AGS Temel Kavramlar Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
Bir kitabın sayfaları \(1\)'den başlanarak sırayla numaralandırılıyor. Bu iş için toplam \(1500\) rakam kullanıldığına göre kitap kaç sayfadır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Numaralar \(1\)'den başlıyor
- Toplam \(1500\) rakam
Ne soruluyor?
Sayfa sayısı kaçtır?
Çözüm
- \(1\)–\(9\): \(9\) sayfa \(\cdot 1 = 9\) rakam
→ Tek basamaklılar. - \(10\)–\(99\): \(90\) sayfa \(\cdot 2 = 180\) rakam; şimdiye kadar \(189\) rakam
→ İki basamaklılar. - Kalan \(1500 - 189 = 1311\) rakam üç basamaklı sayfalara: \(1311 \div 3 = 437\) sayfa
→ \(100\)'den başlayan \(437\) sayfa. - Son sayfa: \(99 + 437 = 536\)
→ Sonuç \(536\).
Kontrol
\(9 + 180 + 3 \cdot 437 = 9 + 180 + 1311 = 1500\) ✓
Sık yapılan hata
Son sayfayı \(100 + 437 = 537\) almak; \(100\)'den başlayan \(437\) sayfanın sonuncusu \(536\)'dır.
-
\(144\) sayısı, en az üç terimden oluşan ardışık pozitif tek sayıların toplamı olarak yazılıyor. Bu yazılışlarda kullanılan en büyük terim en fazla kaç olabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Ardışık pozitif tek sayılar
- Terim sayısı \(k \ge 3\)
- Toplam \(144\)
Ne soruluyor?
En büyük terim en fazla kaç?
Çözüm
- İlk terim \(a\) olan \(k\) ardışık tek sayının toplamı \(k \cdot (a + k - 1) = 144\)
→ Ortalama \(\times\) terim sayısı; ortalama \(a + k - 1\). - Tek sayıda tek sayının toplamı tek olur; \(144\) çift olduğundan \(k\) çifttir
→ \(k = 4, 6, 8, 12, \ldots\) denenir. - \(k = 4\): \(a + 3 = 36\) → \(a = 33\): \(33 + 35 + 37 + 39\)
→ En büyük terim \(39\). - \(k = 6\): \(a = 19\), son terim \(29\); \(k = 8\): \(a = 11\), son terim \(25\); \(k = 12\): \(a = 1\), son terim \(23\)
→ Terim sayısı arttıkça terimler küçülür. - En büyük terim en fazla \(39\)
→ Sonuç \(39\).
Kontrol
\(33 + 35 + 37 + 39 = 144\) ✓
Sık yapılan hata
Üç terim koşulunu unutup \(71 + 73 = 144\) yazımından \(73\) demek ya da \(k = 3\) için \(48\)'i ortadaki terim sanmak.
-
\(p\) bir asal sayıdır ve \(p^2 + 2\) sayısı da asaldır. Buna göre \(p^2 + p + 1\) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(p\) asal
- \(p^2 + 2\) asal
Ne soruluyor?
\(p^2 + p + 1\) kaçtır?
Çözüm
- \(p = 2\): \(p^2 + 2 = 6\) asal değil
→ Küçük değer denenir. - \(p = 3\): \(p^2 + 2 = 11\) asal ✓
→ Uygun. - \(p \ne 3\) ise \(p\), \(3\)'ün katı değildir; \(3k + 1\) ya da \(3k + 2\) biçimindedir ve karesi \(3\)'e bölündüğünde \(1\) kalanını verir
→ \((3k \pm 1)^2 = 9k^2 \pm 6k + 1\). - O zaman \(p^2 + 2\), \(3\)'e tam bölünür ve \(3\)'ten büyük olduğundan asal olamaz; tek çözüm \(p = 3\)
→ Örneğin \(p = 5\): \(27\); \(p = 7\): \(51 = 3 \cdot 17\). - \(p^2 + p + 1 = 9 + 3 + 1 = 13\)
→ Sonuç \(13\).
Kontrol
\(p = 3\): \(11\) asal ve \(9 + 3 + 1 = 13\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca \(p = 2\) ve \(p = 3\)'ü deneyip başka çözüm olup olmadığını düşünmemek; \(3\)'e göre kalan incelemesi tek çözümü kanıtlar.
-
\(\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \dfrac{1}{24 \cdot 25}\) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Terimler \(\dfrac{1}{k(k + 1)}\), \(k = 1, 2, \ldots, 24\)
Ne soruluyor?
Toplam kaçtır?
Çözüm
- \(\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}\)
→ Paydalar farkı \(1\) olduğundan terim iki kesrin farkına ayrılır. - Toplam: \(\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{24} - \dfrac{1}{25}\right)\)
→ Ara terimler birbirini götürür. - \(1 - \dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25}\)
→ Sonuç \(\dfrac{24}{25}\).
