AGS Denklemler Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(\dfrac{x + a}{3} - \dfrac{x - a}{2} = 2\) denkleminin kökü \(a\)'nın \(3\) katına eşittir. Buna göre \(a\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{x + a}{3} - \dfrac{x - a}{2} = 2\)
- Kök \(x = 3a\)
Ne soruluyor?
\(a\) kaçtır?
Çözüm
- Denklem \(6\) ile çarpılır: \(2(x + a) - 3(x - a) = 12\) → \(-x + 5a = 12\)
→ Eksi işareti parantezin tamamına dağılır. - Kök \(x = 5a - 12\) bulunur; bu \(3a\)'ya eşit olmalı: \(5a - 12 = 3a\)
→ Kökü \(a\) cinsinden yazmak. - \(2a = 12\) → \(a = 6\)
→ Sonuç: \(6\).
Kontrol
\(a = 6\), \(x = 18\): \(\dfrac{24}{3} - \dfrac{12}{2} = 8 - 6 = 2\) ✓
Sık yapılan hata
\(-3(x - a)\) açılırken \(-3a\) yazmak; bu durumda \(-x - a = 12\) bulunur ve sonuç negatif çıkar.
-
Bir tiyatroda tam bilet \(50\) TL, öğrenci bileti \(30\) TL, çocuk bileti \(20\) TL'dir. Bir gösteriye \(100\) seyirci gelmiş ve bilet gelirinin toplamı \(3530\) TL olmuştur. Öğrenci bileti alanların sayısı çocuk bileti alanların sayısının \(2\) katı olduğuna göre kaç tam bilet satılmıştır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Tam \(t\), öğrenci \(2c\), çocuk \(c\)
- \(t + 3c = 100\)
- Gelir \(3530\) TL
Ne soruluyor?
Tam bilet sayısı \(t\)?
Çözüm
- Gelir: \(50t + 30 \cdot 2c + 20c = 50t + 80c = 3530\)
→ Öğrenci sayısı çocuk cinsinden yazıldı. - \(t = 100 - 3c\) yerine konur: \(5000 - 150c + 80c = 3530\) → \(70c = 1470\) → \(c = 21\)
→ Tek bilinmeyene indirgeme. - Öğrenci \(42\), tam bilet \(t = 100 - 63 = 37\)
→ Sonuç: \(37\).
Kontrol
\(37 \cdot 50 + 42 \cdot 30 + 21 \cdot 20 = 1850 + 1260 + 420 = 3530\) TL ✓; \(37 + 42 + 21 = 100\) ✓
Sık yapılan hata
Çocuk sayısını (\(21\)) ya da öğrenci sayısını (\(42\)) cevap vermek; ya da öğrenci sayısını \(2c\) yerine \(c\) alıp toplam kişiyi \(t + 2c\) yazmak.
-
Bir öğrenci bir kitabı günde \(20\) sayfa okursa planladığı süreden \(3\) gün geç, günde \(30\) sayfa okursa planladığı süreden \(2\) gün erken bitiriyor. Kitap kaç sayfadır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Planlanan süre \(n\) gün
- Günde \(20\) sayfa → \(n + 3\) gün
- Günde \(30\) sayfa → \(n - 2\) gün
Ne soruluyor?
Sayfa sayısı?
Çözüm
- Sayfa sayısı iki yoldan yazılır: \(20(n + 3) = 30(n - 2)\)
→ Kitap aynı kitap. - \(20n + 60 = 30n - 60\) → \(10n = 120\) → \(n = 12\)
→ Planlanan süre \(12\) gün. - Sayfa sayısı: \(20 \cdot 15 = 300\)
→ Sonuç: \(300\) sayfa.
Kontrol
\(30 \cdot 10 = 300\) ✓; \(15\) gün \(12 + 3\), \(10\) gün \(12 - 2\) ✓
Sık yapılan hata
Planlanan süreyi (\(12\)) cevap sanmak ya da “erken” ve “geç” kelimelerini karıştırıp \(20(n - 3) = 30(n + 2)\) yazmak.
-
\(30\) cm boyundaki bir mum saatte \(3\) cm, \(20\) cm boyundaki başka bir mum saatte \(1\) cm kısalarak eriyor. İki mum aynı anda yakılırsa kaç saat sonra başlangıçta \(30\) cm olan mumun boyu, diğer mumun boyunun yarısına eşit olur?
Çözümü Göster
Verilenler
- Uzun mum: \(30 - 3t\)
- Kısa mum: \(20 - t\)
- İstenen: uzun \(=\) kısa \(\div 2\)
Ne soruluyor?
Süre \(t\) saat?
Çözüm
- \(30 - 3t = \dfrac{20 - t}{2}\)
→ \(t\) saat sonraki boylar. - \(60 - 6t = 20 - t\) → \(40 = 5t\)
→ İki taraf \(2\) ile çarpıldı. - \(t = 8\) saat
→ Sonuç: \(8\) saat.
