Ardışık iki sayı içermeyen üç elemanlı kümeler
Bir öğrenci \(1\)'den \(7\)'ye kadar olan doğal sayılardan üçünü, seçtiği sayıların hiçbir ikisi ardışık olmayacak biçimde seçerek üç elemanlı bir küme oluşturuyor. Öğrenci kaç farklı küme oluşturabilir?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayılar \(1, 2, \dots, 7\)
- Üç eleman; hiçbir ikisi ardışık değil
Ne soruluyor?
Kaç farklı küme?
Çözüm
- En küçük eleman \(1\) ise: \(\{1, 3, 5\}\), \(\{1, 3, 6\}\), \(\{1, 3, 7\}\), \(\{1, 4, 6\}\), \(\{1, 4, 7\}\), \(\{1, 5, 7\}\) → \(6\) küme
→ Düzenli listeleme. - En küçük eleman \(2\) ise: \(\{2, 4, 6\}\), \(\{2, 4, 7\}\), \(\{2, 5, 7\}\) → \(3\); en küçük eleman \(3\) ise yalnız \(\{3, 5, 7\}\) → \(1\)
→ En küçük eleman \(4\) olamaz: \(4, 6, 8\) taşar. - Toplam \(6 + 3 + 1 = 10\)
→ Sonuç: \(10\).
Kontrol
Kısa yol: seçilen sayılar \(a \lt b \lt c\) için \(a\), \(b - 1\), \(c - 2\) sayıları \(\{1, \dots, 5\}\)'ten farklı üç sayıdır; \(\binom{5}{3} = 10\) ✓
Sık yapılan hata
Tüm üçlü seçimlerden yalnızca üç ardışık sayı içerenleri (\(5\) tane) çıkarıp \(35 - 5 = 30\) bulmak; iki ardışık sayı içeren kümeler de çıkarılmalıdır.