AGS Sayı Dizileri ve Örüntüler Orta Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 20 dk
- Zorluk
- Orta
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(2,\ 5,\ 10,\ 17,\ 26,\ \ldots\) dizisi aynı kuralla devam ettiğine göre bu dizinin \(30.\) terimi kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Dizi: \(2, 5, 10, 17, 26, \ldots\)
Ne soruluyor?
\(30.\) terim kaçtır?
Çözüm
- Ardışık farklar: \(3, 5, 7, 9\); farkların farkı sabit \(2\)
→ Böyle dizilerde genel terim \(n^2\) içerir. - \(1 = 1^2\), \(4 = 2^2\), \(9 = 3^2\), … → terimler kare sayıların \(1\) fazlası
→ \(a_n = n^2 + 1\) - \(a_{30} = 30^2 + 1 = 900 + 1 = 901\)
→ \(30.\) terim \(901\).
Kontrol
\(a_5 = 25 + 1 = 26\) ✓; farklar yoluyla: \(2 + (3 + 5 + \ldots + 59) = 2 + 899 = 901\) ✓
Sık yapılan hata
Kare sayıyı bulup \(1\) eklemeyi unutmak (\(900\)) ya da \(29^2 + 1 = 842\) gibi sırayı kaydırmak.
-
Noktalarla üçgen şekiller yapılıyor: \(1.\) şekilde \(1\) nokta vardır; her yeni şeklin altına, şekil numarası kadar noktadan oluşan yeni bir sıra ekleniyor. Böylece \(2.\) şekilde \(3\), \(3.\) şekilde \(6\), \(4.\) şekilde \(10\) nokta oluyor. Nokta sayısı ilk kez \(200\)'den fazla olan şekil kaçıncı şekildir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(n.\) şekle \(n\) noktalık sıra eklenir
- Nokta sayıları: \(1, 3, 6, 10, \ldots\)
Ne soruluyor?
Nokta sayısı ilk kez \(200\)'ü aşan şekil?
Çözüm
- \(n.\) şekildeki nokta sayısı \(1 + 2 + \ldots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}\)
→ Ardışık sayıların toplamı. - \(n = 19\): \(\dfrac{19 \cdot 20}{2} = 190\)
→ \(200\)'den az. - \(n = 20\): \(\dfrac{20 \cdot 21}{2} = 210\)
→ İlk kez \(200\)'ü aşar; cevap \(20.\) şekil.
Kontrol
\(190 \lt 200 \lt 210\) ✓
Sık yapılan hata
\(\dfrac{n(n+1)}{2} = 200\) denklemini çözmeye çalışıp yaklaşık \(19\) bulmak ve \(190\)'ın \(200\)'den küçük olduğunu gözden kaçırmak.
-
Sayma sayıları bir üçgene sırayla yazılıyor: \(1.\) satırda \(1\); \(2.\) satırda \(2,\ 3\); \(3.\) satırda \(4,\ 5,\ 6\); \(4.\) satırda \(7,\ 8,\ 9,\ 10\) vardır ve her satırda bir öncekinden bir fazla sayı bulunur. Buna göre \(15.\) satırdaki sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(n.\) satırda \(n\) tane ardışık sayı var
- Sayılar \(1\)'den başlayıp kesintisiz devam ediyor
Ne soruluyor?
\(15.\) satırın toplamı?
Çözüm
- İlk \(14\) satırda \(1 + 2 + \ldots + 14 = 105\) sayı kullanılır.
→ Yani \(14.\) satır \(105\) ile biter. - \(15.\) satır \(106\) ile başlar, \(15\) sayı içerir ve \(120\) ile biter.
→ \(106 + 14 = 120\) - Toplam: \(\dfrac{15 \cdot (106 + 120)}{2} = \dfrac{15 \cdot 226}{2} = 15 \cdot 113 = 1695\)
→ Sonuç \(1695\).
Kontrol
\(120 = \dfrac{15 \cdot 16}{2}\) ilk \(15\) satırın son sayısıdır ✓
Sık yapılan hata
\(15.\) satırın \(105\) ile başladığını sanıp toplamı \(15\) eksik bulmak (\(1680\)).
-
\(1,\ 3,\ 4,\ 9,\ 16,\ 27,\ 64,\ 81,\ \ldots\) dizisinde tek sıradaki ve çift sıradaki terimler ayrı birer kurala uymaktadır. Buna göre bu dizinin \(11.\) terimi kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Dizi: \(1, 3, 4, 9, 16, 27, 64, 81, \ldots\)
Ne soruluyor?
