Ters çevrilen dört basamaklı sayıyla farkı sayma
Rakamları birbirinden farklı dört basamaklı \(ABCD\) sayısı için \(ABCD - DCBA = 3087\) eşitliği sağlanıyor. Buna göre kaç farklı \(ABCD\) sayısı yazılabilir?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(ABCD\) rakamları farklı, \(D \ne 0\) (\(DCBA\) dört basamaklı)
- Fark \(3087\)
Ne soruluyor?
Kaç farklı sayı vardır?
Çözüm
- \(ABCD - DCBA = 999(A - D) + 90(B - C)\)
→ Çözümleyip sadeleştirince. - \(999(A - D) + 90(B - C) = 3087\) → \(A - D = 3\), \(B - C = 1\)
→ \(A - D = 2\) ya da \(4\) için \(B - C\) tam sayı çıkmıyor. - \((A, D)\): \((4,1), (5,2), (6,3), (7,4), (8,5), (9,6)\) → \(6\) seçenek
→ \(D \ge 1\). - Her \((A, D)\) için \((B, C) = (C + 1, C)\) ikilisi \(A\) ve \(D\)'den farklı olmalı. \(9\) olası ikiliden, \(A\) ya da \(D\) ile çakışanlar çıkarılır.
→ Örneğin \((A, D) = (4, 1)\) için \((1,0), (2,1), (4,3), (5,4)\) elenir → \(5\) kalır. - Sayım: \((4,1)\): 5, \((5,2)\): 5, \((6,3)\): 5, \((7,4)\): 5, \((8,5)\): 5, \((9,6)\): 6 → toplam \(31\)
→ \((9,6)\)'da \((9,8)\) ile \((6,5), (7,6)\) elenir; \((0,\cdot)\) yok çünkü \(B - C = 1\).
Kontrol
Örnek: \(9876 - 6789 = 3087\) ✓ \(4321 - 1234 = 3087\) ✓
Sık yapılan hata
Rakamların farklı olma şartını atlayıp \(6 \cdot 9 = 54\) demek; ya da \(D = 0\) durumunu da sayarak fazladan sayı eklemek.