KPSS Sayı Basamakları Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(ab\) ve \(ba\) iki basamaklı sayılardır. \(ab + ba\) toplamı bir tam kare sayı olduğuna göre bu koşulu sağlayan kaç farklı \(ab\) sayısı vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(ab + ba\) tam kare
- \(a, b \ne 0\)
Ne soruluyor?
Kaç sayı vardır?
Çözüm
- \(ab + ba = 11(a + b)\)
→ - \(11\) asal; tam kare olması için \(a + b\) de \(11\)'in katı olmalı → \(a + b = 11\)
→ \(2 \le a + b \le 18\). - \((a, b)\): \((2, 9), (3, 8), \dots, (9, 2)\) → \(8\) tane
→ Toplam \(121 = 11^2\).
Kontrol
\(29 + 92 = 121 = 11^2\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca \(a \gt b\) olanları sayıp \(4\) demek ya da \((1, 10)\) gibi rakam olmayan değerleri katmak.
-
\(ab\) ve \(ba\) iki basamaklı sayılar ve \(a \gt b\)'dir. \(ab \cdot ba = 1462\) olduğuna göre \(ab\) sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(ab \cdot ba = 1462\)
- \(a \gt b\)
Ne soruluyor?
\(ab\) kaçtır?
Çözüm
- \(1462\)'yi asal çarpanlarına ayıralım: \(1462 = 2 \cdot 731 = 2 \cdot 17 \cdot 43\)
→ - İki basamaklı iki çarpana ayırma: \(34 \cdot 43\)
→ \(2 \cdot 17 = 34\); diğer seçenekler (\(17 \cdot 86\), \(2 \cdot 731\)) birbirinin tersi değil. - \(34\) ile \(43\) birbirinin tersi ✓, \(a \gt b\) → \(ab = 43\)
→
Kontrol
\(43 \cdot 34 = 1462\) ✓
Sık yapılan hata
\(a \gt b\) şartını gözden kaçırıp \(34\) demek.
-
İki basamaklı bir sayının hem soluna hem de sağına \(1\) rakamı yazılarak dört basamaklı bir sayı elde ediliyor. Elde edilen sayı, ilk sayının \(23\) katına eşit olduğuna göre ilk sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- İlk sayı \(n\) (iki basamaklı)
- Yeni sayı: \(1ab1\)
Ne soruluyor?
\(n\) kaçtır?
Çözüm
- Sağına \(1\): sayı \(10n + 1\) olur (üç basamaklı).
→ - Soluna \(1\): bu \(1\) binler basamağına gelir → \(1000 + 10n + 1\)
→ Sola gelen rakamın değeri, sağdaki sayının basamak sayısına bağlıdır. - \(1001 + 10n = 23n\) → \(13n = 1001\) → \(n = 77\)
→ Sonuç \(77\).
Kontrol
\(1771 = 23 \cdot 77\) ✓
Sık yapılan hata
Soldaki \(1\)'i \(100\) sanmak; sağa rakam eklenince sayı üç basamaklı olur, soldaki \(1\) binler basamağına gelir.
-
\(1\)'den başlayarak doğal sayılar sırayla yan yana yazılıyor: \(123456789101112\dots\) Bu yazımda soldan \(100\). rakam kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Yazım: \(123456789101112\dots\)
Ne soruluyor?
Soldan \(100\). rakam?
Çözüm
- Bir basamaklılar \(9\) rakam kaplar; geriye \(100 - 9 = 91\) rakam kalır.
→ - İki basamaklı her sayı \(2\) rakam: \(91 = 2 \cdot 45 + 1\)
→ \(45\) sayı tam yazılır, bir rakam artar. - \(10\)'dan başlayan \(45\). sayı \(54\); \(99\). rakam \(54\)'ün son rakamı
→ - \(100\). rakam, sonraki sayı \(55\)'in ilk rakamı: \(5\)
→ Sonuç \(5\).
Kontrol
\(9 + 45 \cdot 2 = 99\) rakam \(54\)'te biter ✓
Sık yapılan hata
\(45\). iki basamaklı sayıyı \(55\) sanmak ya da \(54\)'ün son rakamı \(4\)'ü cevap vermek.
-
\(ab\), \(cd\), \(ba\) ve \(dc\) iki basamaklı sayılardır. \(ab + cd = 131\) ve \(ba + dc = 122\) olduğuna göre \(a + b + c + d\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(ab + cd = 131\)
- \(ba + dc = 122\)
Ne soruluyor?
\(a + b + c + d\) kaçtır?
Çözüm
- \(10(a + c) + (b + d) = 131\) ve \(10(b + d) + (a + c) = 122\)
→ Çözümleme. - İki denklemi toplayalım: \(11(a + c) + 11(b + d) = 253\)
→ - \(a + b + c + d = \dfrac{253}{11} = 23\)
→ Sonuç \(23\).
Kontrol
\(a + c = 12\), \(b + d = 11\): \(120 + 11 = 131\) ✓ \(110 + 12 = 122\) ✓ (örnek: \(65 + 66 = 131\), \(56 + 66 = 122\))
Sık yapılan hata
Denklemleri tek tek çözmeye çalışıp rakamları bulmaya uğraşmak; toplamak yeterli. İki toplamı çıkarıp \(9\) ile bölmek ise yalnızca \((a + c) - (b + d)\) farkını verir.
-
Üç basamaklı \(abc\) sayısında \(a \gt b \gt c\) olduğuna göre bu koşulu sağlayan kaç farklı \(abc\) sayısı vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a \gt b \gt c\)
- \(abc\) üç basamaklı
Ne soruluyor?
