AGS Rasyonel Sayılar Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(\dfrac{5}{11}\) kesri ondalık sayıya çevrildiğinde virgülden sonraki ilk 25 basamaktaki rakamların toplamı kaç olur?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{5}{11}\)
- Virgülden sonraki ilk \(25\) basamak
Ne soruluyor?
Bu basamaklardaki rakamların toplamı.
Çözüm
- \(\dfrac{5}{11} = \dfrac{45}{99} = 0{,}\overline{45} = 0{,}454545\ldots\)
→ Pay ve payda \(9\) ile genişletilince payda \(99\) olur; iki basamaklı devir \(45\)'tir. - \(25 = 2 \cdot 12 + 1\): ilk \(24\) basamakta \(12\) tane "\(45\)" bloğu, \(25\). basamakta ise \(4\) vardır.
→ Tek sıradaki basamaklar \(4\), çift sıradakiler \(5\)'tir. - Toplam: \(12 \cdot (4 + 5) + 4 = 108 + 4 = 112\)
→ Sonuç: \(112\)
Kontrol
Tek sıradaki \(13\) basamak \(4\), çift sıradaki \(12\) basamak \(5\): \(13 \cdot 4 + 12 \cdot 5 = 52 + 60 = 112\) ✓
Sık yapılan hata
\(25\) basamağı \(12{,}5\) blok sayıp \(12{,}5 \cdot 9\) gibi bir işlem yapmak ya da kalan \(25\). basamağı \(5\) alıp \(113\) bulmak.
-
\(125\) metre yükseklikten bırakılan bir top, yere her çarpışından sonra düştüğü yüksekliğin \(\dfrac{3}{5}\)'ü kadar yükseliyor. Top yere dördüncü kez çarptığı ana kadar toplam kaç metre yol almıştır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Bırakılan yükseklik: \(125\) m
- Her sekme önceki düşüşün \(\dfrac{3}{5}\)'ü
Ne soruluyor?
Dördüncü çarpışmaya kadar alınan toplam yol.
Çözüm
- Sekme yükseklikleri: \(125 \cdot \dfrac{3}{5} = 75\), \(75 \cdot \dfrac{3}{5} = 45\), \(45 \cdot \dfrac{3}{5} = 27\)
→ Her sekme bir öncekinin \(\dfrac{3}{5}\)'üdür. - İlk düşüş \(125\) m (1. çarpma); sonra her sekmede top aynı yüksekliği bir kez çıkar, bir kez iner.
→ \(75\), \(45\) ve \(27\) metrelik sekmeler 2., 3. ve 4. çarpmaları verir. - Toplam: \(125 + 2(75 + 45 + 27) = 125 + 2 \cdot 147 = 125 + 294\)
→ Çıkış ve iniş ayrı ayrı sayılır. - \(125 + 294 = 419\)
→ Sonuç: \(419\) m
Kontrol
Yol: \(125 + 75 + 75 + 45 + 45 + 27 + 27 = 419\) ✓
Sık yapılan hata
Sekmelerde yalnızca çıkışı sayıp \(125 + 147 = 272\) bulmak ya da \(27\) metrelik sekmeden sonraki \(16{,}2\) metrelik çıkışı da eklemek.
-
\(x\) pozitif tam sayı olmak üzere \(\dfrac{5}{9} \lt \dfrac{x}{x + 4} \lt \dfrac{4}{5}\) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı \(x\) değeri vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{5}{9} \lt \dfrac{x}{x + 4} \lt \dfrac{4}{5}\)
- \(x\) pozitif tam sayı
Ne soruluyor?
Eşitsizliği sağlayan \(x\) değerlerinin sayısı.
Çözüm
- Sol taraf: \(5(x + 4) \lt 9x\) → \(20 \lt 4x\) → \(x \gt 5\)
→ Paydalar pozitif olduğundan içler dışlar çarpımı yön değiştirmez. - Sağ taraf: \(5x \lt 4(x + 4)\) → \(x \lt 16\)
→ Aynı işlem. - \(5 \lt x \lt 16\) → \(x \in \{6, 7, \dots, 15\}\)
→ Uçlar dahil değildir. - \(15 - 6 + 1 = 10\) değer
→ Sonuç: \(10\)
Kontrol
\(x = 5\) için \(\dfrac{5}{9}\) (eşit, olmaz); \(x = 16\) için \(\dfrac{16}{20} = \dfrac{4}{5}\) (eşit, olmaz); \(x = 6\) ve \(x = 15\) sağlar ✓
Sık yapılan hata
Uç değerleri (\(5\) ve \(16\)) de sayıp \(12\) bulmak ya da \(16 - 5 = 11\) yazmak.
-
\(a = \dfrac{2023}{2024}\), \(b = \dfrac{2024}{2025}\) ve \(c = \dfrac{2025}{2023}\) sayıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a = \dfrac{2023}{2024}\), \(b = \dfrac{2024}{2025}\), \(c = \dfrac{2025}{2023}\)
Ne soruluyor?
