KPSS EBOB ve EKOK Testi 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 18 dk
- Zorluk
- Orta
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(36\) ile \(60\) sayılarının en büyük ortak böleni (EBOB) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayılar: \(36\) ve \(60\)
Ne soruluyor?
İki sayıyı da tam bölen en büyük sayı kaçtır?
Çözüm
- \(36 = 2^2 \cdot 3^2\)
→ \(36 = 4 \cdot 9\) olarak asal çarpanlarına ayrıldı. - \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\)
→ \(60 = 4 \cdot 3 \cdot 5\). - Ortak asal çarpanlar: \(2\) ve \(3\). Her birinin küçük üssü alınır: \(2^2\) ve \(3^1\).
→ EBOB, iki sayıda da bulunan çarpanlardan oluşur; üs büyük seçilirse sayılardan biri o çarpanı taşıyamaz. - EBOB \(= 2^2 \cdot 3 = 12\)
→ \(5\) yalnızca \(60\)'ta var, EBOB'a girmez.
Kontrol
\(36 \div 12 = 3\) ve \(60 \div 12 = 5\) ✓ Bölümler \(3\) ile \(5\) aralarında asal olduğu için daha büyük bir ortak bölen yoktur ✓
Sık yapılan hata
Üslerin büyüğünü almak \(180\)'i verir — o sayı EKOK'tur. Ortak bölen olan \(6\)'yı bulup durmak da sık görülür; \(6\) ortak bölendir ama en büyüğü değildir.
-
İki doğal sayının EBOB'u \(6\), EKOK'u \(72\)'dir. Sayılardan biri \(18\) olduğuna göre diğeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- EBOB \(= 6\)
- EKOK \(= 72\)
- Sayılardan biri \(18\)
Ne soruluyor?
Diğer sayı kaçtır?
Çözüm
- İki sayı için her zaman: \(a \cdot b = \) EBOB \(\cdot\) EKOK
→ EBOB ortak çarpanları, EKOK ise bütün çarpanları bir kez taşır; ikisinin çarpımı sayıların çarpımına eşittir. - \(18 \cdot b = 6 \cdot 72 = 432\)
→ Verilenler yerine yazıldı. - \(b = 432 \div 18 = 24\)
→ Bölme yapıldı.
Kontrol
EBOB\((18, 24)\): \(18 = 2 \cdot 3^2\), \(24 = 2^3 \cdot 3\) → \(2 \cdot 3 = 6\) ✓ EKOK: \(2^3 \cdot 3^2 = 72\) ✓
Sık yapılan hata
Bağıntıyı unutup EKOK'u \(18\)'e bölmek \(4\) verir; ama EBOB\((18, 4) = 2\) olur, \(6\) değil.
-
İki otobüsten biri durağa \(12\) dakikada bir, diğeri \(16\) dakikada bir uğruyor. İki otobüs saat 09.00'da durağa birlikte uğradığına göre, bir sonraki birlikte uğrayışları saat kaçtadır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Birinci otobüs: \(12\) dakikada bir
- İkinci otobüs: \(16\) dakikada bir
- Birlikte uğrama: 09.00
Ne soruluyor?
Bir sonraki birlikte uğrama saati?
Çözüm
- Birinci otobüsün uğradığı anlar \(12\)'nin katları, ikincininkiler \(16\)'nın katlarıdır.
→ "Aynı anda olma" soruları ortak kat sorusudur. - \(12 = 2^2 \cdot 3\), \(16 = 2^4\) → EKOK \(= 2^4 \cdot 3 = 48\)
→ İlk ortak an, en küçük ortak kattır. - 09.00 \(+ 48\) dakika \(=\) 09.48
→ Saate eklendi.
Kontrol
\(48 \div 12 = 4\) (birinci otobüsün 4. gelişi), \(48 \div 16 = 3\) (ikincinin 3. gelişi) ✓ Daha önceki anlarda (\(12, 24, 36\)) ikinci otobüs yok ✓
Sık yapılan hata
Süreleri toplamak 09.28, çarpmak (\(192\) dk) 12.12 verir. EBOB'u (\(4\)) almak ise 09.04 verir — "birlikte" olmak ortak kat ister, ortak bölen değil.