Kaç sayı vardır?
Çözüm
- \(0, 1, \dots, 9\) rakamlarından farklı üç rakam seçilirse, bunları azalan sırada dizmenin tek yolu vardır.
→ Her seçim tam olarak bir sayı verir. - \(0\) seçilse bile en küçük rakam olduğu için \(c\)'ye gelir; \(a\) hiçbir zaman \(0\) olmaz.
→ Bu yüzden \(0\) dışarıda bırakılmaz. - \(\dbinom{10}{3} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 120\)
→ Sonuç \(120\).
Kontrol
Küçük bir kontrol: \(a = 2\) için yalnızca \(210\) var; formül de \(\{0, 1, 2\}\) seçimini tek sayı olarak sayar ✓
Sık yapılan hata
\(0\)'ı rakamlardan çıkarıp \(\dbinom{9}{3} = 84\) demek ya da sıralamayı da sayıp \(720\) bulmak.
-
Üç basamaklı \(abc\) sayısı, iki basamaklı \(ac\) sayısının \(11\) katına eşittir. Bu koşulu sağlayan kaç farklı \(abc\) sayısı vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(abc = 11 \cdot ac\)
Ne soruluyor?
Kaç sayı vardır?
Çözüm
- \(100a + 10b + c = 11(10a + c) = 110a + 11c\)
→ Çözümleme. - \(10b = 10a + 10c\) → \(b = a + c\)
→ Ortadaki rakam, dıştakilerin toplamı. - \(a \ge 1\), \(c \ge 0\), \(a + c \le 9\): \(a = 1\) için \(9\), \(a = 2\) için \(8\), ..., \(a = 9\) için \(1\) seçenek
→ - \(9 + 8 + \dots + 1 = 45\)
→ Sonuç \(45\).
Kontrol
\(132 = 11 \cdot 12\) ✓ \(990 = 11 \cdot 90\) ✓
Sık yapılan hata
\(c = 0\) durumlarını (\(110, 220, \dots\)) unutup \(36\) bulmak.
-
Üç basamaklı \(abc\) sayısı için \(abc + ab + a = 543\) olduğuna göre \(a + b + c\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(abc + ab + a = 543\)
Ne soruluyor?
\(a + b + c\) kaçtır?
Çözüm
- \((100a + 10b + c) + (10a + b) + a = 111a + 11b + c = 543\)
→ Çözümleme. - \(11b + c \le 11 \cdot 9 + 9 = 108\) → \(111a \ge 435\) → \(a \ge 4\); \(111 \cdot 5 = 555 \gt 543\) → \(a = 4\)
→ - \(11b + c = 543 - 444 = 99\) → \(b = 9\), \(c = 0\)
→ \(b = 8\) olsaydı \(c = 11\) olurdu, rakam değil. - \(a + b + c = 4 + 9 + 0 = 13\)
→ Sonuç \(13\).
Kontrol
\(490 + 49 + 4 = 543\) ✓
Sık yapılan hata
\(11b + c = 99\) denkleminde \(b = 8\), \(c = 11\) gibi rakam olmayan çözümleri kabul etmek ya da \(a = 5\) deneyip negatif sonuç almak.
-
Üç basamaklı doğal sayılardan kaç tanesinin rakamları toplamı \(7\)'ye eşittir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a + b + c = 7\)
- \(a \ge 1\), \(b, c \ge 0\)
Ne soruluyor?
Kaç sayı vardır?
Çözüm
- \(a\) seçildikten sonra \(b + c = 7 - a\) olur; bunun çözüm sayısı \(8 - a\)'dır.
→ \(b = 0, 1, \dots, 7 - a\). - \(a = 1\): \(7\); \(a = 2\): \(6\); ...; \(a = 7\): \(1\)
→ - \(7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 28\)
→ Sonuç \(28\).
Kontrol
Örnek: \(a = 6\) için \(601, 610\) → \(2\) sayı ✓
Sık yapılan hata
\(b + c = 7 - a\) için çözüm sayısını \(7 - a\) alıp \(0\)'lı durumları kaçırmak (\(21\)) ya da \(a = 0\)'ı da sayıp \(36\) bulmak.
-
\(ab\) ve \(ba\) iki basamaklı sayılardır. \(ab\) sayısı rakamları toplamının \(k\) katına, \(ba\) sayısı ise rakamları toplamının \(m\) katına eşittir. \(k\) ve \(m\) doğal sayılar olduğuna göre \(k + m\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(10a + b = k(a + b)\)
- \(10b + a = m(a + b)\)
Ne soruluyor?
\(k + m\) kaçtır?
Çözüm
- İki eşitliği taraf tarafa toplayalım: \(11a + 11b = (k + m)(a + b)\)
→ İki sayının rakamlar toplamı aynıdır. - \(11(a + b) = (k + m)(a + b)\) → \(k + m = 11\)
→ \(a + b \ne 0\) ile sadeleşir.
Kontrol
\(ab = 12\): \(12 = 4 \cdot 3\), \(21 = 7 \cdot 3\) → \(4 + 7 = 11\) ✓ \(ab = 45\): \(5 + 6 = 11\) ✓
Sık yapılan hata
Belirli bir sayı deneyip yalnızca \(k\)'yi bulmak ya da farkı alıp \(9\) ile ilişkilendirmek; \(9\) katsayısı \(k - m\) için geçerlidir.