KPSS Kümeler Orta Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 20 dk
- Zorluk
- Orta
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(s(A) = 2 \cdot s(B)\), \(s(A \cap B) = 4\) ve \(s(A \cup B) = 17\) olduğuna göre \(s(A \setminus B)\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A) = 2 \cdot s(B)\)
- \(s(A \cap B) = 4\)
- \(s(A \cup B) = 17\)
Ne soruluyor?
\(s(A \setminus B)\).
Çözüm
- \(s(B) = x\), \(s(A) = 2x\): \(2x + x - 4 = 17\)
→ Birleşim formülü. - \(3x = 21\) → \(x = 7\), \(s(A) = 14\)
→ Eleman sayıları. - \(s(A \setminus B) = 14 - 4 = 10\)
→ Sonuç: \(10\).
Kontrol
Yalnız \(A\): \(10\), ortak: \(4\), yalnız \(B\): \(3\) → \(17\) ✓ \(s(A) = 14 = 2 \cdot 7\) ✓
Sık yapılan hata
\(s(A) = 14\)'ü bulup ortak elemanları çıkarmayı unutmak.
-
\(5\) elemanlı bir kümenin en az \(2\) elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A) = 5\)
Ne soruluyor?
En az \(2\) elemanlı alt küme sayısı.
Çözüm
- Tüm alt kümeler: \(2^5 = 32\)
→ Toplam. - Uygun olmayanlar: boş küme (\(1\)) ve \(1\) elemanlılar (\(5\))
→ \(0\) ve \(1\) elemanlılar. - \(32 - 1 - 5 = 26\)
→ Sonuç: \(26\).
Kontrol
\(\binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 10 + 10 + 5 + 1 = 26\) ✓
Sık yapılan hata
Boş kümeyi çıkarmayı unutup \(27\) bulmak.
-
Bir kümenin alt küme sayısı ile \(2\) elemanlı alt kümelerinin sayısı arasındaki fark \(22\)'dir. Bu kümenin eleman sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2^n - \binom{n}{2} = 22\)
Ne soruluyor?
Eleman sayısı \(n\).
Çözüm
- \(n = 4\): \(16 - 6 = 10\)
→ Deneme. - \(n = 5\): \(32 - 10 = 22\) ✓
→ Tutuyor. - \(n = 6\): \(64 - 15 = 49\); \(n\) büyüdükçe fark hızla artar → tek çözüm \(n = 5\)
→ Sonuç: \(5\).
Kontrol
\(5\) elemanlı küme: \(32\) alt küme, \(10\) tane \(2\) elemanlı ✓
Sık yapılan hata
\(2\) elemanlı alt küme sayısını \(n \cdot (n - 1)\) alıp sıralı saymak.
-
\(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\), \(A \cap B = \{3, 4\}\) ve \(A \setminus B = \{1, 2, 5\}\) olduğuna göre \(B\) kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A \cup B = \{1, \dots, 8\}\)
- \(A \cap B = \{3, 4\}\)
- \(A \setminus B = \{1, 2, 5\}\)
Ne soruluyor?
\(B\)'nin elemanlarının toplamı.
Çözüm
- \(B\), birleşimden yalnız \(A\)'ya ait elemanlar atılınca kalan kümedir
→ \(B = (A \cup B) \setminus (A \setminus B)\). - \(B = \{3, 4, 6, 7, 8\}\)
→ Ortak \(3, 4\) ve yalnız \(B\)'dekiler \(6, 7, 8\). - \(3 + 4 + 6 + 7 + 8 = 28\)
→ Sonuç: \(28\).
Kontrol
\(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\), \(B = \{3, 4, 6, 7, 8\}\): birleşim \(\{1, \dots, 8\}\) ✓ kesişim \(\{3, 4\}\) ✓
Sık yapılan hata
Ortak elemanları unutup yalnız \(\{6, 7, 8\}\)'i toplamak (\(21\)).
-
Bir iş yerinde çalışan \(40\) kişiden çay içenler \(25\), kahve içenler \(20\) kişidir; \(6\) kişi ise ikisini de içmemektedir. Buna göre yalnızca çay içen kaç kişi vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Toplam \(40\)
- Çay \(25\), kahve \(20\)
- Hiçbiri \(6\)
Ne soruluyor?
Yalnız çay içenlerin sayısı.
Çözüm
- En az birini içen: \(40 - 6 = 34\)
→ Birleşim. - İkisini de içen: \(25 + 20 - 34 = 11\)
→ Kesişim. - Yalnız çay: \(25 - 11 = 14\)
→ Sonuç: \(14\).
Kontrol
Yalnız çay \(14\), ikisi \(11\), yalnız kahve \(9\), hiçbiri \(6\): toplam \(40\) ✓
Sık yapılan hata
Kesişimi (\(11\)) ya da yalnız kahve içenleri (\(9\)) cevap sanmak.