Üç sayının doğru sıralaması.
Çözüm
- \(c\)'de pay paydadan büyüktür: \(c \gt 1\). \(a\) ve \(b\) ise \(1\)'den küçüktür.
→ Basit kesir \(1\)'den küçük, bileşik kesir \(1\)'den büyüktür. - \(a = 1 - \dfrac{1}{2024}\) ve \(b = 1 - \dfrac{1}{2025}\)
→ Her biri \(1\)'den bir birim kesir eksiktir. - \(\dfrac{1}{2025} \lt \dfrac{1}{2024}\) olduğundan \(b\), \(1\)'e daha yakındır: \(a \lt b\)
→ Eksiği az olan büyüktür. - Sıralama: \(a \lt b \lt c\)
→ Sonuç: \(a \lt b \lt c\)
Kontrol
Çapraz çarpım: \(2023 \cdot 2025 = 2024^{2} - 1 \lt 2024^{2}\) olduğundan \(\dfrac{2023}{2024} \lt \dfrac{2024}{2025}\) ✓
Sık yapılan hata
Pay ve paydası daha büyük sayılardan oluşan \(b\)'yi otomatik olarak küçük sanmak ya da \(c\)'nin \(1\)'den büyük olduğunu gözden kaçırmak.
-
\(0{,}\overline{3} + 0{,}0\overline{3} + 0{,}00\overline{3}\) toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(0{,}\overline{3}\), \(0{,}0\overline{3}\), \(0{,}00\overline{3}\)
Ne soruluyor?
Üç devirli sayının toplamı.
Çözüm
- \(0{,}\overline{3} = \dfrac{1}{3}\); \(0{,}0\overline{3}\), bunun \(10\)'da biridir: \(\dfrac{1}{30}\); \(0{,}00\overline{3} = \dfrac{1}{300}\)
→ Virgülü bir basamak sağa kaydırmak \(10\)'a bölmektir. - \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{30} + \dfrac{1}{300} = \dfrac{100 + 10 + 1}{300} = \dfrac{111}{300}\)
→ Ortak payda \(300\). - \(\dfrac{111}{300} = \dfrac{37}{100}\)
→ \(3\) ile sadeleşir. Sonuç: \(\dfrac{37}{100}\)
Kontrol
Alt alta toplama: \(0{,}3333\ldots + 0{,}0333\ldots + 0{,}0033\ldots = 0{,}3699\ldots = 0{,}36\overline{9} = 0{,}37\) ✓
Sık yapılan hata
Devirleri yok sayıp \(0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 = 0{,}333\) almak ya da sonucu \(0{,}\overline{36}\) gibi devirli bırakmak.
-
\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar ve \(a \lt b\) olmak üzere \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{6}\) eşitliğini sağlayan kaç farklı \((a, b)\) ikilisi vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{6}\)
- \(0 \lt a \lt b\), tam sayılar
Ne soruluyor?
Eşitliği sağlayan ikililerin sayısı.
Çözüm
- Paydalar eşitlenir: \(6b + 6a = ab\) → \(ab - 6a - 6b + 36 = 36\) → \((a - 6)(b - 6) = 36\)
→ Her iki tarafa \(36\) eklenerek çarpanlara ayrılır. - \(\dfrac{1}{a} \lt \dfrac{1}{6}\) olmalı, yani \(a \gt 6\); çarpanlar pozitiftir. \(a \lt b\) için \(a - 6\), \(36\)'nın \(6\)'dan küçük bölenidir.
→ \(a - 6 = b - 6 = 6\) olursa \(a = b\) olur, sayılmaz. - \(a - 6 \in \{1, 2, 3, 4\}\) → \((7, 42)\), \((8, 24)\), \((9, 18)\), \((10, 15)\)
→ Sonuç: \(4\) ikili
Kontrol
\(\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{3 + 2}{30} = \dfrac{1}{6}\) ve \(\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{42} = \dfrac{6 + 1}{42} = \dfrac{1}{6}\) ✓
Sık yapılan hata
\(a = b = 12\) ikilisini de sayıp \(5\) bulmak ya da \(36\)'nın bütün bölenlerini (\(9\) tane) saymak.
-
Bir öğretmen adayı bir kitabın 1. gün \(\dfrac{1}{5}\)'ini, 2. gün kalan sayfaların \(\dfrac{1}{4}\)'ini, 3. gün ise yine kalan sayfaların \(\dfrac{1}{3}\)'ini okuyor. Okumadığı \(120\) sayfa kaldığına göre kitap kaç sayfadır?
Çözümü Göster
Verilenler
- 1. gün bütünün \(\dfrac{1}{5}\)'i
- 2. gün kalanın \(\dfrac{1}{4}\)'i, 3. gün kalanın \(\dfrac{1}{3}\)'i
- Kalan: \(120\) sayfa
Ne soruluyor?