Kontrol
İlk iki terim: \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3} = 1 - \dfrac{1}{3}\); kalıp doğru ✓
Sık yapılan hata
Son terimi \(\dfrac{1}{24}\) alıp \(\dfrac{23}{24}\) bulmak ya da terim sayısını \(25\) sanmak.
-
\(a\), \(b\) ve \(c\) tam sayılardır.
\(a \cdot b + c\) tek sayı,
\(a + b \cdot c\) çift sayı,
\(a \cdot c\) çift sayıdır.
Buna göre \(a\), \(b\) ve \(c\) için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?Çözümü Göster
Verilenler
- \(a b + c\) tek
- \(a + b c\) çift
- \(a c\) çift
Ne soruluyor?
\(a\), \(b\), \(c\) tek mi çift mi?
Çözüm
- \(a c\) çift → \(a\) ile \(c\)'den en az biri çift
→ İkisi de tek olamaz. - \(c\) çift olsun: \(a b + c\) tek → \(a b\) tek → \(a\), \(b\) tek; ama \(a + b c\) = tek \(+\) çift = tek olur, çelişki
→ Demek ki \(c\) tektir; o zaman \(a\) çift olmalı. - \(a\) çift, \(c\) tek: \(a + b c\) çift → \(b c\) çift → \(b\) çift
→ \(c\) tek olduğundan çiftliği \(b\) sağlar. - Kontrol: \(a b + c\) = çift \(+\) tek = tek
→ Cevap: \(a\) ve \(b\) çift, \(c\) tek.
Kontrol
\(a = 2\), \(b = 4\), \(c = 1\): \(9\) tek, \(6\) çift, \(2\) çift ✓
Sık yapılan hata
Koşulların hepsini denetlemeden seçenek işaretlemek; örneğin "\(a\) çift, \(b\) ve \(c\) tek" seçeneği birinci ve üçüncü koşulu sağlar ama \(a + b \cdot c\) = çift \(+\) tek = tek olduğundan ikinci koşulu bozar.
-
Birbirinden farklı üç asal sayının çarpımı, bu üç sayının toplamının \(7\) katına eşittir. Bu üç asal sayının çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(p\), \(q\), \(r\) farklı asallar
- \(p q r = 7(p + q + r)\)
Ne soruluyor?
\(p q r\) kaçtır?
Çözüm
- Sağ taraf \(7\)'ye bölünüyor; asalların çarpımı \(7\)'ye bölünüyorsa biri \(7\)'dir: \(p = 7\)
→ Asal çarpan ancak çarpanlardan birinden gelir. - \(7 q r = 7(7 + q + r)\) → \(q r = q + r + 7\)
→ \(7\) sadeleşir. - \(q r - q - r + 1 = 8\) → \((q - 1)(r - 1) = 8\)
→ Çarpanlara ayırma hilesi. - \((1, 8)\) → \(q = 2\), \(r = 9\) (asal değil); \((2, 4)\) → \(q = 3\), \(r = 5\) ✓
→ Sayılar \(3\), \(5\), \(7\). - Çarpım: \(3 \cdot 5 \cdot 7 = 105\)
→ Sonuç \(105\).
Kontrol
\(3 + 5 + 7 = 15\) ve \(7 \cdot 15 = 105\) ✓
Sık yapılan hata
Cevap olarak toplamı (\(15\)) vermek ya da \((1, 8)\) çiftinden gelen \(9\)'u asal sanmak.
-
\(abcd\) dört basamaklı bir sayıdır ve rakamları \(a \gt b \gt c \gt d \gt 0\) koşulunu sağlar. Buna göre \(abcd - dcba\) farkının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a \gt b \gt c \gt d \gt 0\)
Ne soruluyor?
\(abcd - dcba\) en fazla kaç?
Çözüm
- Çözümleme: \((1000a + 100b + 10c + d) - (1000d + 100c + 10b + a) = 999(a - d) + 90(b - c)\)
→ Fark iki parçaya ayrılır. - \(a - d\) en büyük: \(a = 9\), \(d = 1\) → \(a - d = 8\)
→ \(d \gt 0\) olduğundan \(d\) en az \(1\). - Kalan rakamlar \(2\)–\(8\) arasında: \(b = 8\), \(c = 2\) → \(b - c = 6\)
→ Arada en geniş fark. - \(999 \cdot 8 + 90 \cdot 6 = 7992 + 540 = 8532\)
→ Sonuç \(8532\).
Kontrol
\(9821 - 1289 = 8532\) ✓
Sık yapılan hata
\(b\) ile \(c\)'yi ardışık seçip \(9871 - 1789 = 8082\) gibi daha küçük bir fark bulmak ya da \(c \gt d\) koşulunu gözden kaçırıp \(9801 - 1089 = 8712\) gibi koşula aykırı bir sonuç vermek.
