AGS Kümeler Kolay Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 15 dk
- Zorluk
- Kolay
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(20\)'den küçük asal sayılardan oluşan kümenin kaç tane alt kümesi vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Küme: \(20\)'den küçük asal sayılar
Ne soruluyor?
Alt küme sayısı?
Çözüm
- \(20\)'den küçük asal sayılar: \(2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\) → \(8\) eleman
→ \(1\) asal değildir; \(2\) tek çift asaldır. - \(n\) elemanlı kümenin alt küme sayısı \(2^n\)'dir: \(2^8 = 256\)
→ Sonuç: \(256\).
Kontrol
\(2^8 = 2^4 \cdot 2^4 = 16 \cdot 16 = 256\) ✓
Sık yapılan hata
\(1\)'i de asal sayıp \(9\) eleman alarak \(512\) bulmak ya da \(2\)'yi unutup \(128\) bulmak.
-
Alt küme sayısı \(64\) olan bir kümenin \(5\) elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Alt küme sayısı \(2^n = 64\)
Ne soruluyor?
\(5\) elemanlı alt küme sayısı?
Çözüm
- \(2^n = 64 = 2^6\) → küme \(6\) elemanlıdır
→ Önce eleman sayısı bulunur. - \(5\) elemanlı bir alt küme, dışarıda bırakılan tek elemanla belirlenir: \(\binom{6}{5} = 6\)
→ Sonuç: \(6\).
Kontrol
\(\{a, b, c, d, e, f\}\) kümesinden her seferinde bir eleman çıkarılarak \(6\) farklı alt küme elde edilir ✓
Sık yapılan hata
\(64\)'ü eleman sayısı sanmak ya da \(\binom{6}{5}\) yerine \(6 \cdot 5 = 30\) hesaplamak.
-
Bir sınıftaki \(17\) öğrencinin her biri yüzme ve tenis kurslarından en az birine katılıyor. Yalnız yüzme kursuna katılan \(6\), yalnız tenis kursuna katılan \(4\) öğrenci olduğuna göre yüzme kursuna kaç öğrenci katılıyor?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(Y \cup T) = 17\) (herkes en az bir kursta)
- Yalnız yüzme: \(s(Y \setminus T) = 6\)
- Yalnız tenis: \(s(T \setminus Y) = 4\)
Ne soruluyor?
Yüzme kursuna katılanların sayısı \(s(Y)\)?
Çözüm
- Sınıf üç ayrık bölgeye ayrılır: yalnız yüzme, iki kurs birden, yalnız tenis
→ Venn şeması. - \(6 + s(Y \cap T) + 4 = 17\) → \(s(Y \cap T) = 7\)
→ İki kursa birden katılanlar. - \(s(Y) = 6 + 7 = 13\)
→ Sonuç: \(13\).
Kontrol
Tenis: \(4 + 7 = 11\); \(13 + 11 - 7 = 17\) ✓
Sık yapılan hata
İki kursa birden katılanları (\(7\)) ya da tenis kursundakileri (\(11\)) cevap vermek; “yalnız yüzme” sayısını (\(6\)) yüzme kursunun tamamı sanmak.
-
Bir okulda \(12\) öğrenci satranç kulübüne, \(13\) öğrenci müzik kulübüne üyedir. Bu iki kulüpten en az birine üye olan öğrenci sayısı \(20\) olduğuna göre her iki kulübe de üye kaç öğrenci vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(S) = 12\), \(s(M) = 13\)
- \(s(S \cup M) = 20\)
Ne soruluyor?
\(s(S \cap M)\)?
Çözüm
- \(s(S \cup M) = s(S) + s(M) - s(S \cap M)\)
→ İki kulübe üye olanlar iki kez sayılmasın. - \(20 = 12 + 13 - x\) → \(x = 25 - 20 = 5\)
→ Sonuç: \(5\) öğrenci.
