AGS Sayı Dizileri ve Örüntüler Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(3,\ 2,\ 7,\ 6,\ 11,\ 18,\ 15,\ 54,\ \ldots\) dizisinde tek sıradaki terimler bir kurala, çift sıradaki terimler başka bir kurala uymaktadır. Bu dizinin ilk \(12\) teriminin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Dizi: \(3, 2, 7, 6, 11, 18, 15, 54, \ldots\)
Ne soruluyor?
İlk \(12\) terimin toplamı?
Çözüm
- Tek sıradakiler: \(3, 7, 11, 15, \ldots\) → \(4\)'er artıyor
→ İlk \(12\) terimde bu diziden \(6\) terim var: \(3, 7, 11, 15, 19, 23\). - Bunların toplamı: \(\dfrac{6 \cdot (3 + 23)}{2} = 78\)
→ Aritmetik dizi toplamı. - Çift sıradakiler: \(2, 6, 18, 54, \ldots\) → \(3\) katına çıkıyor
→ \(6\) terim: \(2, 6, 18, 54, 162, 486\); toplamı \(728\). - \(78 + 728 = 806\)
→ İlk \(12\) terimin toplamı \(806\).
Kontrol
\(2 \cdot \dfrac{3^6 - 1}{2} = 728\) ✓, \(3 + 23 = 26\), \(26 \cdot 3 = 78\) ✓
Sık yapılan hata
Her diziden \(12\)'şer terim almak ya da çift sıradakileri de aritmetik sanmak.
-
\(1,\ 3,\ 8,\ 18,\ 35,\ 61,\ \ldots\) dizisi aynı kuralla devam ettiğine göre bu dizinin \(10.\) terimi kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Dizi: \(1, 3, 8, 18, 35, 61, \ldots\)
Ne soruluyor?
\(10.\) terim kaçtır?
Çözüm
- Birinci farklar: \(2, 5, 10, 17, 26\)
→ Bunlar \(1^2 + 1, 2^2 + 1, 3^2 + 1, \ldots\) - İkinci farklar: \(3, 5, 7, 9\); üçüncü farklar sabit \(2\)
→ Birinci farkların \(k.\)'sı \(k^2 + 1\). - Sonraki birinci farklar: \(37, 50, 65, 82\)
→ \(6^2 + 1, 7^2 + 1, 8^2 + 1, 9^2 + 1\) - \(61 + 37 = 98\), \(98 + 50 = 148\), \(148 + 65 = 213\), \(213 + 82 = 295\)
→ \(10.\) terim \(295\).
Kontrol
\(1 + (1^2 + \ldots + 9^2) + 9 = 1 + 285 + 9 = 295\) ✓
Sık yapılan hata
Bir terim eksik ilerleyip \(9.\) terimi (\(213\)) yazmak ya da ikinci farkları sabit sanmak.
-
Bir sayı üçgeninin \(1.\) satırında yalnızca \(1\) vardır. \(n.\) satırda \(n\) sayı bulunur; her satırın ilk ve son sayısı o satırın numarasıdır, aradaki her sayı ise hemen üstündeki iki sayının toplamıdır. Örneğin \(3.\) satır \(3,\ 4,\ 3\); \(4.\) satır \(4,\ 7,\ 7,\ 4\) şeklindedir. Buna göre \(10.\) satırdaki sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Satırlar: \(1\); \(2, 2\); \(3, 4, 3\); \(4, 7, 7, 4\); …
Ne soruluyor?
\(10.\) satırın toplamı?
Çözüm
- Satır toplamları: \(1, 4, 10, 22, \ldots\)
→ \(5.\) satır \(5, 11, 14, 11, 5\) → \(46\). - Aradaki sayılar üstteki ardışık ikililerin toplamıdır; üstteki her iç sayı iki kez, uçlar birer kez sayılır.
→ İç toplam \(= 2S_{n-1} - 2(n - 1)\); uçlar \(2n\) ekler: \(S_n = 2S_{n-1} + 2\). - \(46 \to 94 \to 190 \to 382 \to 766 \to 1534\)
→ \(6.\)–\(10.\) satır toplamları; \(10.\) satırınki \(1534\).
Kontrol
Kapalı biçim: \(S_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 2\) → \(3 \cdot 512 - 2 = 1534\) ✓
Sık yapılan hata
Toplamın her satırda ikiye katlandığını sanıp \(2\) eklemeyi unutmak ya da \(9.\) satırda durmak (\(766\)).
-
Kibrit çubuklarıyla birim karelerden oluşan dikdörtgen ızgaralar yapılıyor; her birim kenar bir çubuktur ve komşu karelerin ortak kenarı tek çubukla yapılır. \(1.\) adımda \(1 \times 2\)'lik ızgara için \(7\), \(2.\) adımda \(2 \times 3\)'lük ızgara için \(17\), \(3.\) adımda \(3 \times 4\)'lük ızgara için \(31\) çubuk kullanılıyor. Bu örüntüye göre \(20.\) adımda kaç çubuk kullanılır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(n.\) adım: \(n\) satır, \(n + 1\) sütunluk ızgara
- \(7, 17, 31, \ldots\)
Ne soruluyor?
