AGS Bölme ve Bölünebilme Zor Test 1

Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.

Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.

1. 1 Art arda iki bölmede kalan koşulundan en küçük bölünen
   \(A\), \(B\) ve \(C\) doğal sayılardır. \(A\) sayısı \(B\)'ye bölündüğünde bölüm \(7\), kalan \(12\); \(B\) sayısı \(C\)'ye bölündüğünde bölüm \(3\), kalan \(5\)'tir. Buna göre \(A\) en az kaçtır?
   1. A \(110\)
   2. B \(152\)
   3. C \(166\)
   4. D \(173\)
   5. E \(180\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(A = 7B + 12\), kalan \(12 \lt B\)
   • \(B = 3C + 5\), kalan \(5 \lt C\)

   Ne soruluyor?

   \(A\) en az kaç?

   Çözüm

   1. İkinci bölmede kalan \(5\) olduğundan \(C \ge 6\)
      → Kalan bölenden küçük olmalı.
   2. \(B = 3C + 5 \ge 3 \cdot 6 + 5 = 23\)
      → \(B \gt 12\) koşulu da sağlanır.
   3. \(A = 7B + 12 \ge 7 \cdot 23 + 12 = 161 + 12 = 173\)
      → Sonuç \(173\).

   Kontrol

   \(173 = 7 \cdot 23 + 12\) (\(12 \lt 23\)) ve \(23 = 3 \cdot 6 + 5\) (\(5 \lt 6\)) ✓

   Sık yapılan hata

   Yalnızca \(B \gt 12\) koşulunu kullanıp \(B = 13\) ile \(A = 103\) bulmak; \(13 = 3C + 5\) için \(C\) tam sayı değildir, ayrıca \(C \gt 5\) olmalıdır.

2. 2 Hem sekize hem dokuza bölünen beş basamaklılar
   Beş basamaklı \(4a3b2\) sayısı hem \(8\) hem de \(9\) ile tam bölünmektedir. Bu koşulu sağlayan kaç farklı beş basamaklı sayı vardır?
   1. A \(4\)
   2. B \(5\)
   3. C \(6\)
   4. D \(7\)
   5. E \(8\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(4a3b2\)
   • \(8\) ve \(9\) ile bölünüyor (yani \(72\) ile)

   Ne soruluyor?

   Kaç farklı sayı?

   Çözüm

   1. \(8\) ile bölünebilme: son üç basamak \(3b2\), \(8\)'in katı
      → \(1000\), \(8\)'in katıdır.
   2. \(312 = 8 \cdot 39\), \(352 = 8 \cdot 44\), \(392 = 8 \cdot 49\) → \(b \in \{1, 5, 9\}\)
      → Diğer \(b\) değerleri uymaz.
   3. \(9\) ile: \(4 + a + 3 + b + 2 = 9 + a + b\), \(9\)'un katı → \(a + b \in \{0, 9, 18\}\)
      → Rakamlar toplamı.
   4. \(b = 1\): \(a = 8\); \(b = 5\): \(a = 4\); \(b = 9\): \(a = 0\) ya da \(a = 9\)
      → \(a = 0\) olabilir; ikinci basamaktır.
   5. Toplam \(4\) sayı
      → Sonuç \(4\).

   Kontrol

   Sayılar: \(48\,312\), \(44\,352\), \(40\,392\), \(49\,392\); örneğin \(40\,392 = 72 \cdot 561\) ✓

   Sık yapılan hata

   \(b = 9\) için \(a = 0\) durumunu atlayıp \(3\) demek ya da \(8\) kuralında son iki basamağa bakmak.

3. 3 İkinin kuvvetleri toplamının yediyle bölümünden kalan
   \(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{22}\) toplamının \(7\) ile bölümünden kalan kaçtır?
   1. A \(0\)
   2. B \(1\)
   3. C \(2\)
   4. D \(3\)
   5. E \(4\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(2^0 + 2^1 + \cdots + 2^{22}\): \(23\) terim

   Ne soruluyor?

   Toplamın \(7\) ile kalanı?

