Karışım Problemleri Konu Anlatımı

Karışım problemleri nedir?

KPSS'de karışım soruları tuzlu su, şekerli su, süt–su, alaşım (bakır–çinko, altın) ya da farklı fiyattaki ürünlerin (kahve, pirinç, çay) karıştırılması üzerine kurulur. Görünüşleri farklı olsa da hepsi aynı fikre dayanır: karışımdaki saf madde miktarını takip etmek.

Bir karışımda iki şey vardır: karışımın toplam miktarı ve bu miktarın içindeki saf madde (tuz, şeker, süt, altın...). Saf maddenin karışıma oranı, karışımın yüzdesi (oranı) ya da yoğunluğu olarak adlandırılır.

\[\text{Oran} = \frac{\text{madde}}{\text{karışım}}\]

\[\text{madde} = \text{karışım} \cdot \text{oran}\]

Örnek: %25'lik 40 kg tuzlu suda \(40 \cdot \frac{25}{100} = 10\) kg tuz, \(40 - 10 = 30\) kg su vardır.

Temel kurallar

Hangi işlemde ne değişir?

Karışım birleştirme formülü

Oranları \(\%a\) ve \(\%b\) olan, miktarları x ve y olan iki karışım birleştirilirse yeni karışımın oranı, maddelerin toplamının karışımların toplamına bölünmesiyle bulunur.

\[\frac{x \cdot a + y \cdot b}{x + y} = c\]

Bu formül fiyat karışımları için de aynen geçerlidir: oran yerine kilogram fiyatı yazılır. Altın karışımlarında oran yerine ayar yazılır.

Terazi (çapraz) yöntemi

İki karışımın hangi oranda karıştırılacağını bulmak için pratik bir yol: istenen oran (c) ile her karışımın oranı arasındaki farklar alınır. Miktarlar, bu farklarla ters orantılıdır.

\[\frac{x}{y} = \frac{b - c}{c - a} \quad (a \lt c \lt b)\]

Örnek: %20'lik ve %50'lik tuzlu sulardan %30'luk karışım elde edilecek. Farklar: \(30 - 20 = 10\) ve \(50 - 30 = 20\).
%20'likten \(20\) birim, %50'likten \(10\) birim alınır; yani miktarlar \(2 : 1\) oranındadır.

Soru tipleri ve yöntemler

1. Su ekleme ve buharlaştırma

Önce madde miktarını bul (madde = karışım · oran). Bu miktar değişmez; yeni karışım miktarına bölerek yeni oranı, ya da istenen orana eşitleyerek eklenecek veya buharlaşacak suyu bul.

2. Saf madde ekleme

x kg saf madde eklenirse hem paya hem paydaya x eklenir:

\[\frac{m + x}{K + x} = \text{yeni oran}\]

3. İki ya da daha fazla karışımı birleştirme

Her karışımdaki madde ayrı ayrı bulunup toplanır, toplam karışıma bölünür. İstenen orana ulaşmak için hangi karışımdan ne kadar alınacağı sorulursa ya denklem kurulur ya da terazi yöntemi kullanılır.

4. Bir kaptan alıp yerine su (veya madde) koyma

Karışımdan alınan kısım aynı oranda madde götürür. K litrelik karışımdan her seferinde x litre alınıp yerine su konursa, her işlemde madde \(\frac{K - x}{K}\) ile çarpılır. Yerine saf madde konursa önce kalan madde bulunur, sonra eklenen madde eklenir.

\[\text{madde}_{n} = \text{madde}_0 \cdot \left(\frac{K - x}{K}\right)^n\]

5. Fiyat karışımları (kahve, çay, pirinç)

Karışımın kilogram fiyatı = toplam fiyat ÷ toplam kilogram. Karışım kârla satılıyorsa önce toplam maliyet bulunur, sonra kâr–zarar kuralları uygulanır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. 60 g tuz, 240 g suda çözülerek tuzlu su hazırlanıyor. Bu karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

Çözüm: Dikkat: Karışım yalnızca su değil, tuz + sudur.
Karışım: \(60 + 240 = 300\) g
Tuz oranı: \(\frac{60}{300} = \frac{1}{5} = \%20\)
Cevap: %20

• Benzer soru: Tuz ve su miktarından tuz yüzdesi

Örnek 2. %30'u şeker olan 60 kg şekerli suya kaç kg su eklenirse şeker oranı %20'ye düşer?

