AGS Kümeler Orta Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 20 dk
- Zorluk
- Orta
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(A\) ile \(B\) ortak elemanı olmayan (ayrık) iki kümedir. \(A\) kümesinin eleman sayısı \(B\) kümesinin eleman sayısının \(2\) katıdır. \(A \cup B\) kümesinin alt küme sayısı \(512\) olduğuna göre \(s(A)\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A \cap B = \emptyset\)
- \(s(A) = 2 \cdot s(B)\)
- \(A \cup B\)'nin alt küme sayısı \(512\)
Ne soruluyor?
\(s(A)\)?
Çözüm
- \(2^{s(A \cup B)} = 512 = 2^9\) → \(s(A \cup B) = 9\)
→ Önce birleşimin eleman sayısı. - Kümeler ayrık olduğundan \(s(A \cup B) = s(A) + s(B) = 2k + k = 3k = 9\) → \(k = 3\)
→ Kesişim boş; çıkarılacak bir şey yok. - \(s(A) = 2k = 6\)
→ Sonuç: \(6\).
Kontrol
\(s(A) = 6\), \(s(B) = 3\), birleşim \(9\) elemanlı: \(2^9 = 512\) ✓
Sık yapılan hata
\(512\)'yi doğrudan \(A\)'nın alt küme sayısı sanıp \(s(A) = 9\) demek ya da \(B\)'nin eleman sayısını (\(3\)) cevap vermek.
-
\(A = \{a, b, c, d, e, f\}\) kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde \(a\) elemanı bulunur fakat \(b\) elemanı bulunmaz?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A) = 6\)
- \(a\) kesin var, \(b\) kesin yok
Ne soruluyor?
Bu koşuldaki alt küme sayısı?
Çözüm
- \(a\) her alt kümeye konur, \(b\) hiçbirine konmaz; bu iki eleman için seçim yapılmaz
→ Durumu belli olan elemanlar ayrılır. - Geriye kalan \(c, d, e, f\) elemanlarının her biri ya vardır ya yoktur: \(2^4 = 16\)
→ Serbest kalan \(4\) elemanın alt kümeleri. - Cevap \(16\)
→ Sonuç: \(16\).
Kontrol
Toplam \(64\) alt kümenin \(\dfrac{1}{2}\)'sinde \(a\) var; bunların da \(\dfrac{1}{2}\)'sinde \(b\) yok: \(64 \cdot \dfrac{1}{4} = 16\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca \(b\)'yi dışarıda bırakıp \(2^5 = 32\) bulmak ya da \(a\)'yı da serbest sayıp yanlış hesap yapmak.
-
\(33\) dairelik bir sitede yalnızca kedi besleyen \(12\), yalnızca köpek besleyen \(7\) daire vardır. Kedi besleyen dairelerin sayısı \(20\) olduğuna göre bu iki hayvandan hiçbirini beslemeyen kaç daire vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Toplam \(33\) daire
- Yalnız kedi \(12\), yalnız köpek \(7\)
- Kedi besleyen \(20\)
Ne soruluyor?
Hiçbirini beslemeyen daireler?
Çözüm
- Hem kedi hem köpek besleyen: \(20 - 12 = 8\)
→ Kedi besleyenler = yalnız kedi + ikisi. - En az birini besleyen: \(12 + 8 + 7 = 27\)
→ Venn şemasının üç bölgesi. - Hiçbirini beslemeyen: \(33 - 27 = 6\)
→ Sonuç: \(6\) daire.
Kontrol
\(6 + 12 + 8 + 7 = 33\) ✓
Sık yapılan hata
“Yalnızca kedi besleyen” ile “kedi besleyen” sayılarını karıştırıp \(33 - (20 + 8 + 7) = -2\) gibi işlemler yapmak ya da ikisini besleyenleri hiç hesaba katmayıp \(33 - 19 = 14\) bulmak.
-
\(A = \{1, \{1\}, \{1, 2\}, \emptyset\}\) kümesinin eleman sayısı ile alt küme sayısının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = \{1, \{1\}, \{1, 2\}, \emptyset\}\)
Ne soruluyor?
