Temel Kavramlar Çözümlü Zor

Karesinin iki fazlası da asal olan asal sayı

\(p\) bir asal sayıdır ve \(p^2 + 2\) sayısı da asaldır. Buna göre \(p^2 + p + 1\) ifadesinin değeri kaçtır?

Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.

Çözümü Göster

\(p^2 + p + 1\) kaçtır?

\(p = 2\): \(p^2 + 2 = 6\) asal değil
→ Küçük değer denenir.
\(p = 3\): \(p^2 + 2 = 11\) asal ✓
→ Uygun.
\(p \ne 3\) ise \(p\), \(3\)'ün katı değildir; \(3k + 1\) ya da \(3k + 2\) biçimindedir ve karesi \(3\)'e bölündüğünde \(1\) kalanını verir
→ \((3k \pm 1)^2 = 9k^2 \pm 6k + 1\).
O zaman \(p^2 + 2\), \(3\)'e tam bölünür ve \(3\)'ten büyük olduğundan asal olamaz; tek çözüm \(p = 3\)
→ Örneğin \(p = 5\): \(27\); \(p = 7\): \(51 = 3 \cdot 17\).
\(p^2 + p + 1 = 9 + 3 + 1 = 13\)
→ Sonuç \(13\).

\(p = 3\): \(11\) asal ve \(9 + 3 + 1 = 13\) ✓

Yalnızca \(p = 2\) ve \(p = 3\)'ü deneyip başka çözüm olup olmadığını düşünmemek; \(3\)'e göre kalan incelemesi tek çözümü kanıtlar.

Aynı konudan diğer sorular