Mehmet HocaMatematik
Sayı Basamakları

KPSS Sayı Basamakları Çok Zor Test 1

Sayı Basamakları konusunda sınav düzeyinin üstünde, çok zor 10 soruluk çözümlü test. Her sorunun ayrıntılı çözümü, kontrolü ve sık yapılan hataları var. Süre 30 dakika; sayaç geri sayar.
Soru sayısı
10
Süre
30 dk
Zorluk
Çok zor

Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.

Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.

  1. 1 Rakamları toplamının 21 katı olan sayı
    Üç basamaklı bir doğal sayı, rakamlarının toplamının \(21\) katına eşittir. Bu sayının rakamlarının çarpımı kaçtır?
    1. A \(144\)
    2. B \(168\)
    3. C \(192\)
    4. D \(224\)
    5. E \(378\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • Sayı: \(abc\), \(a \ne 0\)
    • \(abc = 21(a + b + c)\)

    Ne soruluyor?

    \(a \cdot b \cdot c\) kaçtır?

    Çözüm

    1. \(100a + 10b + c = 21a + 21b + 21c\)
      → Çözümleme.
    2. \(79a = 11b + 20c\)
      → Terimler toplandı.
    3. Sağ taraf en fazla \(11 \cdot 9 + 20 \cdot 9 = 279\) → \(a \le 3\)
      → \(79a \le 279\).
    4. \(a = 1\): \(11b + 20c = 79\) → çözüm yok. \(a = 2\): \(11b + 20c = 158\) → çözüm yok. \(a = 3\): \(11b + 20c = 237\) → \(b = 7, c = 8\)
      → \(c\) için \(0..9\) denendi.
    5. Sayı \(378\); rakamların çarpımı \(3 \cdot 7 \cdot 8 = 168\)
      → Soru çarpımı istiyor.

    Kontrol

    \(3 + 7 + 8 = 18\), \(18 \cdot 21 = 378\) ✓

    Sık yapılan hata

    Sayıyı (\(378\)) ya da rakamlar toplamını (\(18\)) cevap olarak işaretlemek; soru rakamların çarpımını istiyor.

  2. 2 Ters çevrilen iki basamaklı sayıların kareleri farkı
    \(AB\) ve \(BA\) iki basamaklı sayılardır. \(AB^{\,2} - BA^{\,2} = 1485\) olduğuna göre \(AB\) sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?
    1. A \(63\)
    2. B \(78\)
    3. C \(85\)
    4. D \(87\)
    5. E \(96\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • \(AB^{\,2} - BA^{\,2} = 1485\)
    • \(A, B \ne 0\)

    Ne soruluyor?

    \(AB\) en fazla kaçtır?

    Çözüm

    1. \((10A + B)^2 - (10B + A)^2 = (9A - 9B)(11A + 11B) = 99(A^2 - B^2)\)
      → Kareler farkı: \((x - y)(x + y)\).
    2. \(99(A^2 - B^2) = 1485\) → \(A^2 - B^2 = 15\)
      → Bölme yapıldı.
    3. \((A - B)(A + B) = 15\): \(1 \cdot 15\) → \(A = 8, B = 7\); \(3 \cdot 5\) → \(A = 4, B = 1\)
      → Rakam olma şartı sağlanıyor.
    4. Sayılar \(87\) ve \(41\) → en büyüğü \(87\)
      → İki çözüm var; en büyüğü isteniyor.

    Kontrol

    \(87^2 - 78^2 = 7569 - 6084 = 1485\) ✓

    Sık yapılan hata

    Yalnızca \(3 \cdot 5\) çarpanlarını görüp \(41\) demek. \(15 = 1 \cdot 15\) ayrıştırması da geçerli bir çözüm verir.

  3. 3 Ters çevrilen dört basamaklı sayıyla farkı sayma
    Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı \(ABCD\) sayısı için \(ABCD - DCBA = 3087\) eşitliği sağlanıyor. Buna göre kaç farklı \(ABCD\) sayısı yazılabilir?
    1. A \(27\)
    2. B \(30\)
    3. C \(31\)
    4. D \(36\)
    5. E \(45\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • \(ABCD\) rakamları farklı, \(D \ne 0\) (\(DCBA\) dört basamaklı)
    • Fark \(3087\)

    Ne soruluyor?

