Yedi elemanlı kümede toplamı tek olan alt kümeler
Yedi elemanlı \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) kümesinin bütün alt kümeleri tek tek yazılıyor. Elemanlarının toplamı tek sayı olan alt kümelerin sayısı kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = \{1, 2, \dots, 7\}\)
- Tek elemanlar \(1, 3, 5, 7\); çift elemanlar \(2, 4, 6\)
Ne soruluyor?
Toplamı tek olan alt kümelerin sayısı?
Çözüm
- Toplamın tek olması yalnızca seçilen tek sayıların adedine bağlıdır: tek sayıda tek eleman seçilmelidir
→ Çift sayılar toplamın tek–çift durumunu değiştirmez. - \(\{1, 3, 5, 7\}\)'den bir ya da üç eleman seçme: \(\binom{4}{1} + \binom{4}{3} = 4 + 4 = 8\) yol
→ Tek sayıda tek eleman. - Çift elemanlar serbest: \(2^3 = 8\) yol; toplam \(8 \cdot 8 = 64\)
→ Sonuç: \(64\).
Kontrol
\(128\) alt kümenin tam yarısı: \(1\) elemanını içeren ve içermeyen alt kümeler eşleştirilince toplamın tek–çift durumu değişir; \(128 \div 2 = 64\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca tek elemanlardan oluşan uygun alt kümeleri (\(8\)) cevap vermek ya da boş kümeyi de sayıp \(65\) bulmak (boş kümenin toplamı \(0\), çifttir).