KPSS Bölme ve Bölünebilme Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(A\) doğal sayısı \(B\) doğal sayısına bölündüğünde kalan \(5\)'tir. \(3A\) sayısı \(B\)'ye bölündüğünde ise kalan \(3\) oluyor. Buna göre \(B\)'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = B \cdot q + 5\)
- \(3A\) sayısının \(B\) ile kalanı \(3\)
Ne soruluyor?
\(B\)'nin değerlerinin toplamı?
Çözüm
- Kalan \(5\) olduğundan \(B \gt 5\).
→ Kalan bölenden küçük olmalı. - \(3A = B \cdot 3q + 15\) → \(3A\)'nın kalanı, \(15\)'in \(B\) ile kalanıdır.
→ - \(15\)'in \(B\) ile kalanı \(3\) → \(B\), \(15 - 3 = 12\)'yi böler ve \(B \gt 3\)
→ - \(12\)'nin \(5\)'ten büyük bölenleri: \(6\) ve \(12\) → toplam \(18\)
→ Sonuç \(18\).
Kontrol
\(B = 6\): \(A = 11\), \(3A = 33 = 6 \cdot 5 + 3\) ✓ \(B = 12\): \(A = 17\), \(3A = 51 = 12 \cdot 4 + 3\) ✓
Sık yapılan hata
\(B \gt 5\) şartını unutup \(12\)'nin \(4\) ve \(3\) gibi bölenlerini de katmak ya da yalnızca \(12\)'yi bulmak.
-
\(3ab5\) dört basamaklı sayısı \(99\) ile tam bölünebildiğine göre \(a \cdot b\) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(3ab5\) sayısı \(99 = 9 \cdot 11\) ile bölünüyor
Ne soruluyor?
\(a \cdot b\) kaçtır?
Çözüm
- \(9\): \(3 + a + b + 5 = 8 + a + b\) → \(a + b = 1\) ya da \(a + b = 10\)
→ \(a + b \le 18\). - \(11\): \(+5 - b + a - 3 = a - b + 2\) → \(a - b = -2\) ya da \(a - b = 9\)
→ \(11\)'in katı olmalı. - Uyumlu tek durum: \(a + b = 10\), \(a - b = -2\) → \(a = 4\), \(b = 6\)
→ Diğer eşleşmeler tam sayı ya da rakam vermez. - \(a \cdot b = 24\)
→ Sonuç \(24\).
Kontrol
\(3465 = 99 \cdot 35\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca \(9\) kuralını kullanıp \(a + b = 10\) olan herhangi bir ikiliyi seçmek (örneğin \(5 \cdot 5 = 25\) ya da \(3 \cdot 7 = 21\)); \(11\) koşulu da sağlanmalı.
-
Binler basamağı \(a\), yüzler basamağı \(1\), onlar basamağı \(b\) ve birler basamağı \(4\) olan dört basamaklı \(a1b4\) sayılarından kaç tanesi \(36\)'nın katıdır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a1b4\) sayısı \(36 = 4 \cdot 9\) ile bölünüyor
- \(a \ne 0\)
Ne soruluyor?
Kaç sayı vardır?
Çözüm
- \(4\): son iki basamak \(b4\) sayısı \(4\)'e bölünmeli → \(b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}\)
→ \(04, 24, 44, 64, 84\). - \(9\): \(a + 1 + b + 4 = a + b + 5\) → \(a + b = 4\) ya da \(a + b = 13\)
→ - \(b = 0\): \(a = 4\); \(b = 2\): \(a = 2\); \(b = 4\): \(a = 9\) (\(a = 0\) olmaz); \(b = 6\): \(a = 7\); \(b = 8\): \(a = 5\)
→ Her \(b\) için bir \(a\). - Toplam \(5\) sayı
→ Cevap \(5\).
Kontrol
\(4104 = 36 \cdot 114\) ✓ \(9144 = 36 \cdot 254\) ✓
Sık yapılan hata
\(a + b = 13\) durumunu unutmak ya da \(b = 4\) için \(a = 0\)'ı kabul etmek.
-
\(n\) doğal sayısının \(3\) ile bölümünden kalan \(2\), \(5\) ile bölümünden kalan \(3\)'tür. Buna göre \(n^2\) sayısının \(15\) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(n\) → \(3\) ile kalan \(2\)
- \(n\) → \(5\) ile kalan \(3\)
Ne soruluyor?
\(n^2\) sayısının \(15\) ile kalanı?
Çözüm
- \(5\) ile kalanı \(3\) olanlar: \(3, 8, 13, \dots\); bunlardan \(3\) ile kalanı \(2\) olan ilk sayı \(8\).