Kontrol
\(8\) saat sonra uzun mum \(30 - 24 = 6\) cm, kısa mum \(20 - 8 = 12\) cm; \(6 = \dfrac{12}{2}\) ✓ (uzun mum \(10\) saatte biter, süre bundan kısa)
Sık yapılan hata
Boyların eşit olduğu anı (\(5\) saat) bulup soruyu orada bırakmak ya da yarıyı yanlış tarafa yazıp \(2(20 - t) = 30 - 3t\) denklemini kurmak.
-
Bir kova suyla \(\dfrac{1}{3}\)'üne kadar doluyken \(7\) kg, \(\dfrac{3}{4}\)'üne kadar doluyken \(12\) kg gelmektedir. Bu kova tamamen suyla doluyken kaç kg gelir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Boş kova \(k\), dolu kovadaki su \(s\)
- \(k + \dfrac{s}{3} = 7\)
- \(k + \dfrac{3s}{4} = 12\)
Ne soruluyor?
Dolu kovanın ağırlığı \(k + s\)?
Çözüm
- Taraf tarafa çıkarma: \(\dfrac{3s}{4} - \dfrac{s}{3} = 5\) → \(\dfrac{5s}{12} = 5\)
→ Boş kovanın ağırlığı yok olur. - \(s = 12\) kg; \(k = 7 - 4 = 3\) kg
→ Su ve kova ayrı ayrı. - Dolu kova: \(3 + 12 = 15\) kg
→ Sonuç: \(15\) kg.
Kontrol
\(3 + 9 = 12\) kg ✓ (suyun \(\dfrac{3}{4}\)'ü \(9\) kg)
Sık yapılan hata
Yalnızca suyun ağırlığını (\(12\)) cevap vermek ya da boş kovayı hesaba katmadan \(7 \cdot 3 = 21\) demek.
-
Bir konferans salonundaki her sırada eşit sayıda koltuk vardır. Sıra sayısı \(3\) azaltılıp her sıraya \(4\) koltuk eklenirse ya da sıra sayısı \(3\) artırılıp her sıradan \(2\) koltuk çıkarılırsa salondaki toplam koltuk sayısı değişmiyor. Salonda kaç koltuk vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(r\) sıra, sırada \(s\) koltuk
- \(rs = (r - 3)(s + 4)\)
- \(rs = (r + 3)(s - 2)\)
Ne soruluyor?
Toplam koltuk \(rs\)?
Çözüm
- Birinci eşitlik açılırsa \(rs\) sadeleşir: \(4r - 3s - 12 = 0\)
→ Çarpım terimleri iki tarafta da var. - İkinci eşitlikten: \(-2r + 3s - 6 = 0\)
→ Aynı sadeleşme. - Taraf tarafa toplanır: \(2r - 18 = 0\) → \(r = 9\); \(3s = 24\) → \(s = 8\); koltuk \(9 \cdot 8 = 72\)
→ Sonuç: \(72\).
Kontrol
\(6 \cdot 12 = 72\) ✓ ve \(12 \cdot 6 = 72\) ✓
Sık yapılan hata
Sıra sayısını (\(9\)) ya da sıradaki koltuk sayısını (\(8\)) cevap vermek; ya da çarpımı açarken \(-3 \cdot 4\) terimini unutmak.
-
Bir vakıf, bir miktar burs parasını öğrencilere şöyle paylaştırıyor: birinci öğrenciye \(100\) TL ile kalan paranın \(\dfrac{1}{10}\)'u, ikinci öğrenciye \(200\) TL ile kalan paranın \(\dfrac{1}{10}\)'u, üçüncü öğrenciye \(300\) TL ile kalanın \(\dfrac{1}{10}\)'u veriliyor ve bu böyle sürüyor. Paranın tamamı dağıtıldığında her öğrencinin eşit pay aldığı görülüyor. Burs kaç öğrenciye verilmiştir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(n\). öğrenci: \(100n\) TL \(+\) kalanın \(\dfrac{1}{10}\)'u
- Bütün paylar eşit, para tamamen dağıtılıyor
Ne soruluyor?
Öğrenci sayısı?
Çözüm
- Toplam para \(T\), her pay \(p\) olsun. Birinci pay: \(p = 100 + \dfrac{T - 100}{10}\); ikinci pay: \(p = 200 + \dfrac{T - p - 200}{10}\)
→ İkinci öğrenciden önce \(T - p\) kalır. - İki ifade eşitlenip \(10\) ile çarpılır: \(1000 + T - 100 = 2000 + T - p - 200\) → \(p = 900\) TL
→ \(T\) sadeleşir; pay doğrudan bulunur. - \(900 = 100 + \dfrac{T - 100}{10}\) → \(T = 8100\) TL; öğrenci sayısı \(8100 \div 900 = 9\)
→ Sonuç: \(9\) öğrenci.