\(20.\) adımda kaç çubuk?
Çözüm
- Yatay çubuklar: \(n + 1\) yatay çizgi, her biri \(n + 1\) çubuk → \((n + 1)^2\)
→ \(20.\) adımda \(21 \cdot 21 = 441\). - Dikey çubuklar: \(n + 2\) dikey çizgi, her biri \(n\) çubuk → \(n(n + 2)\)
→ \(20.\) adımda \(20 \cdot 22 = 440\). - \(441 + 440 = 881\)
→ Toplam \(881\) çubuk; genel kural \(2n^2 + 4n + 1\).
Kontrol
\(n = 3\): \(16 + 15 = 31\) ✓; \(n = 20\): \(800 + 80 + 1 = 881\) ✓
Sık yapılan hata
Her kareyi \(4\) çubukla sayıp ortak kenarları iki kez saymak ya da ızgarayı \(20 \times 20\) alıp \(840\) bulmak.
-
\(1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + 5^2 - \ldots + 19^2 - 20^2\) toplamının sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Terimler: \(+1^2, -2^2, +3^2, \ldots, -20^2\)
Ne soruluyor?
Toplam kaçtır?
Çözüm
- Terimler ikişer gruplanır: \((1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \ldots + (19^2 - 20^2)\)
→ \(10\) grup oluşur. - \((2k - 1)^2 - (2k)^2 = -(4k - 1) = -[(2k - 1) + 2k]\)
→ Her grup, içindeki iki sayının toplamının negatifidir: \(1^2 - 2^2 = -3\), \(3^2 - 4^2 = -7\) … - Toplam \(= -(1 + 2 + 3 + \ldots + 20) = -\dfrac{20 \cdot 21}{2} = -210\)
→ Sonuç \(-210\).
Kontrol
İlk iki grup: \(-3 - 7 = -10 = -(1 + 2 + 3 + 4)\) ✓
Sık yapılan hata
Grupları \(-1\) sanıp \(-10\) bulmak ya da işareti kaybedip \(210\) yazmak.
-
Bir dizinin ilk iki terimi \(2\) ve \(5\)'tir. Üçüncü terimden başlayarak her terim, bir önceki terimden ondan önceki terimin çıkarılmasıyla bulunur (\(a_n = a_{n-1} - a_{n-2}\)). Bu dizinin ilk \(100\) teriminin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a_1 = 2\), \(a_2 = 5\)
- \(a_n = a_{n-1} - a_{n-2}\)
Ne soruluyor?
İlk \(100\) terimin toplamı?
Çözüm
- Terimler: \(2, 5, 3, -2, -5, -3, 2, 5, \ldots\)
→ \(7.\) ve \(8.\) terim ilk iki terimle aynı; dizi \(6\) terimde bir tekrar eder. - Bir tekrarın toplamı: \(2 + 5 + 3 - 2 - 5 - 3 = 0\)
→ Her \(6\) terim toplama katkı yapmaz. - \(100 = 6 \cdot 16 + 4\): geriye ilk \(4\) terim kalır.
→ \(2 + 5 + 3 - 2 = 8\).
Kontrol
\(96\) terimin toplamı \(0\); \(97.\)–\(100.\) terimler \(2, 5, 3, -2\) → \(8\) ✓
Sık yapılan hata
\(100 \div 6\) işleminde bölümü (\(16\)) kalanla (\(4\)) karıştırmak ya da kalan \(4\) terimden \(-2\)'yi unutup \(10\) bulmak.
-
\(7\)'nin \(1.\) kuvvetinden \(2026.\) kuvvetine kadar bütün kuvvetleri toplanarak \(S = 7^1 + 7^2 + 7^3 + \ldots + 7^{2026}\) sayısı elde ediliyor. \(S\) sayısının birler basamağında hangi rakam bulunur?
Çözümü Göster
Verilenler
- Toplam: \(7^1 + 7^2 + \ldots + 7^{2026}\)
Ne soruluyor?
Toplamın birler basamağı?
Çözüm
- \(7\)'nin kuvvetlerinin birler basamakları: \(7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, \ldots\)
→ Örüntü \(4\) terimde bir tekrar eder. - Bir tekrarın birler toplamı: \(7 + 9 + 3 + 1 = 20\)
→ Birler basamağına katkısı \(0\). - \(2026 = 4 \cdot 506 + 2\): kalan iki terimin birler basamakları \(7\) ve \(9\)
→ \(7 + 9 = 16\) → birler basamağı \(6\).
Kontrol
Küçük örnek: \(7 + 49 = 56\) → birler \(6\) ✓ (\(2026\) de \(4\)'e bölümünden \(2\) kalanlıdır)
Sık yapılan hata
Toplamı değil yalnızca \(7^{2026}\)'nın birler basamağını (\(9\)) bulmak.
