Kenarlarında satır numarası olan sayı üçgeninde satır toplamı
Bir sayı üçgeninin \(1.\) satırında yalnızca \(1\) vardır. \(n.\) satırda \(n\) sayı bulunur; her satırın ilk ve son sayısı o satırın numarasıdır, aradaki her sayı ise hemen üstündeki iki sayının toplamıdır. Örneğin \(3.\) satır \(3,\ 4,\ 3\); \(4.\) satır \(4,\ 7,\ 7,\ 4\) şeklindedir. Buna göre \(10.\) satırdaki sayıların toplamı kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- Satırlar: \(1\); \(2, 2\); \(3, 4, 3\); \(4, 7, 7, 4\); …
Ne soruluyor?
\(10.\) satırın toplamı?
Çözüm
- Satır toplamları: \(1, 4, 10, 22, \ldots\)
→ \(5.\) satır \(5, 11, 14, 11, 5\) → \(46\). - Aradaki sayılar üstteki ardışık ikililerin toplamıdır; üstteki her iç sayı iki kez, uçlar birer kez sayılır.
→ İç toplam \(= 2S_{n-1} - 2(n - 1)\); uçlar \(2n\) ekler: \(S_n = 2S_{n-1} + 2\). - \(46 \to 94 \to 190 \to 382 \to 766 \to 1534\)
→ \(6.\)–\(10.\) satır toplamları; \(10.\) satırınki \(1534\).
Kontrol
Kapalı biçim: \(S_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 2\) → \(3 \cdot 512 - 2 = 1534\) ✓
Sık yapılan hata
Toplamın her satırda ikiye katlandığını sanıp \(2\) eklemeyi unutmak ya da \(9.\) satırda durmak (\(766\)).