AGS EBOB - EKOK Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
Akrep ve yelkovanlı iki duvar saatinden biri her gün \(4\) dakika ileri gidiyor, diğeri her gün \(6\) dakika geri kalıyor. İki saat aynı anda doğru saate ayarlandı. İki saatin ikisinin birden yeniden doğru saati göstermesi için en az kaç gün geçmelidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Akrep-yelkovanlı saat \(12\) saatte bir aynı görüntüye döner: \(12 \cdot 60 = 720\) dakika
- Birinci saat günde \(4\) dk ileri
- İkinci saat günde \(6\) dk geri
Ne soruluyor?
İkisi birden en erken ne zaman doğru gösterir?
Çözüm
- Bir saat, toplam sapması \(720\) dakikanın katı olduğunda yine doğru görünür
→ Kadran \(12\) saatlik olduğundan. - Birinci saat: \(720 \div 4 = 180\) günde bir doğru gösterir
→ \(180\) günde \(720\) dk sapma. - İkinci saat: \(720 \div 6 = 120\) günde bir doğru gösterir
→ Geri kalmak da aynı şekilde hesaplanır. - İkisi birden: EKOK\((180, 120) = 360\) gün
→ \(180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5\), \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\). Sonuç \(360\).
Kontrol
\(360\) günde birinci saat \(1440\) dk \(= 2 \cdot 720\), ikinci saat \(2160\) dk \(= 3 \cdot 720\) sapar ✓
Sık yapılan hata
Sapmaları toplayıp \(720 \div 10 = 72\) gün demek ya da saati \(24\) saatlik (\(1440\) dk) sanıp \(720\) gün bulmak.
-
Bir öğretmen \(150\) kalemi öğrencilerine eşit olarak dağıttığında \(6\) kalem artıyor. \(100\) defteri de eşit olarak dağıtmak istediğinde her öğrenciye eşit defter verebilmesi için \(8\) defter eksik kalıyor. Buna göre öğrenci sayısı en çok kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(150\) kalem: \(6\) artıyor
- \(100\) defter: \(8\) eksik
Ne soruluyor?
Öğrenci sayısı en çok kaç?
Çözüm
- Kalemler: \(150 - 6 = 144\) kalem eşit dağıtıldı → öğrenci sayısı \(144\)'ü böler; ayrıca \(6\) artığı için \(n \gt 6\)
→ Kalan bölenden küçüktür. - Defterler: \(100 + 8 = 108\) defter olsaydı eşit dağıtılırdı → öğrenci sayısı \(108\)'i böler
→ Eksik miktar eklenir. - En çok öğrenci → EBOB\((144, 108) = 36\)
→ \(144 = 2^4 \cdot 3^2\), \(108 = 2^2 \cdot 3^3\) → \(2^2 \cdot 3^2 = 36\). - \(36 \gt 6\) koşulu sağlanır
→ Sonuç \(36\).
Kontrol
\(150 = 36 \cdot 4 + 6\); \(108 = 36 \cdot 3\), yani \(100\) defterle herkese \(3\) defter için \(8\) defter eksik ✓
Sık yapılan hata
Eksik defterleri çıkarıp \(92\) ile çalışmak; eksik olan miktar eklenmelidir. EBOB\((144, 92) = 4\) yanlış sonucu verir.
-
Boyutları \(6\) cm ve \(10\) cm olan dikdörtgen kartonlar, hepsi aynı yönde olmak üzere yan yana ve alt alta dizilerek boşluksuz kare biçimli bölgeler oluşturuluyor. Alanı \(1\) m\(^2\)'den küçük olan bu karelerden en büyüğü için kaç karton kullanılır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Karton \(6 \times 10\) cm
- Kare alanı \(1\) m\(^2 = 10\,000\) cm\(^2\)'den küçük
Ne soruluyor?
En büyük kare için karton sayısı?