Kitabın sayfa sayısı.
Çözüm
- 1. günden sonra kalan: \(\dfrac{4}{5}\)
→ \(1 - \dfrac{1}{5}\). - 2. günden sonra kalan: \(\dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{5}\); 3. günden sonra: \(\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{5}\)
→ Her gün kalanın \(1 -\) kesir kadarı kalır. - \(\dfrac{2}{5}\) kitap \(= 120\) → \(\dfrac{1}{5}\) kitap \(= 60\) → kitap \(= 300\) sayfa
→ Sonuç: \(300\)
Kontrol
\(300\): 1. gün \(60\) (kalan \(240\)), 2. gün \(60\) (kalan \(180\)), 3. gün \(60\) (kalan \(120\)) ✓
Sık yapılan hata
Kesirleri bütünün kesri sanıp \(1 - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{13}{60}\) yazmak; bu yolla sayfa sayısı tam sayı bile çıkmaz.
-
\(x\) ve \(y\) sıfırdan farklı sayılar ve \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4}\) olduğuna göre \(\dfrac{2x + y}{x - y}\) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4}\)
Ne soruluyor?
\(\dfrac{2x + y}{x - y}\) değeri.
Çözüm
- \(x = 3k\), \(y = 4k\) (\(k \ne 0\)) yazılır.
→ Oran korunduğu sürece \(k\) değeri sonucu değiştirmez. - Pay: \(2 \cdot 3k + 4k = 10k\); payda: \(3k - 4k = -k\)
→ Yerine koyma. - \(\dfrac{10k}{-k} = -10\)
→ Sonuç: \(-10\)
Kontrol
\(x = 3\), \(y = 4\): \(\dfrac{6 + 4}{3 - 4} = \dfrac{10}{-1} = -10\) ✓
Sık yapılan hata
Paydayı \(y - x\) gibi düşünüp işareti kaybetmek ve \(10\) bulmak.
-
\(\dfrac{7}{2^{3} \cdot 5^{5}}\) kesri ondalık sayı olarak yazıldığında virgülden sonra kaç basamak bulunur?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{7}{2^{3} \cdot 5^{5}}\)
Ne soruluyor?
Ondalık gösterimde virgülden sonraki basamak sayısı.
Çözüm
- Paydayı \(10\)'un kuvveti yapmak için pay ve payda \(2^{2}\) ile genişletilir: \(\dfrac{7 \cdot 2^{2}}{2^{5} \cdot 5^{5}} = \dfrac{28}{10^{5}}\)
→ \(2\) ve \(5\)'in üsleri eşitlenir; büyük üs (\(5\)) belirleyicidir. - \(\dfrac{28}{100000} = 0{,}00028\)
→ Virgül \(5\) basamak sola kayar. - Virgülden sonra \(0, 0, 0, 2, 8\): \(5\) basamak
→ Sonuç: \(5\)
Kontrol
\(2^{3} \cdot 5^{5} = 8 \cdot 3125 = 25000\) ve \(7 : 25000 = 0{,}00028\) ✓
Sık yapılan hata
Üsleri toplayıp \(3 + 5 = 8\) basamak demek ya da küçük üsse (\(3\)) bakmak.
-
\(a\), \(b\) ve \(c\) pozitif sayılar olmak üzere \(a\), \(b\)'nin \(\dfrac{2}{3}\)'si; \(b\) de \(c\)'nin \(\dfrac{3}{4}\)'üdür. \(a + b + c = 45\) olduğuna göre \(b\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a = \dfrac{2}{3}b\)
- \(b = \dfrac{3}{4}c\)
- \(a + b + c = 45\)
Ne soruluyor?
\(b\) değeri.
Çözüm
- Hepsini \(c\) türünden yazalım: \(b = \dfrac{3}{4}c\), \(a = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4}c = \dfrac{1}{2}c\)
→ Kesrin kesri çarpımdır. - \(\dfrac{1}{2}c + \dfrac{3}{4}c + c = \dfrac{2 + 3 + 4}{4}c = \dfrac{9}{4}c = 45\)
→ Ortak payda \(4\). - \(c = 20\), \(b = \dfrac{3}{4} \cdot 20 = 15\)
→ Sonuç: \(15\)
Kontrol
\(a = 10\), \(b = 15\), \(c = 20\): \(10 = \dfrac{2}{3} \cdot 15\), \(15 = \dfrac{3}{4} \cdot 20\), \(10 + 15 + 20 = 45\) ✓
Sık yapılan hata
\(c\)'yi (\(20\)) ya da \(a\)'yı (\(10\)) cevap olarak işaretlemek ya da \(a\)'yı \(c\)'nin \(\dfrac{2}{3}\)'si sanmak.