Çözüm: Şeker miktarı: \(60 \cdot 0{,}30 = 18\) kg (su eklenince değişmez)
x kg su eklenirse: \(\frac{18}{60 + x} = \frac{20}{100}\)
\(18 \cdot 100 = 20 \cdot (60 + x) \Rightarrow 1800 = 1200 + 20x \Rightarrow x = 30\)

Kontrol: \(\frac{18}{90} = \frac{1}{5} = \%20\).
Cevap: 30 kg

• Benzer soru: Su eklenince yüzde otuzdan yirmiye düşen oran

Örnek 3. %20'si şeker olan 50 kg şekerli su kaynatılarak 10 kg suyu buharlaştırılıyor. Yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

Çözüm: Şeker: \(50 \cdot 0{,}20 = 10\) kg (buharlaşma şekeri azaltmaz)
Yeni karışım: \(50 - 10 = 40\) kg
Yeni oran: \(\frac{10}{40} = \frac{1}{4} = \%25\)
Cevap: %25

• Benzer soru: Kaynatılan şekerli suyun yeni şeker oranı

Örnek 4. %20'lik 30 kg şekerli su ile %40'lık 20 kg şekerli su karıştırılıyor. Yeni karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

Çözüm: Birinci karışımdaki şeker: \(30 \cdot 0{,}20 = 6\) kg
İkinci karışımdaki şeker: \(20 \cdot 0{,}40 = 8\) kg
Toplam şeker: 14 kg, toplam karışım: 50 kg
Yeni oran: \(\frac{14}{50} = \frac{28}{100} = \%28\)

Kontrol: Sonuç %20 ile %40 arasında ve miktarı fazla olan %20'liğe daha yakın; mantıklı.
Cevap: %28

• Benzer soru: İki şekerli suyun birleşimindeki oran

Örnek 5. %10'u tuz olan 90 kg tuzlu suya kaç kg tuz eklenirse karışımın tuz oranı %25 olur?

Çözüm: Tuz: \(90 \cdot 0{,}10 = 9\) kg
x kg tuz eklenirse hem tuz hem karışım x artar:
\(\frac{9 + x}{90 + x} = \frac{1}{4}\)
\(4(9 + x) = 90 + x \Rightarrow 36 + 4x = 90 + x \Rightarrow 3x = 54 \Rightarrow x = 18\)

Kontrol: \(\frac{27}{108} = \frac{1}{4} = \%25\).
Cevap: 18 kg

• Benzer soru: Tuz eklenerek oranın artırılması

Örnek 6. Kilogramı 300 TL olan 4 kg kahve ile kilogramı 450 TL olan 6 kg kahve karıştırılıyor. Karışımın kilogram fiyatı kaç TL'dir?

Çözüm: Toplam fiyat: \(4 \cdot 300 + 6 \cdot 450 = 1200 + 2700 = 3900\) TL
Toplam miktar: \(4 + 6 = 10\) kg
Kilogram fiyatı: \(3900 \div 10 = 390\) TL
Cevap: 390 TL

• Benzer soru: İki kahvenin karışımının kilogram fiyatı

Örnek 7. Kilogramı 200 TL ve 280 TL olan iki çeşit çay, karışımın kilogramı 230 TL olacak şekilde karıştırılacaktır. Ucuz çayın miktarının pahalı çayın miktarına oranı kaçtır?