Çözüm
- Kare kenarı hem \(6\)'nın hem \(10\)'un katı olmalı → EKOK\((6, 10) = 30\)'un katı
→ Kenarlar \(30, 60, 90, 120, \ldots\) - Alan \(10\,000\)'den küçük → kenar \(100\)'den küçük → en büyük kenar \(90\) cm
→ \(90^2 = 8100\), \(120^2 = 14\,400\). - Karton sayısı: \((90 \div 6) \cdot (90 \div 10) = 15 \cdot 9 = 135\)
→ Sonuç \(135\).
Kontrol
\(135 \cdot 60 = 8100 = 90^2\) ✓
Sık yapılan hata
En küçük kareyi (\(30\) cm, \(15\) karton) cevap vermek ya da \(1\) m\(^2\)'yi \(100\) cm\(^2\) sanmak.
-
Üç güvenlik görevlisinden biri \(6\) günde bir, biri \(8\) günde bir, diğeri \(10\) günde bir nöbet tutuyor. Üçü \(1\) Mart günü birlikte nöbet tuttu. Üçünün yeniden birlikte nöbet tutacağı ilk tarih hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Nöbet aralıkları \(6\), \(8\), \(10\) gün
- Birlikte: \(1\) Mart
- Mart \(31\), Nisan \(30\), Mayıs \(31\) gün
Ne soruluyor?
Bir sonraki ortak nöbet tarihi?
Çözüm
- Ortak nöbetler EKOK\((6, 8, 10) = 120\) günde bir
→ \(2 \cdot 3\), \(2^3\), \(2 \cdot 5\) → \(2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120\). - \(1\) Mart'tan \(30\) gün sonra \(31\) Mart; \(+30\) gün → \(30\) Nisan (\(60\) gün)
→ Ay uzunlukları tek tek eklenir. - \(+31\) gün → \(31\) Mayıs (\(91\) gün); kalan \(120 - 91 = 29\) gün → \(29\) Haziran
→ Cevap: 29 Haziran.
Kontrol
Mart'ta \(30\), Nisan'da \(30\), Mayıs'ta \(31\), Haziran'da \(29\) gün: \(30 + 30 + 31 + 29 = 120\) ✓
Sık yapılan hata
Her ayı \(30\) gün sayıp \(1\) Temmuz demek ya da \(1\) Mart'ı da sayıp \(28\) Haziran bulmak.
-
\(1 \le n \le 60\) olmak üzere kaç \(n\) doğal sayısı için EBOB\((n, n + 6) = 3\) olur?
Çözümü Göster
Verilenler
- EBOB\((n, n + 6) = 3\)
- \(1 \le n \le 60\)
Ne soruluyor?
Kaç \(n\)?
Çözüm
- \(n\) ile \(n + 6\)'yı bölen her sayı farklarını, yani \(6\)'yı da böler
→ EBOB\((n, n + 6) = \) EBOB\((n, 6)\). - EBOB\((n, 6) = 3\) ⇔ \(n\), \(3\)'ün katı ama \(2\)'nin katı değil
→ \(6\)'nın bölenleri \(1, 2, 3, 6\); \(3\) olması için \(n\) tek ve \(3\)'ün katı. - \(n \in \{3, 9, 15, \ldots, 57\}\): \(3\)'ün tek katları
→ \(n = 6k + 3\). - \(\dfrac{57 - 3}{6} + 1 = 10\)
→ Sonuç \(10\).
Kontrol
\(n = 9\): EBOB\((9, 15) = 3\) ✓; \(n = 12\): EBOB\((12, 18) = 6\) ✗
Sık yapılan hata
\(3\)'ün bütün katlarını sayıp \(20\) demek; çift katlarda EBOB \(6\) olur.
-
Boyutları \(96\) m ve \(64\) m olan dikdörtgen biçimli bir spor alanının çevresine bayrak direkleri dikilecektir. Ardışık iki direk arasındaki uzaklıklar eşit ve metre cinsinden tam sayı olacak, alanın her köşesinde bir direk bulunacak ve iki direk arası en az \(5\) m olacaktır. Buna göre en çok kaç direk dikilebilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Alan \(96 \times 64\) m
- Köşelerde direk; aralık eşit, tam sayı
- Aralık \(\ge 5\) m
Ne soruluyor?
