AGS Kümeler Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(60\) öğretmenin bulunduğu bir okulda; tiyatroya giden \(28\), sinemaya giden \(25\), konsere giden \(22\) öğretmen vardır. Tiyatro ve sinemaya giden \(10\), tiyatro ve konsere giden \(8\), sinema ve konsere giden \(7\) öğretmen olup üç etkinliğe de giden öğretmen sayısı \(3\)'tür. Bu üç etkinlikten hiçbirine gitmeyen kaç öğretmen vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(T) = 28\), \(s(S) = 25\), \(s(K) = 22\)
- \(s(T \cap S) = 10\), \(s(T \cap K) = 8\), \(s(S \cap K) = 7\)
- \(s(T \cap S \cap K) = 3\); toplam \(60\)
Ne soruluyor?
Hiçbirine gitmeyenler?
Çözüm
- Üç küme için birleşim: \(s(T \cup S \cup K) = 28 + 25 + 22 - 10 - 8 - 7 + 3\)
→ İkili kesişimler çıkarılınca üçlü kesişim tamamen silinir; bu yüzden geri eklenir. - \(75 - 25 + 3 = 53\) öğretmen en az bir etkinliğe gidiyor
→ Birleşim. - Hiçbirine gitmeyen: \(60 - 53 = 7\)
→ Sonuç: \(7\) öğretmen.
Kontrol
Bölgeler: üçü \(3\); yalnız T–S \(7\), yalnız T–K \(5\), yalnız S–K \(4\); yalnız T \(13\), yalnız S \(11\), yalnız K \(10\); toplam \(53\) ✓
Sık yapılan hata
Üçlü kesişimi geri eklemeyi unutup \(60 - 50 = 10\) bulmak ya da ikili kesişimleri hiç çıkarmayıp negatif sonuç elde etmek.
-
Yedi elemanlı \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) kümesinin bütün alt kümeleri tek tek yazılıyor. Elemanlarının toplamı tek sayı olan alt kümelerin sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = \{1, 2, \dots, 7\}\)
- Tek elemanlar \(1, 3, 5, 7\); çift elemanlar \(2, 4, 6\)
Ne soruluyor?
Toplamı tek olan alt kümelerin sayısı?
Çözüm
- Toplamın tek olması yalnızca seçilen tek sayıların adedine bağlıdır: tek sayıda tek eleman seçilmelidir
→ Çift sayılar toplamın tek–çift durumunu değiştirmez. - \(\{1, 3, 5, 7\}\)'den bir ya da üç eleman seçme: \(\binom{4}{1} + \binom{4}{3} = 4 + 4 = 8\) yol
→ Tek sayıda tek eleman. - Çift elemanlar serbest: \(2^3 = 8\) yol; toplam \(8 \cdot 8 = 64\)
→ Sonuç: \(64\).
Kontrol
\(128\) alt kümenin tam yarısı: \(1\) elemanını içeren ve içermeyen alt kümeler eşleştirilince toplamın tek–çift durumu değişir; \(128 \div 2 = 64\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca tek elemanlardan oluşan uygun alt kümeleri (\(8\)) cevap vermek ya da boş kümeyi de sayıp \(65\) bulmak (boş kümenin toplamı \(0\), çifttir).
-
Bir öğrenci \(1\)'den \(7\)'ye kadar olan doğal sayılardan üçünü, seçtiği sayıların hiçbir ikisi ardışık olmayacak biçimde seçerek üç elemanlı bir küme oluşturuyor. Öğrenci kaç farklı küme oluşturabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayılar \(1, 2, \dots, 7\)
- Üç eleman; hiçbir ikisi ardışık değil
Ne soruluyor?
Kaç farklı küme?
Çözüm
- En küçük eleman \(1\) ise: \(\{1, 3, 5\}\), \(\{1, 3, 6\}\), \(\{1, 3, 7\}\), \(\{1, 4, 6\}\), \(\{1, 4, 7\}\), \(\{1, 5, 7\}\) → \(6\) küme
→ Düzenli listeleme. - En küçük eleman \(2\) ise: \(\{2, 4, 6\}\), \(\{2, 4, 7\}\), \(\{2, 5, 7\}\) → \(3\); en küçük eleman \(3\) ise yalnız \(\{3, 5, 7\}\) → \(1\)
→ En küçük eleman \(4\) olamaz: \(4, 6, 8\) taşar. - Toplam \(6 + 3 + 1 = 10\)
→ Sonuç: \(10\).