    Kaç farklı sayı vardır?

    Çözüm

    1. \(ABCD - DCBA = 999(A - D) + 90(B - C)\)
      → Çözümleyip sadeleştirince.
    2. \(999(A - D) + 90(B - C) = 3087\) → \(A - D = 3\), \(B - C = 1\)
      → \(A - D = 2\) ya da \(4\) için \(B - C\) tam sayı çıkmıyor.
    3. \((A, D)\): \((4,1), (5,2), (6,3), (7,4), (8,5), (9,6)\) → \(6\) seçenek
      → \(D \ge 1\).
    4. Her \((A, D)\) için \((B, C) = (C + 1, C)\) ikilisi \(A\) ve \(D\)'den farklı olmalı. \(9\) olası ikiliden, \(A\) ya da \(D\) ile çakışanlar çıkarılır.
      → Örneğin \((A, D) = (4, 1)\) için \((1,0), (2,1), (4,3), (5,4)\) elenir → \(5\) kalır.
    5. Sayım: \((4,1)\): 5, \((5,2)\): 5, \((6,3)\): 5, \((7,4)\): 5, \((8,5)\): 5, \((9,6)\): 6 → toplam \(31\)
      → \((9,6)\)'da \((9,8)\) ile \((6,5), (7,6)\) elenir; \((0,\cdot)\) yok çünkü \(B - C = 1\).

    Kontrol

    Örnek: \(9876 - 6789 = 3087\) ✓ \(4321 - 1234 = 3087\) ✓

    Sık yapılan hata

    Rakamların farklı olma şartını atlayıp \(6 \cdot 9 = 54\) demek; ya da \(D = 0\) durumunu da sayarak fazladan sayı eklemek.

  4. 4 Sağına ve soluna 5 yazılan üç basamaklı sayı
    Üç basamaklı bir sayının sağına \(5\) yazılarak elde edilen dört basamaklı sayı, aynı sayının soluna \(5\) yazılarak elde edilen dört basamaklı sayıdan \(1449\) fazladır. Bu üç basamaklı sayı kaçtır?
    1. A \(216\)
    2. B \(644\)
    3. C \(706\)
    4. D \(716\)
    5. E \(726\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • Sayı: \(n\) (üç basamaklı)
    • Sağına 5: \(10n + 5\)
    • Soluna 5: \(5000 + n\)

    Ne soruluyor?

    \(n\) kaçtır?

    Çözüm

    1. Sağa rakam yazmak sayıyı \(10\) ile çarpıp o rakamı ekler: \(10n + 5\)
      → Basamaklar bir sola kayar.
    2. Sola rakam yazmak, o rakamın basamak değerini ekler: \(5000 + n\)
      → Üç basamaklı sayının soluna gelen rakam binler basamağındadır.
    3. \(10n + 5 - (5000 + n) = 1449\) → \(9n = 6444\) → \(n = 716\)
      → Denklem çözüldü.

    Kontrol

    \(7165 - 5716 = 1449\) ✓

    Sık yapılan hata

    Sola yazılan \(5\)'i \(500\) sanmak (\(n\) üç basamaklı olduğu için \(5\) binler basamağına gelir). Bu hatayla \(9n = 1944\), \(n = 216\) bulunur.

  5. 5 Rakamları toplamının dört katı olan sayının tersi
    İki basamaklı bir sayı, rakamları toplamının \(4\) katına eşittir. Bu sayının rakamlarının yerleri değiştirilerek elde edilen sayı, rakamları toplamının kaç katıdır?
    1. A \(3\)
    2. B \(4\)
    3. C \(5\)
    4. D \(6\)
    5. E \(7\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • \(ab = 4(a + b)\)

    Ne soruluyor?

    \(ba\), \(a + b\)'nin kaç katı?

