow 3a = 18 \Rightarrow a = 6\)
\(b = 3 \cdot 6 - 3 = 15\)
\(a + b = 6 + 15 = 21\)

Kontrol: \(\frac{6 + 4}{15} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}\) ve \(\frac{6}{15 + 3} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}\).
Cevap: 21

• Benzer soru: Pay ve paydası değişen kesir

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• Kesir Problemleri soruları (sitemizde tüm sorular)

Kendini dene: Kesir Problemleri çözümlü testleri →