-
Boyutları \(180\) cm ve \(240\) cm olan dikdörtgen biçimli bir zemin, hiç kesilmeden ve arada boşluk kalmadan birbirinin aynısı kare fayanslarla kaplanacaktır. Bu iş için en az kaç fayans gerekir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Zemin: \(180 \times 240\) cm
- Fayanslar kare ve eş
- Kesme ve boşluk yok
Ne soruluyor?
En az kaç fayans kullanılır?
Çözüm
- Fayansın kenarı hem \(180\)'i hem \(240\)'ı tam bölmeli.
→ Kesme olmadığı için her kenar boyunca tam sayıda fayans sığmalı → ortak bölen. - "En az fayans" → fayans en büyük olmalı → EBOB
→ Fayans büyüdükçe sayısı azalır. - \(180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5\), \(240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5\) → EBOB \(= 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60\) cm
→ Küçük üsler alındı. - Kısa kenar boyunca \(180 \div 60 = 3\), uzun kenar boyunca \(240 \div 60 = 4\) fayans
→ Her kenara kaç fayans sığdığı. - Toplam \(3 \cdot 4 = 12\) fayans
→ Satır sayısı \(\times\) sütun sayısı.
Kontrol
Alan kontrolü: \(180 \cdot 240 = 43200\), bir fayans \(60 \cdot 60 = 3600\); \(43200 \div 3600 = 12\) ✓
Sık yapılan hata
Kenarların toplamını (\(3 + 4 = 7\)) sayı sanmak ya da yalnızca bir kenarı hesaplamak. Fayans sayısı bir alan sorusudur; iki sayı çarpılır.
-
Kenar uzunlukları \(60\) m ve \(84\) m olan dikdörtgen biçimli bir bahçenin çevresine, her köşeye birer ağaç gelecek şekilde ve ağaçlar arasındaki uzaklıklar eşit olacak biçimde ağaç dikilecektir. Buna göre en az kaç ağaç gerekir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Bahçe: \(60 \times 84\) m
- Her köşede ağaç var
- Aralıklar eşit
Ne soruluyor?
En az kaç ağaç dikilir?
Çözüm
- Köşelere ağaç geldiği için aralık hem \(60\)'ı hem \(84\)'ü tam bölmeli.
→ Aksi hâlde bir kenarın sonunda köşeye ağaç denk gelmez. - "En az ağaç" → aralık en büyük → EBOB\((60, 84)\)
→ Aralık büyüdükçe ağaç sayısı azalır. - \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\) → EBOB \(= 12\) m
→ Ortak çarpanlar \(2^2\) ve \(3\). - Çevre \(= 2 \cdot (60 + 84) = 288\) m
→ Ağaçlar çevre boyunca dikiliyor. - Ağaç sayısı \(= 288 \div 12 = 24\)
→ Kapalı bir çizgide (çevrede) ağaç sayısı aralık sayısına eşittir.
Kontrol
Kısa kenarda \(60 \div 12 = 5\), uzun kenarda \(84 \div 12 = 7\) aralık var. Toplam aralık \(2 \cdot (5 + 7) = 24\); kapalı çizgide her aralığa bir ağaç düşer ✓
Sık yapılan hata
Aralık uzunluğunu (\(12\)) ağaç sayısı sanmak. Çevreyi açık bir çizgi gibi düşünüp \(1\) eklemek \(25\) verir; her kenarı ayrı ayrı sayıp (\(6\) ve \(8\) ağaç) köşeleri iki kez saymak ise \(2 \cdot (6 + 8) = 28\) verir. Kapalı çevrede ağaç sayısı \(=\) aralık sayısı.
-
\(4\), \(6\) ve \(9\) ile bölündüğünde her seferinde \(1\) kalanını veren, \(1\)'den büyük en küçük doğal sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayı \(4\), \(6\) ve \(9\)'a bölünüyor
- Her bölmede kalan \(1\)
- Sayı \(1\)'den büyük
Ne soruluyor?
En küçük böyle sayı kaçtır?
Çözüm
- Sayıya \(n\) diyelim. Kalan hep \(1\) ise \(n - 1\) üç sayıya da tam bölünür.