Çözüm: Ucuz çaydan a kg, pahalı çaydan b kg alalım:
\(200a + 280b = 230(a + b)\)
\(200a + 280b = 230a + 230b \Rightarrow 50b = 30a \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{50}{30} = \frac{5}{3}\)

Terazi yöntemiyle kontrol: \(280 - 230 = 50\) birim ucuz çay, \(230 - 200 = 30\) birim pahalı çay; oran \(\frac{5}{3}\).
Cevap: \(\frac{5}{3}\)

• Benzer soru: İki çay çeşidinin karışım oranı

Örnek 8. Bir kuyumcu 14 ayar 30 gram altına bir miktar saf (24 ayar) altın ekleyip eritiyor ve 18 ayar altın elde ediyor. Kuyumcu kaç gram saf altın eklemiştir?

Çözüm: Ayar, karışım formülünde oran yerine kullanılır. x gram saf altın eklensin:
\(\frac{30 \cdot 14 + x \cdot 24}{30 + x} = 18\)
\(420 + 24x = 540 + 18x \Rightarrow 6x = 120 \Rightarrow x = 20\)

Kontrol: \(\frac{420 + 480}{50} = \frac{900}{50} = 18\) ayar. Terazi yöntemiyle de: \(24 - 18 = 6\) ve \(18 - 14 = 4\), yani 14 ayar : saf = \(6 : 4 = 30 : 20\).
Cevap: 20 gram

• Benzer soru: Kuyumcunun saf altınla ayar yükseltmesi

Örnek 9. 40 litre saf sütle dolu bir kaptan 10 litre süt alınıp yerine 10 litre su konuyor. Karıştırıldıktan sonra bu işlem bir kez daha yapılıyor. Son durumda kapta kaç litre süt vardır?

Çözüm: Her işlemde kabın \(\frac{10}{40} = \frac{1}{4}\)'ü alınır; alınan kısım sütün de \(\frac{1}{4}\)'ünü götürür, \(\frac{3}{4}\)'ü kalır.
1. işlemden sonra süt: \(40 \cdot \frac{3}{4} = 30\) litre (kap yine 40 litre)
2. işlemde alınan 10 litrede \(10 \cdot \frac{30}{40} = 7{,}5\) litre süt vardır.
2. işlemden sonra süt: \(30 - 7{,}5 = 22{,}5\) litre

Formülle: \(40 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 40 \cdot \frac{9}{16} = 22{,}5\)
Cevap: 22,5 litre

• Benzer soru: İki kez alınıp yerine su konan süt

Örnek 10. A kabında %20'lik 50 kg tuzlu su, B kabında %40'lık 30 kg tuzlu su vardır. A kabından B kabına 20 kg tuzlu su dökülüyor. B kabındaki yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

Çözüm: A'dan alınan 20 kg da %20'liktir: içindeki tuz \(20 \cdot 0{,}20 = 4\) kg
B'deki tuz: \(30 \cdot 0{,}40 = 12\) kg
B'nin yeni tuzu: \(12 + 4 = 16\) kg, yeni karışımı: \(30 + 20 = 50\) kg
Yeni oran: \(\frac{16}{50} = \frac{32}{100} = \%32\)

Not: A kabında kalan 30 kg'ın oranı değişmez, hâlâ %20'liktir.
Cevap: %32

• Benzer soru: Bir kaptan diğerine dökülen tuzlu su

Örnek 11. %20'si şeker olan 100 kg şekerli sudan 25 kg su buharlaştırılıyor, ardından karışıma 25 kg şeker ekleniyor. Son karışımın şeker oranı yüzde kaçtır?

