İkinin kuvvetleri toplamının yediyle bölümünden kalan
\(1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{22}\) toplamının \(7\) ile bölümünden kalan kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2^0 + 2^1 + \cdots + 2^{22}\): \(23\) terim
Ne soruluyor?
Toplamın \(7\) ile kalanı?
Çözüm
- Kuvvetlerin \(7\) ile kalanları: \(1, 2, 4, 1, 2, 4, \ldots\)
→ \(2^3 = 8\) kalanı \(1\); döngü \(3\) terimdir. - Her döngünün kalanları toplamı \(1 + 2 + 4 = 7\) → katkısı \(0\)
→ Bir tam döngü \(7\)'nin katı ekler. - \(23 = 3 \cdot 7 + 2\): ilk \(21\) terim (\(2^0\)–\(2^{20}\)) \(7\) tam döngü, kalan terimler \(2^{21}\) ve \(2^{22}\)
→ Artan iki terim döngünün başından gelir. - \(2^{21}\) kalanı \(1\), \(2^{22}\) kalanı \(2\) → toplam kalan \(1 + 2 = 3\)
→ Sonuç \(3\).
Kontrol
Toplam \(2^{23} - 1\); \(2^{23} = (2^3)^7 \cdot 4\) kalanı \(4\), \(4 - 1 = 3\) ✓
Sık yapılan hata
Terim sayısını \(22\) sanmak (\(2^0 = 1\) de bir terimdir) ya da artan terimlerin kalanlarını \(2\) ve \(4\) alıp \(6\) bulmak.