   Çözüm

   1. Kuvvetlerin \(7\) ile kalanları: \(1, 2, 4, 1, 2, 4, \ldots\)
      → \(2^3 = 8\) kalanı \(1\); döngü \(3\) terimdir.
   2. Her döngünün kalanları toplamı \(1 + 2 + 4 = 7\) → katkısı \(0\)
      → Bir tam döngü \(7\)'nin katı ekler.
   3. \(23 = 3 \cdot 7 + 2\): ilk \(21\) terim (\(2^0\)–\(2^{20}\)) \(7\) tam döngü, kalan terimler \(2^{21}\) ve \(2^{22}\)
      → Artan iki terim döngünün başından gelir.
   4. \(2^{21}\) kalanı \(1\), \(2^{22}\) kalanı \(2\) → toplam kalan \(1 + 2 = 3\)
      → Sonuç \(3\).

   Kontrol

   Toplam \(2^{23} - 1\); \(2^{23} = (2^3)^7 \cdot 4\) kalanı \(4\), \(4 - 1 = 3\) ✓

   Sık yapılan hata

   Terim sayısını \(22\) sanmak (\(2^0 = 1\) de bir terimdir) ya da artan terimlerin kalanlarını \(2\) ve \(4\) alıp \(6\) bulmak.

4. 4 Bir yılda ayın on üçünün cumaya denk gelmesi
   Artık yıl olmayan bir yılın \(1\) Ocak günü Pazar'dır. Bu yıl içinde kaç ayın \(13\)'ü Cuma gününe denk gelir?
   1. A \(0\)
   2. B \(1\)
   3. C \(2\)
   4. D \(3\)
   5. E \(4\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Artık yıl değil (Şubat \(28\) gün)
   • \(1\) Ocak Pazar

   Ne soruluyor?

   Kaç ayın \(13\)'ü Cuma?

   Çözüm

   1. \(13\) Ocak, \(1\) Ocak'tan \(12\) gün sonradır; \(12 = 7 + 5\) → Pazar'dan \(5\) gün sonra: Cuma
      → Ocak sayılır.
   2. Bir sonraki ayın \(13\)'ü, ay \(31\) gün ise \(31 = 28 + 3\) → \(3\) gün, \(30\) gün ise \(2\) gün, \(28\) gün ise \(0\) gün kayar
      → Kaymalar ay uzunluğunun \(7\) ile kalanıdır.
   3. Ocak'tan başlayarak günler: Ocak Cuma, Şubat Pazartesi, Mart Pazartesi, Nisan Perşembe, Mayıs Cumartesi, Haziran Salı, Temmuz Perşembe, Ağustos Pazar, Eylül Çarşamba, Ekim Cuma, Kasım Pazartesi, Aralık Çarşamba
      → Her adımda önceki ayın kayması eklenir.
   4. Cuma'ya denk gelenler: Ocak ve Ekim → \(2\) ay
      → Sonuç \(2\).

   Kontrol

   \(13\) Ekim, yılın \(286\). günü; \(1\) Ocak'tan \(285\) gün sonra, \(285 = 7 \cdot 40 + 5\) → Pazar \(+ 5\) = Cuma ✓

   Sık yapılan hata

   Şubat'ı \(30\) gün almak ya da kaymayı ayın kendi uzunluğu yerine sonraki ayınkiyle hesaplamak.

5. 5 Beşin kuvvetlerinden dokuzla kalanı bir olanlar
   \(1 \le n \le 100\) olmak üzere kaç \(n\) doğal sayısı için \(5^n\) sayısının \(9\) ile bölümünden kalan \(1\)'dir?
   1. A \(16\)
   2. B \(17\)
   3. C \(20\)
   4. D \(25\)
   5. E \(33\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(5^n\), \(1 \le n \le 100\)
   • \(9\) ile kalan \(1\)

   Ne soruluyor?

   Kaç \(n\)?

   Çözüm

   1. Kalanlar: \(5^1 \to 5\), \(5^2 = 25 \to 7\), \(5^3 \to 35 \to 8\), \(5^4 \to 40 \to 4\), \(5^5 \to 20 \to 2\), \(5^6 \to 10 \to 1\)
      → Her adımda önceki kalan \(5\) ile çarpılıp \(9\)'a bölünür.
   2. Kalan \(1\) ilk kez \(n = 6\)'da çıkar; döngü \(6\) adımdır
      → Kalan \(1\) ⇔ \(n\), \(6\)'nın katı.
   3. \(1\)–\(100\) arasında \(6\)'nın katları: \(100 = 6 \cdot 16 + 4\) → \(16\) tane
      → Sonuç \(16\).