\(11.\) terim kaçtır?
Çözüm
- Tek sıradakiler (\(1., 3., 5., 7.\)): \(1, 4, 16, 64\)
→ Her biri öncekinin \(4\) katı. - Çift sıradakiler (\(2., 4., 6., 8.\)): \(3, 9, 27, 81\)
→ Her biri öncekinin \(3\) katı. - \(11.\) terim tek sıradadır: \(9.\) terim \(64 \cdot 4 = 256\), \(11.\) terim \(256 \cdot 4 = 1024\)
→ Sonuç \(1024\).
Kontrol
Tek sıradaki \(k.\) terim \(4^{k-1}\); \(11.\) terim tek sıradakilerin \(6.\)'sı: \(4^5 = 1024\) ✓
Sık yapılan hata
Bir sonraki terimi (\(9.\) terim, \(256\)) cevap sanmak ya da \(11.\) terimi çift sıradaki diziden almak.
-
Bir dizide üçüncü terimden başlayarak her terim, kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir. Bu dizinin \(4.\) terimi \(11\), \(7.\) terimi \(47\) olduğuna göre \(1.\) terimi kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a_{n} = a_{n-1} + a_{n-2}\)
- \(a_4 = 11\), \(a_7 = 47\)
Ne soruluyor?
\(a_1\) kaçtır?
Çözüm
- \(a_5 = x\) diyelim: \(a_6 = a_5 + a_4 = x + 11\)
→ Bilinen terimden ileri gidiyoruz. - \(a_7 = a_6 + a_5 = 2x + 11 = 47\) → \(x = 18\)
→ Böylece \(a_5 = 18\). - \(a_3 = a_5 - a_4 = 18 - 11 = 7\), \(a_2 = a_4 - a_3 = 11 - 7 = 4\), \(a_1 = a_3 - a_2 = 7 - 4 = 3\)
→ Geriye doğru çıkarma yapılır; \(a_1 = 3\).
Kontrol
Dizi: \(3, 4, 7, 11, 18, 29, 47\) ✓
Sık yapılan hata
Geriye giderken toplama yapmak ya da \(a_3\)'ü \(a_4 - a_5\) gibi ters sırayla hesaplayıp negatif sayıya düşmek.
-
Bir öğretmen adayı AGS'ye hazırlanırken \(1.\) gün \(3\) soru çözüyor ve sonraki her gün bir önceki günden \(4\) soru fazla çözüyor. Çözdüğü toplam soru sayısı ilk kez kaçıncı günün sonunda \(500\)'e ulaşır ya da \(500\)'ü geçer?
Çözümü Göster
Verilenler
- Günlük soru sayısı: \(3, 7, 11, 15, \ldots\)
- Hedef: toplam en az \(500\)
Ne soruluyor?
Toplam ilk kez kaçıncı gün \(500\)'e ulaşır?
Çözüm
- \(n.\) gün çözülen: \(3 + 4(n - 1) = 4n - 1\)
→ Aritmetik dizi. - İlk \(n\) günün toplamı: \(\dfrac{n \cdot (3 + 4n - 1)}{2} = n(2n + 1)\)
→ Toplam formülü. - \(n = 15\): \(15 \cdot 31 = 465\); \(n = 16\): \(16 \cdot 33 = 528\)
→ \(465 \lt 500 \le 528\): cevap \(16.\) gün.
Kontrol
\(16.\) gün \(63\) soru çözülür: \(465 + 63 = 528\) ✓
Sık yapılan hata
Günlük soru sayısının \(500\)'e ulaştığı günü aramak (\(4n - 1 \ge 500\)); soru toplamı soruyor.
-
Kareli bir zemin üzerinde \(1.\) adımda tek bir birim kare boyanıyor. Sonraki her adımda, boyalı karelerden birine kenarıyla değen (yalnızca köşeyle değenler hariç) bütün boş kareler de boyanıyor. Böylece \(2.\) adımda \(5\), \(3.\) adımda \(13\) boyalı kare oluyor. \(10.\) adımın sonunda kaç boyalı kare olur?
Çözümü Göster
Verilenler
- Boyalı kare sayıları: \(1, 5, 13, \ldots\)
Ne soruluyor?
\(10.\) adımda kaç boyalı kare var?