-
Sayma sayıları bir tabloya, sol üst köşeden başlayarak çaprazlar boyunca yazılıyor: her çapraz sağ üstten sol alta doğru doldurulup bir sonraki çapraza geçiliyor. Tablonun ilk dört satırı ve dört sütunu aşağıda verilmiştir.
Buna göre \(8.\) satır ile \(5.\) sütunun kesiştiği yerde hangi sayı bulunur?\(1.\) sütun \(2.\) sütun \(3.\) sütun \(4.\) sütun \(1.\) satır \(1\) \(2\) \(4\) \(7\) \(2.\) satır \(3\) \(5\) \(8\) \(12\) \(3.\) satır \(6\) \(9\) \(13\) \(18\) \(4.\) satır \(10\) \(14\) \(19\) \(25\) Çözümü Göster
Verilenler
- Çaprazlar: \(\{1\}, \{2, 3\}, \{4, 5, 6\}, \{7, 8, 9, 10\}, \ldots\)
- Her çapraz sağ üstten (\(1.\) satır) başlar
Ne soruluyor?
\(8.\) satır, \(5.\) sütundaki sayı?
Çözüm
- Satır \(+\) sütun \(- 1\) aynı olan hücreler aynı çaprazdadır.
→ \(8 + 5 - 1 = 12\): sayı \(12.\) çaprazdadır. - İlk \(11\) çaprazda \(1 + 2 + \ldots + 11 = 66\) sayı vardır.
→ \(12.\) çapraz \(67\) ile başlar, \(1.\) satırdan aşağı iner. - \(8.\) satırdaki hücre çaprazın \(8.\) sayısıdır: \(66 + 8 = 74\)
→ Sonuç \(74\).
Kontrol
Tabloyla deneme: \(3.\) satır \(4.\) sütun → \(6.\) çapraz, \(15 + 3 = 18\) ✓
Sık yapılan hata
Çaprazı ters yönde sayıp \(66 + 5 = 71\) bulmak ya da \(12.\) çaprazın başlangıcını \(66\) sanmak.
-
\(5,\ 9,\ 13,\ 17,\ \ldots\) dizisi \(4\)'er, \(3,\ 10,\ 17,\ 24,\ \ldots\) dizisi \(7\)'şer artarak devam etmektedir. \(500\)'den küçük olup her iki dizide de bulunan kaç sayı vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Birinci dizi: \(5, 9, 13, \ldots\) (\(4\)'e bölümünden kalan \(1\))
- İkinci dizi: \(3, 10, 17, \ldots\) (\(7\)'ye bölümünden kalan \(3\))
Ne soruluyor?
\(500\)'den küçük ortak terim sayısı?
Çözüm
- İlk ortak terim: \(17\)
→ \(17 = 5 + 3 \cdot 4 = 3 + 2 \cdot 7\) - Ortak terimler \(\text{EKOK}(4, 7) = 28\)'er artar: \(17, 45, 73, \ldots\)
→ Her iki adım uzunluğunun ortak katı. - \(17 + 28k \lt 500\) → \(28k \lt 483\) → \(k \le 17\)
→ \(k = 0, 1, \ldots, 17\): \(18\) terim (sonuncusu \(493\)).
Kontrol
\(493 = 5 + 122 \cdot 4 = 3 + 70 \cdot 7\) ✓; \(493 + 28 = 521 \gt 500\) ✓
Sık yapılan hata
\(k = 0\)'ı (\(17\)'yi) saymayı unutup \(17\) demek ya da ortak artışı \(4 + 7 = 11\) almak.
-
Bir \(n \times n\) kare ızgarada, her boyuttaki kareler (\(1 \times 1\), \(2 \times 2\), …, \(n \times n\)) sayılıyor. \(1 \times 1\) ızgarada \(1\), \(2 \times 2\) ızgarada \(5\), \(3 \times 3\) ızgarada \(14\) kare vardır. Toplam kare sayısı ilk kez \(1000\)'den fazla olan ızgara \(n \times n\) ise \(n\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(1, 5, 14, \ldots\)
- \(n \times n\) ızgarada \(k \times k\) karelerin sayısı \((n - k + 1)^2\)
Ne soruluyor?
Toplam ilk kez \(1000\)'i aşan \(n\)?
Çözüm
- Toplam kare sayısı: \(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)
→ \(3 \times 3\): \(1 + 4 + 9 = 14\) ✓ - \(n = 13\): \(\dfrac{13 \cdot 14 \cdot 27}{6} = 819\)
→ \(1000\)'den az. - \(n = 14\): \(819 + 14^2 = 819 + 196 = 1015\)
→ İlk kez \(1000\)'i aşar: \(n = 14\).
Kontrol
\(\dfrac{14 \cdot 15 \cdot 29}{6} = 1015\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca \(1 \times 1\) kareleri sayıp \(n^2 \gt 1000\) → \(n = 32\) gibi bir sonuca gitmek.