En çok kaç direk?
Çözüm
- Köşelerde direk olacağından aralık iki kenar uzunluğunu da bölmeli → ortak bölen
→ EBOB\((96, 64) = 32\); ortak bölenler \(1, 2, 4, 8, 16, 32\). - En çok direk için aralık olabildiğince küçük, ama en az \(5\) m → \(8\) m
→ \(4\) m sınırın altında. - Kapalı çevrede direk sayısı \(=\) çevre \(\div\) aralık: \(2(96 + 64) \div 8 = 320 \div 8 = 40\)
→ Sonuç \(40\).
Kontrol
Uzun kenarlarda \(96 \div 8 = 12\), kısa kenarlarda \(64 \div 8 = 8\) aralık; \(2(12 + 8) = 40\) direk ✓
Sık yapılan hata
EBOB\((96, 64) = 32\) aralığıyla en az direk sayısını (\(10\)) bulmak ya da kapalı çevrede \(1\) ekleyip \(41\) demek.
-
Ahmet bir Pazartesi günü havuza gitmeye başlıyor ve \(3\) günde bir gidiyor. Banu aynı haftanın Çarşamba günü başlıyor ve \(5\) günde bir gidiyor. İkisi havuzda ilk kez haftanın hangi günü karşılaşır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Ahmet: Pazartesi'den itibaren \(3\) günde bir
- Banu: Çarşamba'dan (\(2\) gün sonra) itibaren \(5\) günde bir
Ne soruluyor?
İlk ortak gün?
Çözüm
- Pazartesi'yi \(0\). gün alalım. Ahmet: \(0, 3, 6, 9, 12, \ldots\)
→ \(3\)'ün katları. - Banu: \(2, 7, 12, 17, \ldots\)
→ \(5\) ile bölümünden kalanı \(2\) olan günler. - İlk ortak gün: \(12\). gün
→ Hem \(3\)'ün katı hem \(5\) ile kalanı \(2\). - \(12 = 7 + 5\) → Pazartesi'den \(5\) gün sonra: Cumartesi
→ Cevap: Cumartesi.
Kontrol
\(12\). gün Ahmet'in \(5\)., Banu'nun \(3\). gidişidir; Pazartesi \(+ 12\) gün \(=\) Cumartesi ✓
Sık yapılan hata
Başlangıç farkını yok sayıp EKOK\((3, 5) = 15\) gün sonrasını (Salı) cevap vermek.
-
Bir kentteki iki saat kulesinden biri \(45\) dakikada bir, diğeri \(1\) saat \(15\) dakikada bir çalıyor. İki kule Pazartesi saat \(08.00\)'de birlikte çaldı. Aynı haftanın Çarşamba günü iki kule ilk kez saat kaçta birlikte çalar?
Çözümü Göster
Verilenler
- Kule A: \(45\) dakikada bir
- Kule B: \(75\) dakikada bir
- Birlikte: Pazartesi \(08.00\)
Ne soruluyor?
Çarşamba günkü ilk ortak çalış?
Çözüm
- Ortak çalışlar EKOK\((45, 75) = 225\) dakikada bir \(= 3\) sa \(45\) dk
→ \(45 = 3^2 \cdot 5\), \(75 = 3 \cdot 5^2\) → \(3^2 \cdot 5^2 = 225\). - Pazartesi \(08.00\)'den Çarşamba \(00.00\)'a \(16 + 24 = 40\) saat \(= 2400\) dakika vardır
→ Pazartesi'nin kalan \(16\) saati ve Salı. - \(2400 \div 225 = 10\) (kalan \(150\)) → \(10\). ortak çalış Salı \(21.30\)'da; \(11\). ortak çalış \(11 \cdot 225 = 2475\) dakika sonra
→ \(2475 - 2400 = 75\) dakika Çarşamba'ya taşar. - Çarşamba \(00.00 + 75\) dk → saat 01.15
→ Cevap: 01.15.