Kontrol
Kısa yol: seçilen sayılar \(a \lt b \lt c\) için \(a\), \(b - 1\), \(c - 2\) sayıları \(\{1, \dots, 5\}\)'ten farklı üç sayıdır; \(\binom{5}{3} = 10\) ✓
Sık yapılan hata
Tüm üçlü seçimlerden yalnızca üç ardışık sayı içerenleri (\(5\) tane) çıkarıp \(35 - 5 = 30\) bulmak; iki ardışık sayı içeren kümeler de çıkarılmalıdır.
-
Bir kitap kulübündeki her üye roman ya da şiir türlerinden en az birini okuyor. Yalnızca roman okuyanların sayısı, yalnızca şiir okuyanların sayısının \(2\) katıdır; her iki türü de okuyanların sayısı ise yalnızca şiir okuyanların sayısından \(3\) fazladır. Kulüpte \(31\) üye olduğuna göre roman okuyan kaç üye vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Yalnız şiir \(k\)
- Yalnız roman \(2k\)
- İkisi \(k + 3\)
- Toplam \(31\) (hiçbiri yok)
Ne soruluyor?
Roman okuyanların sayısı?
Çözüm
- Üç bölgenin toplamı kulübün tamamıdır: \(2k + (k + 3) + k = 31\)
→ Venn şemasının bölgeleri. - \(4k + 3 = 31\) → \(k = 7\)
→ Yalnız şiir \(7\), yalnız roman \(14\), ikisi \(10\). - Roman okuyan: yalnız roman \(+\) ikisi \(= 14 + 10 = 24\)
→ Sonuç: \(24\) üye.
Kontrol
\(14 + 10 + 7 = 31\) ✓; şiir okuyan \(17\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca roman okuyanları (\(14\)) cevap vermek; “roman okuyan” ifadesi her iki türü okuyanları da kapsar.
-
\(50\) kişilik bir grupta \(32\) kişi İngilizce, \(28\) kişi Almanca biliyor. Bu gruptaki kişilerden hiçbir dili bilmeyenlerin sayısı en çok kaç olabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Toplam \(50\)
- İngilizce \(32\), Almanca \(28\)
Ne soruluyor?
Hiçbirini bilmeyenlerin en büyük değeri?
Çözüm
- Hiçbiri \(= 50 - s(İ \cup A) = 50 - (60 - x)\), \(x\): iki dili bilenler
→ Birleşim küçüldükçe “hiçbiri” büyür. - Birleşim en küçük olduğunda, yani Almanca bilenlerin hepsi İngilizce de bildiğinde \(x = 28\) olur
→ Kesişim, küçük kümenin eleman sayısını aşamaz. - \(s(İ \cup A) = 32\) → hiçbiri \(50 - 32 = 18\)
→ Sonuç: \(18\).
Kontrol
\(x = 28\): yalnız İngilizce \(4\), ikisi \(28\), hiçbiri \(18\) → \(4 + 28 + 18 = 50\) ✓
Sık yapılan hata
En az değeri bulup (\(32 + 28 - 50 = 10\) kişinin iki dili bilmesi zorunludur) onu cevap sanmak ya da \(50 - 28 = 22\) hesaplamak.
-
\(s(A) = 5\), \(s(B) = 4\) ve \(s(A \cap B) = 2\) olduğuna göre \(A \cup B\) kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi \(A\) kümesinin alt kümesi değildir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A) = 5\), \(s(B) = 4\), \(s(A \cap B) = 2\)
Ne soruluyor?
\(A \cup B\)'nin \(A\)'ya ait olmayan alt kümeleri?
Çözüm
- \(s(A \cup B) = 5 + 4 - 2 = 7\) → \(A \cup B\)'nin \(2^7 = 128\) alt kümesi var
→ Birleşim formülü. - Bunlardan \(A\)'nın alt kümesi olanlar: \(2^5 = 32\)
→ \(A\)'nın her alt kümesi birleşimin de alt kümesidir. - \(128 - 32 = 96\)
→ Sonuç: \(96\).
Kontrol
Başka yoldan: \(B \setminus A\)'nın \(2\) elemanından en az biri bulunmalı: \((2^2 - 1) \cdot 2^5 = 3 \cdot 32 = 96\) ✓
Sık yapılan hata
Birleşimi \(9\) elemanlı sanıp \(512 - 32 = 480\) bulmak ya da \(B\)'nin alt kümelerini çıkarıp \(128 - 16 = 112\) hesaplamak.
-
Bir kümeye \(2\) yeni eleman eklendiğinde kümenin alt küme sayısı \(96\) artıyor. Bu kümenin başlangıçtaki eleman sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Başlangıçta \(n\) eleman
- \(2^{n + 2} - 2^n = 96\)
Ne soruluyor?
\(n\)?