Çözüm: Başta şeker: \(100 \cdot 0{,}20 = 20\) kg
Buharlaşmadan sonra: şeker 20 kg, karışım \(100 - 25 = 75\) kg
Şeker ekledikten sonra: şeker \(20 + 25 = 45\) kg, karışım \(75 + 25 = 100\) kg
Son oran: \(\frac{45}{100} = \%45\)
Cevap: %45

• Benzer soru: Su buharlaştırılıp şeker eklenen karışım

Örnek 12. %15'lik ve %35'lik tuzlu sular karıştırılarak %22'lik 60 kg tuzlu su elde edilecektir. %35'lik tuzlu sudan kaç kg kullanılmalıdır?

Çözüm: %35'likten x kg, %15'likten \(60 - x\) kg alalım. Tuz miktarları toplamı, son karışımdaki tuza eşit olmalıdır:
\(0{,}15(60 - x) + 0{,}35x = 0{,}22 \cdot 60\)
\(9 - 0{,}15x + 0{,}35x = 13{,}2 \Rightarrow 0{,}20x = 4{,}2 \Rightarrow x = 21\)

Terazi yöntemiyle kontrol: \(35 - 22 = 13\) birim %15'lik, \(22 - 15 = 7\) birim %35'lik; toplam 20 birim = 60 kg, 1 birim = 3 kg. %35'lik: \(7 \cdot 3 = 21\) kg.
Cevap: 21 kg

• Benzer soru: İki karışımdan istenen orana ulaşma

Örnek 13. %20'lik 50 kg tuzlu sudan 10 kg alınıp yerine 10 kg saf tuz ekleniyor. Yeni karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

Çözüm: Alınan 10 kg da %20'liktir; kalan 40 kg'daki tuz: \(40 \cdot 0{,}20 = 8\) kg
10 kg tuz eklenince tuz: \(8 + 10 = 18\) kg, karışım yine \(40 + 10 = 50\) kg
Yeni oran: \(\frac{18}{50} = \frac{36}{100} = \%36\)
Cevap: %36

• Benzer soru: Alınıp yerine saf tuz eklenen karışım

Örnek 14. Bir tuzlu su karışımına 20 kg su eklenirse tuz oranı %20, aynı karışıma (su yerine) 20 kg tuz eklenirse tuz oranı %40 oluyor. İlk karışımın tuz oranı yüzde kaçtır?

Çözüm: İlk karışım K kg, içindeki tuz m kg olsun. İki durumda da karışım \(K + 20\) kg olur:
Su eklenince: \(\frac{m}{K + 20} = \frac{1}{5}\)
Tuz eklenince: \(\frac{m + 20}{K + 20} = \frac{2}{5}\)
İkinci eşitlikten birinciyi çıkaralım: \(\frac{20}{K + 20} = \frac{1}{5} \Rightarrow K + 20 = 100 \Rightarrow K = 80\)
Tuz: \(m = \frac{100}{5} = 20\) kg
İlk oran: \(\frac{20}{80} = \frac{1}{4} = \%25\)

Kontrol: \(\frac{20}{100} = \%20\) ve \(\frac{40}{100} = \%40\).
Cevap: %25

• Benzer soru: Su ya da tuz eklemeye göre değişen oranlar

Örnek 15. Kilogramı 40 TL olan 30 kg pirinç ile kilogramı 60 TL olan 20 kg pirinç karıştırılıyor. Karışımın kilogramı 60 TL'den satılırsa yüzde kaç kâr edilir?

Çözüm: Toplam maliyet: \(30 \cdot 40 + 20 \cdot 60 = 1200 + 1200 = 2400\) TL
Toplam satış: \(50 \cdot 60 = 3000\) TL
Kâr: \(3000 - 2400 = 600\) TL
Kâr yüzdesi: \(\frac{600}{2400} \cdot 100 = 25\)

Kontrol: Karışımın kilogram maliyeti \(2400 \div 50 = 48\) TL; \(48 \cdot 1{,}25 = 60\) TL.
Cevap: %25

• Benzer soru: Karıştırılıp satılan pirinçten elde edilen kâr

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• Karışım Problemleri soruları (sitemizde tüm sorular)

Kendini dene: Karışım Problemleri çözümlü testleri →