Kontrol
Yalnız satranç \(7\), ikisi \(5\), yalnız müzik \(8\): \(7 + 5 + 8 = 20\) ✓
Sık yapılan hata
\(12 + 13 = 25\) sayısını birleşim sanıp ortak öğrencileri bulamamak ya da yalnızca kulüplerin farkına bakıp \(13 - 12 = 1\) demek.
-
\(A\) ve \(B\) kümeleri için \(s(A) = 2 \cdot s(B)\), \(s(A \cap B) = 5\) ve \(s(A \cup B) = 22\)'dir. Buna göre \(s(B \setminus A)\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A) = 2 \cdot s(B)\)
- \(s(A \cap B) = 5\)
- \(s(A \cup B) = 22\)
Ne soruluyor?
\(s(B \setminus A)\)?
Çözüm
- \(s(B) = x\) denirse \(s(A) = 2x\)
→ Bilinmeyen seçimi. - \(s(A \cup B) = 2x + x - 5 = 22\) → \(3x = 27\) → \(x = 9\)
→ Birleşim formülü. - \(s(B \setminus A) = s(B) - s(A \cap B) = 9 - 5 = 4\)
→ Sonuç: \(4\).
Kontrol
\(s(A) = 18\): yalnız \(A\) \(13\), ortak \(5\), yalnız \(B\) \(4\); \(13 + 5 + 4 = 22\) ✓
Sık yapılan hata
\(s(B) = 9\) değerini cevap vermek ya da \(A \setminus B\) ile karıştırıp \(13\) bulmak.
-
\(A = \{x \mid x\) tam sayı ve \(-3 \le 2x + 1 \lt 9\}\) kümesinin alt kümelerinden kaç tanesi en az bir negatif sayı içerir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x\) tam sayı
- \(-3 \le 2x + 1 \lt 9\)
Ne soruluyor?
En az bir negatif eleman içeren alt küme sayısı?
Çözüm
- Eşitsizliğin her yanından \(1\) çıkarılıp \(2\)'ye bölünür: \(-4 \le 2x \lt 8\) → \(-2 \le x \lt 4\)
→ \(A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}\), \(s(A) = 6\). - Bütün alt kümeler: \(2^6 = 64\); hiç negatif içermeyenler \(\{0, 1, 2, 3\}\) kümesinin alt kümeleridir: \(2^4 = 16\)
→ “En az bir” sorularında tümleyen yoldan saymak kolaydır. - \(64 - 16 = 48\)
→ Sonuç: \(48\).
Kontrol
\(\{-2, -1\}\) kümesinden boş olmayan \(3\) seçim, geri kalan \(4\) elemandan \(16\) seçim: \(3 \cdot 16 = 48\) ✓
Sık yapılan hata
\(0\)'ı negatif saymak (\(64 - 8 = 56\)) ya da eşitsizliğin sağ ucunu (\(4\)) kümeye katıp \(7\) eleman alarak \(128 - 16 = 112\) bulmak.
-
\(E\) evrensel küme ve \(A, B \subseteq E\) olmak üzere \(s(E) = 40\), \(s(A') = 15\), \(s(B') = 22\) ve \(s(A' \cap B') = 8\)'dir. Buna göre \(s(A \cap B)\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(E) = 40\)
- \(s(A') = 15\), \(s(B') = 22\)
- \(s(A' \cap B') = 8\): iki kümenin de dışında kalanlar
Ne soruluyor?
\(s(A \cap B)\)?
Çözüm
- \(s(A) = 40 - 15 = 25\), \(s(B) = 40 - 22 = 18\)
→ Tümleyen: evrensel kümede olup kümede olmayanlar. - De Morgan: \(A' \cap B' = (A \cup B)'\) → \(s(A \cup B) = 40 - 8 = 32\)
→ İki kümenin de dışında kalanlar birleşimin tümleyenidir. - \(s(A \cap B) = 25 + 18 - 32 = 11\)
→ Sonuç: \(11\).
Kontrol
Yalnız \(A\) \(14\), ortak \(11\), yalnız \(B\) \(7\), dışarıda \(8\): \(14 + 11 + 7 + 8 = 40\) ✓
Sık yapılan hata
İki kümenin de dışında kalan \(8\) elemanı unutup birleşimi \(40\) alarak \(25 + 18 - 40 = 3\) bulmak.