Çözüm
- Eklenen kareler: \(4, 8, 12, \ldots\)
→ Şekil elmas biçiminde büyür; \(n.\) adımda \(4(n - 1)\) kare eklenir. - \(10.\) adıma kadar eklenen: \(4 \cdot (1 + 2 + \ldots + 9) = 4 \cdot 45 = 180\)
→ İlk karenin üstüne eklenenler. - \(1 + 180 = 181\)
→ Sonuç \(181\).
Kontrol
Genel kural \(2n^2 - 2n + 1\): \(n = 3\) için \(13\) ✓, \(n = 10\) için \(200 - 20 + 1 = 181\) ✓
Sık yapılan hata
İlk boyalı kareyi eklemeyi unutup \(180\) bulmak ya da artışı sabit \(4\) sanmak.
-
Bir okul müdürü bir duyuruyu \(1.\) gün \(3\) veliye iletiyor. Duyuruyu alan her veli, ertesi gün duyuruyu daha önce almamış \(3\) farklı veliye iletiyor ve bir daha iletmiyor. \(6.\) günün sonunda duyuruyu almış veli sayısı toplam kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(1.\) gün \(3\) veli
- Her alıcı ertesi gün \(3\) yeni veliye iletiyor
Ne soruluyor?
\(6\) günde toplam kaç veli duyuruyu aldı?
Çözüm
- Her gün yeni alan veli sayısı bir önceki günün \(3\) katı: \(3, 9, 27, 81, 243, 729\)
→ Geometrik artış. - Toplam: \(3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729\)
→ Altı günün hepsi toplanır. - \(3 + 9 + 27 = 39\), \(81 + 243 + 729 = 1053\), \(39 + 1053 = 1092\)
→ Sonuç \(1092\).
Kontrol
Formülle: \(3 \cdot \dfrac{3^6 - 1}{3 - 1} = 3 \cdot 364 = 1092\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca \(6.\) gün alanları (\(729\)) saymak ya da müdürü de ekleyip \(1093\) demek; müdür veli değildir.
-
\(\dfrac{1}{2},\ \dfrac{2}{5},\ \dfrac{3}{10},\ \dfrac{4}{17},\ \dfrac{5}{26},\ \ldots\) dizisi aynı kuralla devam ettiğine göre \(10.\) terimi kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Paylar: \(1, 2, 3, 4, 5, \ldots\)
- Paydalar: \(2, 5, 10, 17, 26, \ldots\)
Ne soruluyor?
\(10.\) terim kaçtır?
Çözüm
- Pay, terimin sıra numarasıdır.
→ \(10.\) terimin payı \(10\). - Paydalar: \(1^2 + 1, 2^2 + 1, 3^2 + 1, \ldots\)
→ Paydanın farkları \(3, 5, 7, 9\); \(n.\) payda \(n^2 + 1\). - \(10.\) payda: \(10^2 + 1 = 101\)
→ \(10.\) terim \(\dfrac{10}{101}\).
Kontrol
\(5.\) terim \(\dfrac{5}{5^2 + 1} = \dfrac{5}{26}\) ✓; \(\dfrac{10}{101}\) sadeleşmez ✓
Sık yapılan hata
Paydayı \(n^2 - 1\) sanıp \(\dfrac{10}{99}\) yazmak ya da sırayı kaydırıp \(\dfrac{9}{82}\) bulmak.
-
Sayma sayıları \(1\)'den başlayarak aralarında boşluk bırakılmadan yan yana yazılıyor: \(123456789101112\ldots\) Buna göre soldan \(100.\) rakam kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Yazılış: \(1, 2, \ldots, 9, 10, 11, \ldots\) yan yana
Ne soruluyor?
Soldan \(100.\) rakam?
Çözüm
- \(1\)–\(9\): \(9\) rakam
→ Kalan: \(100 - 9 = 91\) rakam. - İki basamaklı sayıların her biri \(2\) rakam: \(91 = 2 \cdot 45 + 1\)
→ \(45\) iki basamaklı sayı (\(10\)–\(54\)) tamamen yazılır; toplam \(99\) rakam. - \(100.\) rakam, \(55\) sayısının ilk rakamıdır: \(5\)
→ Sonuç \(5\).
Kontrol
\(9 + 2 \cdot 45 = 99\) → \(99.\) rakam \(54\)'ün \(4\)'ü, \(100.\) rakam \(55\)'in \(5\)'i ✓
Sık yapılan hata
\(91 \div 2\) işleminden çıkan \(45\)'i görüp \(100.\) rakamın \(54\)'ün son rakamı (\(4\)) olduğunu sanmak; \(54\) ile \(99.\) rakamda yazım biter, \(1\) rakam artar.