-
\(A = \{1, 2, 3\}\) ve \(B = \{2, 3, 4, 5\}\) olduğuna göre \(A \times B\) kümesinin elemanlarından kaç tanesinde birinci bileşen ikinci bileşenden küçüktür?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = \{1, 2, 3\}\)
- \(B = \{2, 3, 4, 5\}\)
- \(s(A \times B) = 12\)
Ne soruluyor?
\((a, b)\) ikililerinden \(a \lt b\) olanların sayısı.
Çözüm
- \(a = 1\): \(b = 2, 3, 4, 5\) → \(4\)
→ Hepsi büyük. - \(a = 2\): \(b = 3, 4, 5\) → \(3\); \(a = 3\): \(b = 4, 5\) → \(2\)
→ Eşit olanlar sayılmaz. - \(4 + 3 + 2 = 9\)
→ Sonuç: \(9\).
Kontrol
Tüm ikililer \(12\); \(a \ge b\) olanlar \((2, 2), (3, 2), (3, 3)\) → \(12 - 3 = 9\) ✓
Sık yapılan hata
\((2, 2)\) ve \((3, 3)\) ikililerini de sayıp \(11\) bulmak.
-
\(s(A \cup B) = 20\), \(s(A) = 12\) ve \(s(B) = 14\) olduğuna göre \(s\big((A \setminus B) \cup (B \setminus A)\big)\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A \cup B) = 20\)
- \(s(A) = 12\)
- \(s(B) = 14\)
Ne soruluyor?
Yalnız bir kümede bulunan eleman sayısı.
Çözüm
- \(s(A \cap B) = 12 + 14 - 20 = 6\)
→ Birleşim formülünden. - \(s(A \setminus B) = 12 - 6 = 6\), \(s(B \setminus A) = 14 - 6 = 8\)
→ Fark kümeleri. - \(6 + 8 = 14\)
→ Sonuç: \(14\).
Kontrol
Birleşim \(- \) kesişim: \(20 - 6 = 14\) ✓
Sık yapılan hata
Kesişimi (\(6\)) ya da \(s(B \setminus A) = 8\)'i cevap sanmak.
-
\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) kümesinin \(3\) elemanlı alt kümelerinden kaç tanesinin en büyük elemanı \(5\)'tir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
- Alt küme \(3\) elemanlı, en büyüğü \(5\)
Ne soruluyor?
Bu alt kümelerin sayısı.
Çözüm
- \(5\) alt kümede olmalı, \(6\) olmamalı
→ En büyük eleman \(5\). - Kalan \(2\) eleman \(\{1, 2, 3, 4\}\)'ten seçilir: \(\binom{4}{2} = 6\)
→ Seçim. - Cevap \(6\)
→ Sonuç: \(6\).
Kontrol
Liste: \(\{1,2,5\}, \{1,3,5\}, \{1,4,5\}, \{2,3,5\}, \{2,4,5\}, \{3,4,5\}\) ✓
Sık yapılan hata
\(6\)'yı dışarıda bırakmayı unutup \(\binom{5}{2} = 10\) bulmak.
-
\(60\) öğrencili bir okulda \(35\) öğrenci yüzme, \(28\) öğrenci satranç kursuna gidiyor. Bazı öğrenciler hiçbir kursa gitmiyor olabilir. Her iki kursa birden giden öğrenci sayısı en az kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Toplam \(60\)
- Yüzme \(35\), satranç \(28\)
Ne soruluyor?
Kesişimin en küçük değeri.
Çözüm
- \(s(Y \cup S) = 35 + 28 - x = 63 - x\)
→ Birleşim formülü. - Birleşim okuldaki öğrenci sayısını aşamaz: \(63 - x \le 60\) → \(x \ge 3\)
→ Eşitsizlik. - En az \(3\) öğrenci
→ Sonuç: \(3\).
Kontrol
\(x = 3\): \(60\) öğrencinin hepsi en az bir kursta ✓
Sık yapılan hata
Kesişimin en az \(0\) olabileceğini düşünmek; \(35 + 28 = 63 \gt 60\) olduğundan çakışma zorunlu.
-
\(A = \{x \mid x\) tam sayı ve \(-2 \le x \lt 4\}\) ve \(B = \{2k \mid k \in A\}\) olduğuna göre \(s(A \cup B)\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}\)
- \(B\): \(A\)'nın elemanlarının \(2\) katları
Ne soruluyor?
\(s(A \cup B)\).
Çözüm
- \(B = \{-4, -2, 0, 2, 4, 6\}\)
→ Her elemanı \(2\) ile çarp. - \(A \cap B = \{-2, 0, 2\}\) → \(s(A \cap B) = 3\)
→ Ortak elemanlar. - \(s(A \cup B) = 6 + 6 - 3 = 9\)
→ Sonuç: \(9\).
Kontrol
\(A \cup B = \{-4, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 6\}\) → \(9\) eleman ✓
Sık yapılan hata
Ortak elemanları iki kez sayıp \(12\) bulmak.