-
\(x\), \(y\) ve \(z\) sıfırdan farklı tam sayılardır.
\(x^3 \cdot y^2 \cdot z \lt 0\),
\(\dfrac{x}{z^2 \cdot y} \gt 0\),
\(x + y \lt 0\)
olduğuna göre \(x\), \(y\), \(z\) sayılarının işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?Çözümü Göster
Verilenler
- \(x^3 y^2 z \lt 0\)
- \(\dfrac{x}{z^2 y} \gt 0\)
- \(x + y \lt 0\)
Ne soruluyor?
İşaretler sırasıyla?
Çözüm
- Çift kuvvetler (\(y^2\), \(z^2\)) her zaman pozitiftir; işareti etkilemez
→ \(x^3\)'ün işareti \(x\)'inkiyle aynıdır. - Birinci koşul: \(x \cdot z \lt 0\) → \(x\) ile \(z\) zıt işaretli
→ \(y^2\) atılır. - İkinci koşul: \(\dfrac{x}{y} \gt 0\) → \(x\) ile \(y\) aynı işaretli
→ \(z^2\) atılır. - Üçüncü koşul: aynı işaretli iki sayının toplamı negatifse ikisi de negatiftir → \(x \lt 0\), \(y \lt 0\); buradan \(z \gt 0\)
→ İşaretler: \(-, -, +\).
Kontrol
\(x = -1\), \(y = -2\), \(z = 3\): \((-1) \cdot 4 \cdot 3 = -12 \lt 0\); \(\dfrac{-1}{9 \cdot (-2)} \gt 0\); \(-3 \lt 0\) ✓
Sık yapılan hata
Çift kuvvetli çarpanları da işarete katıp \(y\) ya da \(z\) için yanlış sonuca varmak.
-
Bir öğrenci \(1\)'den başlayarak ardışık doğal sayıları belli bir sayıya kadar topluyor. Bu sırada sayılardan birini yanlışlıkla iki kez topladığı için sonucu \(500\) buluyor. İki kez toplanan sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(1 + 2 + \cdots + n\) toplamına bir \(k\) sayısı (\(1 \le k \le n\)) fazladan eklenmiş
- Bulunan sonuç \(500\)
Ne soruluyor?
\(k\) kaçtır?
Çözüm
- Doğru toplam \(\dfrac{n(n + 1)}{2}\), \(500\)'den küçük ve en fazla \(n\) kadar eksik olmalı
→ \(\dfrac{n(n + 1)}{2} \lt 500 \le \dfrac{n(n + 1)}{2} + n\). - \(n = 31\): \(\dfrac{31 \cdot 32}{2} = 496\) → \(k = 500 - 496 = 4\) (\(4 \le 31\)) ✓
→ Uygun. - \(n = 30\): \(465\) → \(k = 35 \gt 30\) olamaz; \(n = 32\): \(528 \gt 500\) olamaz
→ Tek çözüm. - İki kez toplanan sayı \(4\)
→ Sonuç \(4\).
Kontrol
\(496 + 4 = 500\) ✓
Sık yapılan hata
\(n = 30\) alıp \(35\) demek; \(35\) sayısı \(1\)–\(30\) arasında olmadığından iki kez toplanamaz.
-
\(8 + 4 \div 2 \cdot 6 - 3\) ifadesine yalnızca bir çift parantez yerleştiriliyor (parantez en az iki sayıyı içine almalı). Bu şekilde elde edilebilecek en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(8 + 4 \div 2 \cdot 6 - 3\)
- Tek bir parantez çifti
Ne soruluyor?
En büyük değer?
Çözüm
- Parantezsiz: \(4 \div 2 \cdot 6 = 12\) → \(8 + 12 - 3 = 17\)
→ Karşılaştırma için başlangıç. - \((8 + 4) \div 2 \cdot 6 - 3 = 6 \cdot 6 - 3 = 33\)
→ Toplamı bölmeye sokmak. - \((8 + 4 \div 2) \cdot 6 - 3 = 10 \cdot 6 - 3 = 57\)
→ Büyük toplam \(6\) ile çarpılır. - Diğerleri: \(8 + 4 \div 2 \cdot (6 - 3) = 14\), \(8 + 4 \div (2 \cdot 6) - 3 = \dfrac{16}{3}\), \(8 + 4 \div (2 \cdot 6 - 3) = \dfrac{76}{9}\)…
→ Hepsi daha küçük; en büyük değer \(57\).
Kontrol
\(8 + 4 \div 2 = 10\), \(10 \cdot 6 = 60\), \(60 - 3 = 57\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca \((8 + 4)\)'ü parantez içine alıp \(33\)'te durmak ya da \(-3\)'ü unutup \(60\) demek.