   Kontrol

   \(5^6 = 15625\); rakamlar toplamı \(19\), \(9\) ile kalanı \(1\) ✓

   Sık yapılan hata

   Döngüyü \(3\) adım sanıp \(33\) bulmak ya da \(n = 0\)'ı da sayıp \(17\) demek.

6. 6 İki farklı bölmenin bölümleri arasındaki farktan sayı
   Bir \(A\) doğal sayısının \(24\) ile bölümünden kalan \(17\)'dir. \(A\) sayısı \(6\) ile bölündüğünde elde edilen bölüm, \(24\) ile bölündüğünde elde edilen bölümden \(41\) fazladır. Buna göre \(A\) kaçtır?
   1. A \(296\)
   2. B \(305\)
   3. C \(317\)
   4. D \(323\)
   5. E \(329\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(A = 24q + 17\)
   • \(6\) ile bölümdeki bölüm, \(q\)'dan \(41\) fazla

   Ne soruluyor?

   \(A\) kaçtır?

   Çözüm

   1. \(A = 24q + 17 = 24q + 12 + 5 = 6(4q + 2) + 5\)
      → \(17\)'nin içindeki \(6\)'nın katı ayrılır; kalan \(5 \lt 6\).
   2. \(6\) ile bölümde bölüm \(4q + 2\)
      → Kalanın bölenden küçük olduğu biçim.
   3. \((4q + 2) - q = 41\) → \(3q = 39\) → \(q = 13\)
      → Denklem.
   4. \(A = 24 \cdot 13 + 17 = 312 + 17 = 329\)
      → Sonuç \(329\).

   Kontrol

   \(329 \div 24\): bölüm \(13\), kalan \(17\); \(329 \div 6\): bölüm \(54\), kalan \(5\); \(54 - 13 = 41\) ✓

   Sık yapılan hata

   \(6\) ile bölümü \(4q\) alıp kalanı \(17\) bırakmak; kalan bölenden büyük olamaz.

7. 7 Ardışık iki çift sayının çarpımını bölen en büyük sayı
   Ardışık iki pozitif çift sayının çarpımını her zaman tam bölen en büyük doğal sayı kaçtır?
   1. A \(6\)
   2. B \(8\)
   3. C \(12\)
   4. D \(16\)
   5. E \(24\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Sayılar \(2k\) ve \(2k + 2\) (\(k \ge 1\))

   Ne soruluyor?

   Çarpımı her zaman bölen en büyük sayı?

   Çözüm

   1. \(2k \cdot (2k + 2) = 4 \cdot k(k + 1)\)
      → Her iki çarpandan \(2\) dışarı alınır.
   2. \(k\) ile \(k + 1\) ardışık olduğundan biri çifttir → \(k(k + 1)\), \(2\)'nin katı
      → Ardışık iki tam sayının çarpımı çifttir.
   3. Çarpım her zaman \(4 \cdot 2 = 8\)'in katıdır
      → Alt sınır.
   4. \(k = 1\): \(2 \cdot 4 = 8\); bu yüzden \(8\)'den büyük bir sayı her zaman bölemez
      → En büyük bölen \(8\).

   Kontrol

   \(4 \cdot 6 = 24\), \(6 \cdot 8 = 48\), \(8 \cdot 10 = 80\); hepsi \(8\)'in katı ve \(\text{EBOB} = 8\) ✓

   Sık yapılan hata

   Ardışık çarpımlarda \(3\) çarpanı da olur sanıp \(24\) demek; \(2 \cdot 4 = 8\), \(3\)'e bölünmez.

8. 8 Yüze kadar sayıların yediyle kalanlarının toplamı
   \(1\)'den \(100\)'e kadar olan doğal sayıların her biri \(7\)'ye bölünüyor ve elde edilen kalanlar toplanıyor. Bu toplam kaçtır?
   1. A \(294\)
   2. B \(296\)
   3. C \(297\)
   4. D \(298\)
   5. E \(300\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(1, 2, \ldots, 100\)
   • Her birinin \(7\) ile bölümünden kalan

   Ne soruluyor?