-
\(s(A) = 13\) ve \(s(B) = 12\) olan \(A\) ve \(B\) kümelerinde \(s(A \cap B)\)'nin \(s(A \cup B)\)'ye oranı \(\dfrac{1}{4}\)'tür. Buna göre \(s(A \setminus B)\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A) = 13\), \(s(B) = 12\)
- \(\dfrac{s(A \cap B)}{s(A \cup B)} = \dfrac{1}{4}\)
Ne soruluyor?
\(s(A \setminus B)\)?
Çözüm
- \(s(A \cap B) = x\) denirse \(s(A \cup B) = 13 + 12 - x = 25 - x\)
→ Birleşim formülü. - \(\dfrac{x}{25 - x} = \dfrac{1}{4}\) → \(4x = 25 - x\) → \(x = 5\)
→ Orantı kurulur. - \(s(A \setminus B) = 13 - 5 = 8\)
→ Sonuç: \(8\).
Kontrol
\(s(A \cup B) = 20\) ve \(\dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4}\); bölgeler \(8 + 5 + 7 = 20\) ✓
Sık yapılan hata
Birleşimi \(13 + 12 = 25\) alıp kesişimi \(\dfrac{25}{4}\) gibi tam sayı olmayan bir değer bulmak ya da \(s(B \setminus A) = 7\) değerini işaretlemek.
-
\(36\) kişilik bir sınıfta yaz tatilinde \(22\) öğrenci kitap okumuş, \(19\) öğrenci film izlemiştir. Hem kitap okuyan hem film izleyen öğrenci sayısı \(11\) olduğuna göre bu iki etkinlikten hiçbirini yapmayan kaç öğrenci vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Toplam \(36\)
- Kitap \(22\), film \(19\)
- İkisi \(11\)
Ne soruluyor?
Hiçbirini yapmayanlar?
Çözüm
- En az birini yapan: \(22 + 19 - 11 = 30\)
→ Birleşim formülü. - Hiçbirini yapmayan: \(36 - 30 = 6\)
→ Sonuç: \(6\) öğrenci.
Kontrol
Yalnız kitap \(11\), ikisi \(11\), yalnız film \(8\), hiçbiri \(6\): \(11 + 11 + 8 + 6 = 36\) ✓
Sık yapılan hata
Ortak öğrencileri çıkarmayı unutup \(36 - 41\) gibi negatif bir sonuçla karşılaşmak ya da \(11\)'i iki kez çıkarıp \(17\) bulmak.
-
\(1\)'den \(200\)'e kadar (\(200\) dahil) olan doğal sayılar arasından \(A\), \(12\)'nin katlarının; \(B\), \(18\)'in katlarının kümesidir. \(s(A \setminus B)\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A\): \(1\)–\(200\) arasındaki \(12\)'nin katları
- \(B\): \(1\)–\(200\) arasındaki \(18\)'in katları
Ne soruluyor?
\(12\)'nin katı olup \(18\)'in katı olmayan sayıların adedi?
Çözüm
- \(s(A)\): \(200 \div 12\) işleminde bölüm \(16\) → \(16\) tane
→ Katların sayısı bölümdür. - \(A \cap B\): hem \(12\)'nin hem \(18\)'in katları, yani EKOK\((12, 18) = 36\)'nın katları: \(36, 72, 108, 144, 180\) → \(5\) tane
→ Ortak katlar EKOK'un katlarıdır. - \(s(A \setminus B) = 16 - 5 = 11\)
→ Sonuç: \(11\).
Kontrol
\(12\)'nin \(16\) katından \(18\)'e de bölünenler \(5\) tane; kalan \(11\) ✓
Sık yapılan hata
Ortak katları \(12 \cdot 18 = 216\)'nın katları sanıp \(200\)'e kadar ortak kat olmadığını düşünerek \(16\) bulmak ya da \(B \setminus A\) ile karıştırıp \(11 - 5 = 6\) demek.