Kenarıyla değen karelerin eklenmesiyle büyüyen şekil
Kareli bir zemin üzerinde \(1.\) adımda tek bir birim kare boyanıyor. Sonraki her adımda, boyalı karelerden birine kenarıyla değen (yalnızca köşeyle değenler hariç) bütün boş kareler de boyanıyor. Böylece \(2.\) adımda \(5\), \(3.\) adımda \(13\) boyalı kare oluyor. \(10.\) adımın sonunda kaç boyalı kare olur?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- Boyalı kare sayıları: \(1, 5, 13, \ldots\)
Ne soruluyor?
\(10.\) adımda kaç boyalı kare var?
Çözüm
- Eklenen kareler: \(4, 8, 12, \ldots\)
→ Şekil elmas biçiminde büyür; \(n.\) adımda \(4(n - 1)\) kare eklenir. - \(10.\) adıma kadar eklenen: \(4 \cdot (1 + 2 + \ldots + 9) = 4 \cdot 45 = 180\)
→ İlk karenin üstüne eklenenler. - \(1 + 180 = 181\)
→ Sonuç \(181\).
Kontrol
Genel kural \(2n^2 - 2n + 1\): \(n = 3\) için \(13\) ✓, \(n = 10\) için \(200 - 20 + 1 = 181\) ✓
Sık yapılan hata
İlk boyalı kareyi eklemeyi unutup \(180\) bulmak ya da artışı sabit \(4\) sanmak.