Kontrol
Dokuzuncu öğrenciye \(900\) TL kalır ve \(900 + \dfrac{0}{10} = 900\) TL verilir ✓
Sık yapılan hata
Payı (\(900\)) ya da toplam parayı (\(8100\)) bulup öğrenci sayısını hesaplamamak; ya da \(\dfrac{1}{10}\) kesrinden \(10\) öğrenci olduğunu sanmak.
-
\(\dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{3}{x + 1} = \dfrac{14}{x^2 - 1}\) denklemini sağlayan \(x\) değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{2}{x - 1} + \dfrac{3}{x + 1} = \dfrac{14}{x^2 - 1}\)
- \(x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)\); \(x \ne \pm 1\)
Ne soruluyor?
\(x\) kaçtır?
Çözüm
- Her terim \((x - 1)(x + 1)\) ile çarpılır: \(2(x + 1) + 3(x - 1) = 14\)
→ Ortak payda iki kare farkıdır. - \(2x + 2 + 3x - 3 = 14\) → \(5x = 15\)
→ Terimler toplanır. - \(x = 3\); paydaları sıfır yapmadığı için geçerlidir
→ Sonuç: \(3\).
Kontrol
\(\dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{4} = \dfrac{7}{4}\) ve \(\dfrac{14}{8} = \dfrac{7}{4}\) ✓
Sık yapılan hata
Paylarla paydaları çapraz eşleyip \(2(x - 1) + 3(x + 1) = 14\) yazmak; bu durumda \(x = \dfrac{13}{5}\) bulunur.
-
Bir yolun bir kenarına, yolun başına ve sonuna da birer fidan gelecek şekilde eşit aralıklarla fidan dikilecektir. Fidanlar \(6\) m arayla dikilirse elde \(10\) fidan artıyor, \(4\) m arayla dikilirse \(5\) fidan eksik kalıyor. Yol kaç metredir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Uzunluk \(L\); uçlara da fidan dikiliyor
- \(6\) m arayla: \(\dfrac{L}{6} + 1\) fidan, \(10\) artıyor
- \(4\) m arayla: \(\dfrac{L}{4} + 1\) fidan, \(5\) eksik
Ne soruluyor?
Yolun uzunluğu?
Çözüm
- Fidan sayısı iki yoldan yazılır: \(\dfrac{L}{6} + 1 + 10 = \dfrac{L}{4} + 1 - 5\)
→ Uçlara fidan dikildiğinde fidan sayısı aralık sayısından \(1\) fazladır. - \(\dfrac{L}{4} - \dfrac{L}{6} = 15\) → \(\dfrac{L}{12} = 15\)
→ Ortak payda \(12\). - \(L = 180\) m
→ Sonuç: \(180\) m.
Kontrol
Fidan sayısı \(\dfrac{180}{6} + 1 + 10 = 41\); \(4\) m arayla \(46\) fidan gerekir, \(46 - 41 = 5\) eksik ✓
Sık yapılan hata
Artan ve eksik kalan fidanları ters yerleştirip \(\dfrac{L}{6} + 1 - 10 = \dfrac{L}{4} + 1 + 5\) yazmak; bu denklem negatif bir uzunluk verir. Uçlardaki fidanı unutup fidan sayısını \(40\) sanmak da sık görülür.
-
Bir manav, elindeki elmaların yarısının \(2\) fazlasını birinci müşteriye satıyor. Kalan elmaların yarısının \(2\) fazlasını da ikinci müşteriye satınca elinde \(5\) elma kalıyor. Manavın başlangıçta kaç elması vardı?
Çözümü Göster
Verilenler
- Birinci satış: elmaların yarısı \(+ 2\)
- İkinci satış: kalanın yarısı \(+ 2\)
- Son durumda \(5\) elma
Ne soruluyor?
Başlangıçtaki elma sayısı?
Çözüm
- İkinci satıştan önce \(y\) elma olsun: \(y - \left(\dfrac{y}{2} + 2\right) = 5\) → \(\dfrac{y}{2} = 7\) → \(y = 14\)
→ Sondan başa doğru denklem kurulur. - Başlangıçta \(x\) elma: \(x - \left(\dfrac{x}{2} + 2\right) = 14\) → \(\dfrac{x}{2} = 16\)
→ Aynı işlem bir adım geriye. - \(x = 32\)
→ Sonuç: \(32\) elma.
Kontrol
\(32\) elmanın yarısı \(16\), \(+2\) → \(18\) satılır, \(14\) kalır; \(14\)'ün yarısı \(7\), \(+2\) → \(9\) satılır, \(5\) kalır ✓
Sık yapılan hata
Geriye giderken önce ikiyle çarpıp sonra \(2\) eklemek: \((5 \cdot 2 + 2) = 12\) ve \((12 \cdot 2 + 2) = 26\) gibi yanlış bir sonuca ulaşmak.