Çözüm
- \(2^{n + 2} = 4 \cdot 2^n\) olduğundan artış \(4 \cdot 2^n - 2^n = 3 \cdot 2^n\)
→ Ortak çarpan parantezine alma. - \(3 \cdot 2^n = 96\) → \(2^n = 32\)
→ Başlangıçtaki alt küme sayısı \(32\). - \(n = 5\)
→ Sonuç: \(5\).
Kontrol
\(5\) eleman: \(32\) alt küme; \(7\) eleman: \(128\) alt küme; \(128 - 32 = 96\) ✓
Sık yapılan hata
Artışı \(2^2 = 4\) kat sanıp \(4 \cdot 2^n = 96\) yazmak ya da son eleman sayısını (\(7\)) cevap vermek.
-
\(1\)'den \(60\)'a kadar (\(60\) dahil) olan doğal sayılardan kaç tanesi \(2\)'ye veya \(3\)'e tam bölünür fakat \(5\)'e tam bölünmez?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(E = \{1, 2, \dots, 60\}\)
- \(A\): \(2\)'nin katları, \(B\): \(3\)'ün katları, \(C\): \(5\)'in katları
Ne soruluyor?
\(s((A \cup B) \setminus C)\)?
Çözüm
- \(s(A \cup B) = 30 + 20 - 10 = 40\)
→ \(A \cap B\): \(6\)'nın katları, \(10\) tane. - Bunlardan \(5\)'e bölünenler: \(10\)'un katları (\(6\)) ve \(15\)'in katları (\(4\)), ikisi birden \(30\)'un katları (\(2\)): \(6 + 4 - 2 = 8\)
→ \((A \cup B) \cap C\) için yine birleşim formülü. - \(40 - 8 = 32\)
→ Sonuç: \(32\).
Kontrol
Her \(30\)'luk blokta \(2\)'ye veya \(3\)'e bölünüp \(5\)'e bölünmeyen \(16\) sayı var: \(2 \cdot 16 = 32\) ✓
Sık yapılan hata
\(6\)'nın katlarını iki kez sayıp \(50\) ile başlamak ya da \(5\)'e bölünenleri çıkarırken \(30\)'un katlarını iki kez çıkarıp \(30\) bulmak.
-
\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) kümesinin boş olmayan her alt kümesinin en büyük elemanı yazılıp bu sayılar toplanıyor. Elde edilen toplam kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)
- \(31\) tane boş olmayan alt küme
Ne soruluyor?
En büyük elemanların toplamı?
Çözüm
- En büyük elemanı \(k\) olan alt kümelerde \(k\) vardır, \(k\)'den büyük eleman yoktur; \(k\)'den küçük \(k - 1\) eleman serbesttir: \(2^{k - 1}\) alt küme
→ Her sayının kaç kez “en büyük” olduğu sayılır. - \(1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot 16\)
→ Sayı \(\times\) kaç kez en büyük olduğu. - \(1 + 4 + 12 + 32 + 80 = 129\)
→ Sonuç: \(129\).
Kontrol
Alt küme sayıları: \(1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31\) ✓ (boş olmayan alt kümelerin tamamı)
Sık yapılan hata
Her alt kümenin en büyük elemanını \(5\) sanıp \(31 \cdot 5 = 155\) bulmak ya da \(2^{k - 1}\) yerine \(2^k\) kullanıp \(258\) hesaplamak.
-
Bir mahallede A ve B gazetelerinden en az birini okuyan \(60\) kişi vardır. A gazetesini okuyanların \(\dfrac{1}{3}\)'ü B gazetesini de okuyor; B gazetesini okuyanların ise \(\dfrac{1}{4}\)'ü A gazetesini de okuyor. Her iki gazeteyi de okuyan kaç kişi vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A \cup B) = 60\)
- \(s(A \cap B) = \dfrac{1}{3} \cdot s(A) = \dfrac{1}{4} \cdot s(B)\)
Ne soruluyor?
\(s(A \cap B)\)?
Çözüm
- İki gazeteyi okuyanlar \(k\) olsun: \(s(A) = 3k\), \(s(B) = 4k\)
→ Ortak kısım iki kümenin de parçasıdır. - \(s(A \cup B) = 3k + 4k - k = 6k = 60\)
→ Birleşim formülü. - \(k = 10\)
→ Sonuç: \(10\) kişi.
Kontrol
A \(30\), B \(40\) kişi; \(30\)'un üçte biri \(10\), \(40\)'ın dörtte biri \(10\); \(30 + 40 - 10 = 60\) ✓
Sık yapılan hata
Ortak kısmı çıkarmayıp \(7k = 60\) yazmak ya da A okuyanları (\(30\)) veya B okuyanları (\(40\)) cevap sanmak.