→ Kalanı çıkarınca bölünebilen kısım kalır. - \(n - 1\), \(4\), \(6\) ve \(9\)'un ortak katıdır.
→ Ortak kat → EKOK ile başlanır. - \(4 = 2^2\), \(6 = 2 \cdot 3\), \(9 = 3^2\) → EKOK \(= 2^2 \cdot 3^2 = 36\)
→ Büyük üsler alındı. - \(n - 1 \in \{0,\ 36,\ 72,\ \dots\}\) → \(n \in \{1,\ 37,\ 73,\ \dots\}\)
→ \(n = 1\) koşulu sağlamıyor (\(1\)'den büyük olmalı). - En küçük uygun sayı \(n = 37\)
→ İkinci eleman seçildi.
Kontrol
\(37 = 4 \cdot 9 + 1\) ✓ \(37 = 6 \cdot 6 + 1\) ✓ \(37 = 9 \cdot 4 + 1\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca iki sayının EKOK'unu alıp üçüncüyü unutmak: \(4\) ve \(6\) için \(12 + 1 = 13\), \(6\) ve \(9\) için \(18 + 1 = 19\) çıkar; ikisi de \(9\) (ya da \(4\)) koşulunu bozar. Sayıları çarpıp \(4 \cdot 6 = 24\) almak \(25\)'i verir.
-
Üç lambadan biri \(6\) saniyede bir, biri \(8\) saniyede bir, diğeri \(10\) saniyede bir yanıyor. Üç lamba aynı anda yandıktan sonraki \(10\) dakika içinde üçü birlikte kaç kez daha yanar?
Çözümü Göster
Verilenler
- Yanma aralıkları: \(6\), \(8\) ve \(10\) saniye
- Başlangıçta üçü birlikte yandı
- Süre: \(10\) dakika
Ne soruluyor?
Başlangıç hariç kaç kez daha birlikte yanarlar?
Çözüm
- \(6 = 2 \cdot 3\), \(8 = 2^3\), \(10 = 2 \cdot 5\) → EKOK \(= 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120\) saniye
→ Üçü birlikte her \(120\) saniyede bir yanar. - \(10\) dakika \(= 600\) saniye
→ Birimler eşitlendi. - Birlikte yanma anları: \(120,\ 240,\ 360,\ 480,\ 600\)
→ \(600 \div 120 = 5\). - Başlangıç anı (\(0\). saniye) sayılmadığı için cevap \(5\)
→ Soru "kaç kez daha" diyor.
Kontrol
\(600\). saniye \(10\) dakikanın içinde (son an). \(120\) saniye \(6\)'ya (\(20\)), \(8\)'e (\(15\)) ve \(10\)'a (\(12\)) bölünür ✓
Sık yapılan hata
Başlangıç anını da sayıp \(6\) demek. Dakikayı saniyeye çevirmeden \(10\)'u \(120\)'ye bölmeye çalışmak da sık yapılan bir birim hatasıdır.
-
Ali dairesel bir pistin bir turunu \(45\) saniyede, Veli ise \(60\) saniyede koşuyor. İkisi başlangıç noktasından aynı anda ve aynı yönde koşmaya başlıyor. İkisi başlangıç noktasında ilk kez yeniden yan yana geldiğinde Ali kaç tur atmış olur?
Çözümü Göster
Verilenler
- Ali: turu \(45\) saniyede
- Veli: turu \(60\) saniyede
- Aynı anda, aynı yerden çıkıyorlar
Ne soruluyor?
Başlangıçta ilk buluştuklarında Ali kaç tur atmıştır?
Çözüm
- Ali başlangıç noktasına \(45\)'in katı olan saniyelerde, Veli \(60\)'ın katı olan saniyelerde gelir.
→ Başlangıçta buluşmak, iki sürenin ortak katı demek. - \(45 = 3^2 \cdot 5\), \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\) → EKOK \(= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180\) saniye
→ İlk buluşma en küçük ortak katta. - Ali'nin tur sayısı: \(180 \div 45 = 4\)
→ Geçen süre, bir tur süresine bölündü.
