Ardışık çarpımların terslerinden oluşan toplam
\(\dfrac{1}{1 \cdot 2} + \dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \cdots + \dfrac{1}{24 \cdot 25}\) toplamı kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- Terimler \(\dfrac{1}{k(k + 1)}\), \(k = 1, 2, \ldots, 24\)
Ne soruluyor?
Toplam kaçtır?
Çözüm
- \(\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}\)
→ Paydalar farkı \(1\) olduğundan terim iki kesrin farkına ayrılır. - Toplam: \(\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{24} - \dfrac{1}{25}\right)\)
→ Ara terimler birbirini götürür. - \(1 - \dfrac{1}{25} = \dfrac{24}{25}\)
→ Sonuç \(\dfrac{24}{25}\).
Kontrol
İlk iki terim: \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3} = 1 - \dfrac{1}{3}\); kalıp doğru ✓
Sık yapılan hata
Son terimi \(\dfrac{1}{24}\) alıp \(\dfrac{23}{24}\) bulmak ya da terim sayısını \(25\) sanmak.