    Çözüm

    1. \(10a + b = 4a + 4b\) → \(6a = 3b\) → \(b = 2a\)
      → Çözümleme.
    2. Sayılar: \(12, 24, 36, 48\)
      → \(b \le 9\) → \(a \le 4\).
    3. \(ba = 10b + a = 20a + a = 21a\), \(a + b = 3a\) → oran \(21a \div 3a = 7\)
      → Hangi sayı seçilirse seçilsin oran aynı.

    Kontrol

    \(21 \div 3 = 7\) ✓ \(84 \div 12 = 7\) ✓

    Sık yapılan hata

    Katın \(4\) kalacağını sanmak ya da tek bir örnek (\(12 \to 21\)) üzerinden \(21\) demek; soru oranı soruyor.

  6. 6 Rakamları farklı ve toplamı 30 olan dört basamaklılar
    Rakamları birbirinden farklı ve rakamları toplamı \(30\) olan kaç tane dört basamaklı sayı vardır?
    1. A \(18\)
    2. B \(20\)
    3. C \(24\)
    4. D \(30\)
    5. E \(36\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • Dört basamak, rakamlar farklı
    • Rakamlar toplamı \(30\)

    Ne soruluyor?

    Kaç sayı vardır?

    Çözüm

    1. Farklı dört rakamın en büyük toplamı \(9 + 8 + 7 + 6 = 30\)
      → Toplam, ulaşılabilecek en büyük değere eşit.
    2. Bu yüzden rakamlar zorunlu olarak \(6, 7, 8, 9\)'dur.
      → Herhangi bir rakamı küçültmek toplamı \(30\)'un altına düşürür.
    3. Dört farklı rakamın dizilişi: \(4! = 24\)
      → Hiçbiri \(0\) olmadığı için baştaki rakam kısıtı yok.

    Kontrol

    En küçüğü \(6789\), en büyüğü \(9876\); ikisinin de toplamı \(30\) ✓

    Sık yapılan hata

    Toplamı \(30\) veren farklı rakam dörtlülerini aramaya kalkıp birden fazla küme varmış gibi saymak. Tek küme vardır.

  7. 7 Ters çevrilince farkı 396 olan sayılar
    Üç basamaklı \(abc\) sayısı için \(abc - cba = 396\) ve \(a + b + c = 17\)'dir. Bu koşulları sağlayan kaç farklı \(abc\) sayısı vardır?
    1. A \(3\)
    2. B \(4\)
    3. C \(5\)
    4. D \(6\)
    5. E \(9\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • \(abc - cba = 396\)
    • \(a + b + c = 17\)

    Ne soruluyor?

    Kaç sayı vardır?

    Çözüm

    1. \(abc - cba = 99(a - c) = 396\) → \(a - c = 4\)
      → Onlar basamağı farkta yok olur.
    2. \((a, c)\): \((5,1), (6,2), (7,3), (8,4), (9,5)\) → \(b = 17 - a - c\)
      → \(c \ne 0\), çünkü \(cba\) üç basamaklı.
    3. \(b\): \(11, 9, 7, 5, 3\) → ilki rakam değil
      → \(b \le 9\).
    4. Sayılar: \(692, 773, 854, 935\) → \(4\) tane
      → Rakamların farklı olması istenmedi; \(773\) de geçerli.

    Kontrol

    \(935 - 539 = 396\) ✓ \(9 + 3 + 5 = 17\) ✓

    Sık yapılan hata

    \((a, c) = (5, 1)\) durumunda \(b = 11\) çıktığını fark etmeyip \(5\) demek; ya da \(773\)'ü tekrar eden rakam var diye elemek.

  8. 8 1'den 400'e kadar yazılan 7 rakamları
    \(1\)'den \(400\)'e kadar olan doğal sayılar yan yana yazılıyor. Bu yazımda kaç tane \(7\) rakamı kullanılır?
    1. A \(40\)
    2. B \(44\)
    3. C \(72\)
    4. D \(76\)
    5. E \(80\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • \(1, 2, 3, \dots, 400\)

    Ne soruluyor?

    Kaç tane \(7\) rakamı var?