Kontrol
Veli \(180 \div 60 = 3\) tur atmıştır; ikisi de tam turda, yani başlangıç noktasındadır ✓ Daha önce Ali \(45, 90, 135\). saniyelerde başlangıçtadır ama Veli o anlarda orada değildir ✓
Sık yapılan hata
Veli'nin tur sayısını (\(3\)) Ali'ninki sanmak. Hızlı koşan daha kısa sürede tur attığı için daha fazla tur atar.
-
\(5\) ile bölündüğünde \(3\), \(6\) ile bölündüğünde \(4\) ve \(8\) ile bölündüğünde \(6\) kalanını veren en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(n\) sayısı \(5\)'e bölününce kalan \(3\)
- \(6\)'ya bölününce kalan \(4\)
- \(8\)'e bölününce kalan \(6\)
Ne soruluyor?
En küçük pozitif \(n\) kaçtır?
Çözüm
- Her durumda bölen ile kalan arasındaki farka bakalım: \(5 - 3 = 2\), \(6 - 4 = 2\), \(8 - 6 = 2\)
→ Kalanlar farklı ama eksik kalan hep aynı: \(2\). - Sayıya \(2\) eklenirse her bölmede bir grup tamamlanır: \(n + 2\), \(5\), \(6\) ve \(8\)'e tam bölünür.
→ Örneğin \(5\)'e bölünüp \(3\) kalan bir sayıya \(2\) eklemek kalanı \(5\)'e, yani \(0\)'a çıkarır. - \(5\), \(6 = 2 \cdot 3\), \(8 = 2^3\) → EKOK \(= 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120\)
→ Büyük üsler alındı. - \(n + 2 = 120\) → \(n = 118\)
→ En küçük pozitif ortak kat kullanıldı.
Kontrol
\(118 = 5 \cdot 23 + 3\) ✓ \(118 = 6 \cdot 19 + 4\) ✓ \(118 = 8 \cdot 14 + 6\) ✓
Sık yapılan hata
Farkı eklemek yerine çıkarmak \(122\)'yi verir: \(122 \div 5\) işleminde kalan \(2\)'dir, \(3\) değil. EKOK'un kendisini (\(120\)) cevap sanmak da sık görülür; \(120\) üç sayıya da tam bölünür, kalan vermez.
-
Bir sınıftaki öğrenciler \(6\)'şarlı gruplara ayrıldığında \(2\) öğrenci, \(8\)'erli gruplara ayrıldığında \(4\) öğrenci açıkta kalıyor. Sınıf mevcudu \(50\)'den fazla, \(70\)'ten az olduğuna göre sınıfta kaç öğrenci vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(6\)'şarlı gruplarda \(2\) kişi artıyor
- \(8\)'erli gruplarda \(4\) kişi artıyor
- \(50 \lt n \lt 70\)
Ne soruluyor?
Sınıf mevcudu kaçtır?
Çözüm
- Eksik kalanlara bakalım: \(6 - 2 = 4\), \(8 - 4 = 4\)
→ İki durumda da bir grubu tamamlamak için \(4\) öğrenci eksik. - Sınıfa \(4\) öğrenci gelse iki gruplama da tam olurdu: \(n + 4\), \(6\)'ya ve \(8\)'e tam bölünür.
→ Sabit fark yöntemi. - EKOK\((6, 8) = 24\) → \(n + 4 \in \{24,\ 48,\ 72,\ 96,\ \dots\}\)
→ \(6 = 2 \cdot 3\), \(8 = 2^3\) → \(2^3 \cdot 3\). - \(n \in \{20,\ 44,\ 68,\ 92,\ \dots\}\)
→ Her birinden \(4\) çıkarıldı. - \(50 \lt n \lt 70\) aralığındaki tek değer: \(n = 68\)
→ \(44\) aralığın altında, \(92\) üstünde kalır.
Kontrol
\(68 = 6 \cdot 11 + 2\) ✓ \(68 = 8 \cdot 8 + 4\) ✓ \(50 \lt 68 \lt 70\) ✓
Sık yapılan hata
Aralık koşulunu okumadan listedeki ilk uygun sayıyı (\(44\)) seçmek. \(4\) eklemek yerine \(4\) çıkarmak ise \(n - 4 = 48\) → \(52\) verir; \(52\), \(6\)'ya bölününce \(4\) kalanını verir, \(2\) değil.