Toplamı altıda bir olan iki birim kesir
\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar ve \(a \lt b\) olmak üzere \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{6}\) eşitliğini sağlayan kaç farklı \((a, b)\) ikilisi vardır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{1}{6}\)
- \(0 \lt a \lt b\), tam sayılar
Ne soruluyor?
Eşitliği sağlayan ikililerin sayısı.
Çözüm
- Paydalar eşitlenir: \(6b + 6a = ab\) → \(ab - 6a - 6b + 36 = 36\) → \((a - 6)(b - 6) = 36\)
→ Her iki tarafa \(36\) eklenerek çarpanlara ayrılır. - \(\dfrac{1}{a} \lt \dfrac{1}{6}\) olmalı, yani \(a \gt 6\); çarpanlar pozitiftir. \(a \lt b\) için \(a - 6\), \(36\)'nın \(6\)'dan küçük bölenidir.
→ \(a - 6 = b - 6 = 6\) olursa \(a = b\) olur, sayılmaz. - \(a - 6 \in \{1, 2, 3, 4\}\) → \((7, 42)\), \((8, 24)\), \((9, 18)\), \((10, 15)\)
→ Sonuç: \(4\) ikili
Kontrol
\(\dfrac{1}{10} + \dfrac{1}{15} = \dfrac{3 + 2}{30} = \dfrac{1}{6}\) ve \(\dfrac{1}{7} + \dfrac{1}{42} = \dfrac{6 + 1}{42} = \dfrac{1}{6}\) ✓
Sık yapılan hata
\(a = b = 12\) ikilisini de sayıp \(5\) bulmak ya da \(36\)'nın bütün bölenlerini (\(9\) tane) saymak.