Kare ızgaralardaki bütün karelerin bini ilk aştığı adım
Bir \(n \times n\) kare ızgarada, her boyuttaki kareler (\(1 \times 1\), \(2 \times 2\), …, \(n \times n\)) sayılıyor. \(1 \times 1\) ızgarada \(1\), \(2 \times 2\) ızgarada \(5\), \(3 \times 3\) ızgarada \(14\) kare vardır. Toplam kare sayısı ilk kez \(1000\)'den fazla olan ızgara \(n \times n\) ise \(n\) kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(1, 5, 14, \ldots\)
- \(n \times n\) ızgarada \(k \times k\) karelerin sayısı \((n - k + 1)^2\)
Ne soruluyor?
Toplam ilk kez \(1000\)'i aşan \(n\)?
Çözüm
- Toplam kare sayısı: \(1^2 + 2^2 + \ldots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)
→ \(3 \times 3\): \(1 + 4 + 9 = 14\) ✓ - \(n = 13\): \(\dfrac{13 \cdot 14 \cdot 27}{6} = 819\)
→ \(1000\)'den az. - \(n = 14\): \(819 + 14^2 = 819 + 196 = 1015\)
→ İlk kez \(1000\)'i aşar: \(n = 14\).
Kontrol
\(\dfrac{14 \cdot 15 \cdot 29}{6} = 1015\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca \(1 \times 1\) kareleri sayıp \(n^2 \gt 1000\) → \(n = 32\) gibi bir sonuca gitmek.