Kontrol
\(2475\) dk \(= 41\) sa \(15\) dk; Pazartesi \(08.00 + 41\) sa \(15\) dk \(=\) Çarşamba 01.15 ✓
Sık yapılan hata
EKOK yerine \(45 \cdot 75\) dakikayı kullanmak ya da Çarşamba'yı Pazartesi \(08.00\)'den \(48\) saat sonra başlatıp \(08.00\) demek.
-
Bir lamba \(3\) saniye yanıp \(2\) saniye sönük kalıyor; ikinci lamba \(4\) saniye yanıp \(3\) saniye sönük kalıyor ve ikisi de bu düzeni sürekli tekrarlıyor. İki lamba aynı anda yanmaya başladı. Bu andan, ikisinin yeniden aynı anda yanmaya başladığı ana kadar geçen sürede iki lambanın birlikte yanık kaldığı toplam süre kaç saniyedir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Lamba 1: \(3\) sn yanık \(+ 2\) sn sönük → \(5\) sn'lik döngü
- Lamba 2: \(4\) sn yanık \(+ 3\) sn sönük → \(7\) sn'lik döngü
Ne soruluyor?
Ortak döngüde birlikte yanık kalma süresi?
Çözüm
- İkisinin birlikte yanmaya başlaması EKOK\((5, 7) = 35\) saniyede bir tekrarlanır
→ İncelenecek süre \(0\)–\(35\) sn. - Lamba 1 yanık: \([0, 3), [5, 8), [10, 13), [15, 18), [20, 23), [25, 28), [30, 33)\)
→ Her \(5\) sn'nin ilk \(3\) sn'si. - Lamba 2 yanık: \([0, 4), [7, 11), [14, 18), [21, 25), [28, 32)\)
→ Her \(7\) sn'nin ilk \(4\) sn'si. - Kesişimler: \([0, 3)\): \(3\); \([7, 8)\): \(1\); \([10, 11)\): \(1\); \([15, 18)\): \(3\); \([21, 23)\): \(2\); \([30, 32)\): \(2\)
→ Diğer aralıklar çakışmaz. - \(3 + 1 + 1 + 3 + 2 + 2 = 12\) saniye
→ Sonuç \(12\).
Kontrol
Lamba 1 toplam \(21\) sn, lamba 2 toplam \(20\) sn yanık; ortak kısım \(12\) sn ikisinden de küçük ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca ilk yanma aralığındaki ortak süreyi (\(3\) sn) görüp diğer çakışmaları atlamak ya da yanık süreleri (\(3\) ile \(4\)) çarpıp ortak döngüyü incelemeden sonuca gitmek.
-
Uzunlukları \(2{,}4\) m, \(3{,}6\) m ve \(4{,}2\) m olan üç tahta, hiç parça artmayacak şekilde, eşit ve olabildiğince uzun parçalara kesilecektir (parça uzunluğu santimetre cinsinden tam sayı). Her kesim \(1\) dakika sürdüğüne göre bu iş toplam kaç dakika sürer?
Çözümü Göster
Verilenler
- Tahtalar \(240\), \(360\), \(420\) cm
- Eşit, en uzun parçalar
- Her kesim \(1\) dk
Ne soruluyor?
Toplam kesim süresi?
Çözüm
- Parça uzunluğu \(=\) EBOB\((240, 360, 420) = 60\) cm
→ \(240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5\), \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\), \(420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\). - Parça sayıları: \(240 \div 60 = 4\), \(360 \div 60 = 6\), \(420 \div 60 = 7\)
→ Toplam \(17\) parça. - Bir tahtadan \(k\) parça için \(k - 1\) kesim yapılır: \(3 + 5 + 6 = 14\) kesim
→ Son parça kesilmeden kalır. - \(14\) kesim \(\cdot 1\) dk \(= 14\) dakika
→ Sonuç \(14\).
Kontrol
\(17\) parça, \(3\) tahta: \(17 - 3 = 14\) kesim ✓
Sık yapılan hata
Parça sayısını (\(17\)) kesim sayısı sanmak.