Alt kümelerin en büyük elemanlarının toplamı
\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) kümesinin boş olmayan her alt kümesinin en büyük elemanı yazılıp bu sayılar toplanıyor. Elde edilen toplam kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\)
- \(31\) tane boş olmayan alt küme
Ne soruluyor?
En büyük elemanların toplamı?
Çözüm
- En büyük elemanı \(k\) olan alt kümelerde \(k\) vardır, \(k\)'den büyük eleman yoktur; \(k\)'den küçük \(k - 1\) eleman serbesttir: \(2^{k - 1}\) alt küme
→ Her sayının kaç kez “en büyük” olduğu sayılır. - \(1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 4 + 4 \cdot 8 + 5 \cdot 16\)
→ Sayı \(\times\) kaç kez en büyük olduğu. - \(1 + 4 + 12 + 32 + 80 = 129\)
→ Sonuç: \(129\).
Kontrol
Alt küme sayıları: \(1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31\) ✓ (boş olmayan alt kümelerin tamamı)
Sık yapılan hata
Her alt kümenin en büyük elemanını \(5\) sanıp \(31 \cdot 5 = 155\) bulmak ya da \(2^{k - 1}\) yerine \(2^k\) kullanıp \(258\) hesaplamak.