\(s(A)\) \(+\) alt küme sayısı?
Çözüm
- Elemanlar: \(1\), \(\{1\}\), \(\{1, 2\}\) ve \(\emptyset\). Bir kümenin içindeki küme, kaç elemanlı olursa olsun tek bir elemandır
→ Boş küme de burada bir eleman olarak yazılmıştır. - \(s(A) = 4\); alt küme sayısı \(2^4 = 16\)
→ Alt küme formülü. - \(4 + 16 = 20\)
→ Sonuç: \(20\).
Kontrol
\(1\) ile \(\{1\}\) farklı elemanlardır: biri sayı, diğeri küme ✓; \(\emptyset\) da sayılır ✓
Sık yapılan hata
İç kümelerin elemanlarını açıp sayarak \(5\) eleman (\(5 + 32 = 37\)) bulmak ya da \(\emptyset\)'yi eleman saymayıp \(3 + 8 = 11\) hesaplamak.
-
\(s(A) = 12\) ve \(s(B) = 8\) olduğuna göre \(s(A \cup B)\) değerinin alabileceği en küçük değer ile en büyük değerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A) = 12\), \(s(B) = 8\)
- \(0 \le s(A \cap B) \le 8\)
Ne soruluyor?
En küçük ve en büyük birleşimin toplamı?
Çözüm
- \(s(A \cup B) = 20 - s(A \cap B)\)
→ Birleşim formülü. - En büyük: kesişim boşken \(20\); en küçük: \(B \subset A\) iken kesişim \(8\) olur ve birleşim \(12\)
→ Kesişim en çok küçük kümenin eleman sayısı kadar olabilir. - Toplam: \(12 + 20 = 32\)
→ Sonuç: \(32\).
Kontrol
\(B \subset A\) iken \(A \cup B = A\): \(12\) eleman ✓; ayrık iken \(12 + 8 = 20\) ✓
Sık yapılan hata
En küçük birleşimi \(8\) sanmak (\(8 + 20 = 28\)); birleşim hiçbir zaman büyük kümeden küçük olamaz.
-
\(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) kümesinin üç elemanlı her alt kümesi için o alt kümenin elemanları çarpılıyor. Elde edilen çarpımlardan kaç tanesi çift sayıdır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Küme \(7\) elemanlı: tekler \(1, 3, 5, 7\); çiftler \(2, 4, 6\)
- Üç elemanlı alt kümeler
Ne soruluyor?
Çarpımı çift olan alt küme sayısı?
Çözüm
- Çarpım, en az bir çarpan çiftse çifttir; yalnız tek sayılardan oluşan çarpım tektir
→ Tek \(\times\) tek \(=\) tek. - Üç elemanlı alt kümelerin tamamı \(\binom{7}{3} = 35\); yalnız teklerden oluşanlar \(\binom{4}{3} = 4\)
→ Tümleyen yöntemi. - \(35 - 4 = 31\)
→ Sonuç: \(31\).
Kontrol
Çarpımı tek olanlar: \(\{1, 3, 5\}\), \(\{1, 3, 7\}\), \(\{1, 5, 7\}\), \(\{3, 5, 7\}\) → \(4\) tane; \(35 - 4 = 31\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnız çiftlerden oluşan alt kümeleri (\(\binom{3}{3} = 1\)) çıkarıp \(34\) bulmak ya da tam olarak bir çift içerenleri sayıp \(18\) demek.
-
\(A\) kümesinin alt küme sayısı \(64\), \(B\) kümesinin alt küme sayısı \(128\) ve \(A \cup B\) kümesinin alt küme sayısı \(1024\)'tür. Buna göre \(A \setminus B\) kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2^{s(A)} = 64\)
- \(2^{s(B)} = 128\)
- \(2^{s(A \cup B)} = 1024\)
Ne soruluyor?
\(A \setminus B\) kümesinin alt küme sayısı?