   Kalanların toplamı?

   Çözüm

   1. Kalanlar \(7\) sayıda bir tekrar eder: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 0\)
      → Bir döngünün toplamı \(21\).
   2. \(100 = 7 \cdot 14 + 2\) → \(1\)–\(98\) arası \(14\) tam döngü: \(14 \cdot 21 = 294\)
      → Tam döngüler.
   3. Kalan sayılar \(99\) ve \(100\): kalanları \(1\) ve \(2\)
      → \(98\), \(7\)'nin katı.
   4. \(294 + 1 + 2 = 297\)
      → Sonuç \(297\).

   Kontrol

   \(1\)–\(100\) toplamı \(5050\); \(7 \cdot (\text{bölümler toplamı}) = 5050 - 297 = 4753 = 7 \cdot 679\) ✓

   Sık yapılan hata

   Son iki sayıyı unutup \(294\) demek ya da döngü toplamını \(28\) (\(1\)–\(7\)) almak.

9. 9 İkinci dereceden ifadeyi beşe bölen n değerleri
   \(1 \le n \le 100\) olmak üzere kaç \(n\) doğal sayısı için \(n^2 + 3n + 7\) sayısı \(5\) ile tam bölünür?
   1. A \(35\)
   2. B \(40\)
   3. C \(45\)
   4. D \(50\)
   5. E \(60\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(n^2 + 3n + 7\)
   • \(1 \le n \le 100\)

   Ne soruluyor?

   Kaç \(n\) için \(5\)'in katı?

   Çözüm

   1. İfadenin \(5\) ile kalanı yalnızca \(n\)'nin \(5\) ile kalanına bağlıdır
      → Kalan \(0, 1, 2, 3, 4\) için denenir.
   2. \(n \to 0\): \(7 \to 2\); \(n \to 1\): \(11 \to 1\); \(n \to 2\): \(17 \to 2\); \(n \to 3\): \(25 \to 0\); \(n \to 4\): \(35 \to 0\)
      → Kalan \(3\) ya da \(4\) olan \(n\)'ler uygun.
   3. \(1\)–\(100\) arasında her kalandan \(20\) sayı vardır → \(20 + 20 = 40\)
      → Sonuç \(40\).

   Kontrol

   \(n = 3\): \(25\); \(n = 4\): \(35\); \(n = 8\): \(95\); \(n = 9\): \(115\) — hepsi \(5\)'in katı ✓

   Sık yapılan hata

   Yalnızca bir kalan sınıfını bulup \(20\) demek.

10. 10 Rakamları farklı dört basamaklı dokuzun katlarında fark
    Rakamları birbirinden farklı ve \(9\) ile tam bölünebilen dört basamaklı en büyük sayı ile en küçük sayının farkı kaçtır?
    1. A \(8748\)
    2. B \(8757\)
    3. C \(8829\)
    4. D \(8838\)
    5. E \(8847\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • Dört basamaklı
    • Rakamları farklı
    • \(9\)'un katı (rakamlar toplamı \(9\)'un katı)

    Ne soruluyor?

    En büyük ile en küçüğün farkı?

    Çözüm

    1. En büyük: \(98\ldots\) ile başlanır; \(9 + 8 + 7 + c\) için \(24 + c\), \(9\)'un katı → \(c = 3\) → \(9873\)
       → \(9876\) (\(30\)), \(9875\) (\(29\)), \(9874\) (\(28\)) uymaz; \(9873\) (\(27\)) uyar.
    2. En küçük: \(10\ldots\) ile başlanır; \(1 + 0 + b + c = 9\) için en küçük \(b = 2\), \(c = 6\) → \(1026\)
       → \(1023, 1024, 1025\) uymaz; \(b = 1\) tekrar olurdu.
    3. \(9873 - 1026 = 8847\)
       → Sonuç \(8847\).

    Kontrol

    \(9873 = 9 \cdot 1097\), \(1026 = 9 \cdot 114\); \(9873 - 1026 = 8847\) ✓

    Sık yapılan hata

    En büyük sayıyı \(9873\) yerine \(9864\) sanmak ya da en küçüğü \(1008\) alıp rakam tekrarını gözden kaçırmak.

← Tüm testler