    Çözüm

    1. Birler basamağı: her \(10\) sayıda bir \(7\) → \(400 \div 10 = 40\)
      → \(7, 17, 27, \dots, 397\).
    2. Onlar basamağı: her \(100\) sayıda \(10\) tane (\(70\)–\(79\)) → \(4 \cdot 10 = 40\)
      → \(70\)–\(79\), \(170\)–\(179\), \(270\)–\(279\), \(370\)–\(379\).
    3. Yüzler basamağı: \(700\)'lü sayılar aralıkta yok → \(0\)
      → En büyük sayı \(400\).
    4. Toplam \(40 + 40 = 80\)
      → \(77\) gibi sayılardaki iki \(7\) ayrı ayrı sayıldı.

    Kontrol

    \(77\), \(177\), \(277\), \(377\) sayılarının her biri iki \(7\) içerir ve iki sayımda da yer alır ✓

    Sık yapılan hata

    \(7\) içeren sayıları sayıp (\(76\)) rakam sayısıyla karıştırmak; \(77\) gibi sayılar iki rakam katkısı yapar.

  9. 9 Rakamları çarpımı ile toplamının toplamına eşit sayılar
    İki basamaklı bir sayı, rakamlarının çarpımı ile rakamlarının toplamının toplamına eşittir. Bu özelliği taşıyan bütün sayıların toplamı kaçtır?
    1. A \(495\)
    2. B \(531\)
    3. C \(540\)
    4. D \(549\)
    5. E \(585\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • \(ab = ab + a + b\)

    Ne soruluyor?

    Bu sayıların toplamı?

    Çözüm

    1. \(10a + b = ab + a + b\) → \(9a = ab\)
      → \(b\)'ler sadeleşti.
    2. \(a \ne 0\) olduğundan \(b = 9\)
      → İki tarafı \(a\)'ya böldük.
    3. Sayılar: \(19, 29, 39, \dots, 99\) → \(9\) sayı
      → \(a = 1..9\).
    4. Toplam: \(\dfrac{(19 + 99) \cdot 9}{2} = 531\)
      → Aritmetik dizi toplamı.

    Kontrol

    \(39\): \(3 \cdot 9 + 3 + 9 = 39\) ✓

    Sık yapılan hata

    Yalnızca bir örnek bulup (\(19\)) durmak ya da \(a = 0\) durumunu da düşünüp tek basamaklı \(9\)'u eklemek.

  10. 10 Rakamları çarpımı 36 olan üç basamaklı sayılar
    Rakamlarının çarpımı \(36\) olan kaç tane üç basamaklı doğal sayı vardır?
    1. A \(15\)
    2. B \(18\)
    3. C \(21\)
    4. D \(24\)
    5. E \(27\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • \(a \cdot b \cdot c = 36\), \(a, b, c\) rakam

    Ne soruluyor?

    Kaç sayı vardır?

    Çözüm

    1. \(36\)'yı üç rakamın çarpımı olarak yazalım (sırasız): \(\{1, 4, 9\}, \{1, 6, 6\}, \{2, 2, 9\}, \{2, 3, 6\}, \{3, 3, 4\}\)
      → \(\{1, 1, 36\}\), \(\{1, 2, 18\}\), \(\{1, 3, 12\}\) geçersiz: rakam \(9\)'dan büyük olamaz.
    2. Farklı üç rakam → \(3! = 6\) diziliş: \(\{1,4,9\}\) ve \(\{2,3,6\}\) → \(12\)
      → Hiçbir rakam \(0\) değil.
    3. İki rakam aynı → \(3\) diziliş: \(\{1,6,6\}, \{2,2,9\}, \{3,3,4\}\) → \(9\)
      → \(\dfrac{3!}{2!} = 3\).
    4. Toplam \(12 + 9 = 21\)
      → Sayım.

    Kontrol

    Örnek: \(149, 194, 419, 491, 914, 941\) (6) ✓ \(166, 616, 661\) (3) ✓

    Sık yapılan hata

    \(\{2, 2, 9\}\) ya da \(\{3, 3, 4\}\) kümesini gözden kaçırmak; ya da tekrarlı rakamlı kümeleri de \(6\) kez saymak.

← Tüm testler

WhatsApp