Çözüm
- \(s(A) = 6\), \(s(B) = 7\), \(s(A \cup B) = 10\)
→ \(n\) elemanlı kümenin \(2^n\) alt kümesi vardır. - \(s(A \cap B) = 6 + 7 - 10 = 3\)
→ Birleşim formülü. - \(s(A \setminus B) = 6 - 3 = 3\) → alt küme sayısı \(2^3 = 8\)
→ Sonuç: \(8\).
Kontrol
Bölgeler: yalnız \(A\) \(3\), ortak \(3\), yalnız \(B\) \(4\); \(3 + 3 + 4 = 10\) ✓
Sık yapılan hata
Eleman sayısını (\(3\)) cevap vermek ya da \(B \setminus A\) kümesinin alt küme sayısını (\(2^4 = 16\)) hesaplamak.
-
Bir okuldaki öğrencilerin \(\%60\)'ı futbolu, \(\%45\)'i basketbolu seviyor; öğrencilerin \(\%15\)'i ise bu iki spordan hiçbirini sevmiyor. Her iki sporu da seven öğrenciler okulun yüzde kaçıdır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Futbol \(\%60\), basketbol \(\%45\)
- Hiçbiri \(\%15\)
Ne soruluyor?
İkisini birden sevenlerin yüzdesi?
Çözüm
- Okul \(100\) öğrenci alınır; en az birini seven \(100 - 15 = 85\)
→ Yüzdeler sayıya çevrilir. - \(85 = 60 + 45 - x\) → \(x = 105 - 85 = 20\)
→ Birleşim formülü. - Her iki sporu seven: \(\%20\)
→ Sonuç: \(20\).
Kontrol
Yalnız futbol \(40\), ikisi \(20\), yalnız basketbol \(25\), hiçbiri \(15\): \(40 + 20 + 25 + 15 = 100\) ✓
Sık yapılan hata
Hiçbirini sevmeyenleri hesaba katmayıp \(60 + 45 - 100 = 5\) bulmak.
-
\(2\) elemanlı alt kümelerinin sayısı \(21\) olan bir kümenin \(3\) elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\binom{n}{2} = 21\)
Ne soruluyor?
\(\binom{n}{3}\)?
Çözüm
- \(\dfrac{n(n - 1)}{2} = 21\) → \(n(n - 1) = 42 = 7 \cdot 6\) → \(n = 7\)
→ Ardışık iki sayının çarpımı. - \(\binom{7}{3} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35\)
→ Sonuç: \(35\).
Kontrol
\(\binom{7}{2} = 21\) ✓; \(\binom{7}{3} = \binom{7}{4} = 35\) ✓
Sık yapılan hata
\(n(n - 1) = 21\) yazıp ikiye bölmeyi unutmak ya da \(\binom{7}{3}\) yerine \(7 \cdot 6 \cdot 5 = 210\) hesaplamak.
-
Bir okulda koroya üye olan öğrencilerin sayısı, tiyatro kulübüne üye olanların sayısından \(4\) fazladır. Bu iki topluluktan en az birine üye \(15\) öğrenci, ikisine birden üye \(3\) öğrenci olduğuna göre koroya kaç öğrenci üyedir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(K) = s(T) + 4\)
- \(s(K \cup T) = 15\)
- \(s(K \cap T) = 3\)
Ne soruluyor?
Koro üyelerinin sayısı \(s(K)\)?
Çözüm
- \(15 = s(K) + s(T) - 3\) → \(s(K) + s(T) = 18\)
→ Birleşim formülü. - \(s(K) - s(T) = 4\) ile toplanır: \(2 \cdot s(K) = 22\)
→ Toplam–fark sistemi. - \(s(K) = 11\), \(s(T) = 7\)
→ Sonuç: \(11\) öğrenci.
Kontrol
Yalnız koro \(8\), ikisi \(3\), yalnız tiyatro \(4\): \(8 + 3 + 4 = 15\) ✓; \(11 - 7 = 4\) ✓
Sık yapılan hata
Ortak üyeleri hesaba katmadan \(s(K) + s(T) = 15\) alıp \(9{,}5\) gibi tam sayı olmayan bir sonuçla karşılaşmak ya da yalnızca koroya üye olanları (\(8\)) cevap vermek.