→ - \(n = 15k + 8\) → \(n\)'nin \(15\) ile kalanı \(8\)
→ \(\text{EKOK}(3, 5) = 15\). - \(n^2\)'nin kalanı \(= 8^2 = 64\)'ün kalanı: \(64 = 15 \cdot 4 + 4\)
→ Sonuç \(4\).
Kontrol
\(n = 23\): \(529 = 15 \cdot 35 + 4\) ✓
Sık yapılan hata
Kalanların çarpımını (\(2 \cdot 3 = 6\)) ya da karelerinin toplamını kullanmak; önce \(n\)'nin \(15\) ile kalanı bulunmalı.
-
\(a\), \(b\) ve \(c\) rakamlar ve \(a \ne 0\) olmak üzere altı basamaklı \(abcabc\) sayısı aşağıdakilerden hangisine kesinlikle tam bölünür?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(abcabc\) altı basamaklı
Ne soruluyor?
Hangisine her zaman bölünür?
Çözüm
- \(abcabc = abc \cdot 1000 + abc\)
→ İlk üç rakam \(1000\) ile çarpılmış gibi. - \(= abc \cdot 1001\)
→ Ortak çarpan. - Bu sayı her zaman \(1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13\)'ün katıdır.
→ Cevap \(1001\). - \(101\), \(111\), \(1010\), \(17\) ise \(abc\)'ye bağlı; örneğin \(100100 = 100 \cdot 1001\) sayısı \(17\)'ye bölünmez.
→
Kontrol
\(123123 = 123 \cdot 1001\) ✓
Sık yapılan hata
Sayıyı \(abc \cdot 1000 + abc\) yerine \(abc \cdot 100 + abc\) diye yazıp \(101\) seçmek.
-
\(2^{2026}\) sayısı yazıldığında en sağdaki rakam, yani bu sayının \(10\)'a bölünmesiyle elde edilen kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2^{2026}\)
Ne soruluyor?
\(10\) ile bölümden kalan (birler basamağı)?
Çözüm
- \(10\) ile bölümden kalan, birler basamağındaki rakamdır.
→ - \(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\), \(2^4 = 16\), \(2^5 = 32\) → birler basamağı \(2, 4, 8, 6\) diye \(4\)'lü devreder.
→ - \(2026 = 4 \cdot 506 + 2\) → devrin \(2\). elemanı: \(4\)
→ Sonuç \(4\).
Kontrol
\(2^{2024} = (2^4)^{506} = 16^{506}\) birler basamağı \(6\); \(2^{2026} = 2^{2024} \cdot 4\) → \(6 \cdot 4 = 24\) → \(4\) ✓
Sık yapılan hata
Üssün \(4\) ile bölümünden kalanı \(2\) yerine \(1\) ya da \(3\) almak (\(2\) ya da \(8\) çıkar) veya kalanı \(0\) sanıp devrin son elemanı \(6\)'yı seçmek.
-
\(A\) doğal sayısı \(B\)'ye bölündüğünde bölüm \(12\), kalan \(9\)'dur. \(A + 50\) sayısı \(B\)'ye bölündüğünde ise bölüm \(16\), kalan \(3\)'tür. Buna göre \(A\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = 12B + 9\)
- \(A + 50 = 16B + 3\)
Ne soruluyor?
\(A\) kaçtır?
Çözüm
- İkinci eşitlikte \(A\) yerine yazalım: \(12B + 9 + 50 = 16B + 3\)
→ - \(12B + 59 = 16B + 3\) → \(4B = 56\) → \(B = 14\)
→ Kalanlar (\(9\) ve \(3\)) \(14\)'ten küçük ✓ - \(A = 12 \cdot 14 + 9 = 177\)
→ Sonuç \(177\).
Kontrol
\(177 = 14 \cdot 12 + 9\) ✓ \(227 = 14 \cdot 16 + 3\) ✓
Sık yapılan hata
Böleni (\(14\)) bulup orada durmak ya da \(A + 50\) değerini (\(227\)) cevap vermek.
-
\(1\)'den \(300\)'e kadar olan doğal sayılardan kaç tanesi \(2\), \(3\) ve \(5\) sayılarının hiçbirine tam bölünmez?
Çözümü Göster
Verilenler
- Aralık: \(1, \dots, 300\)
Ne soruluyor?
\(2\), \(3\), \(5\)'ten hiçbirine bölünmeyenlerin sayısı?
Çözüm
- \(300\), \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\)'un katıdır; \(1\)–\(300\) aralığı \(10\) tane \(30\)'luk bloktur.
→ Her blokta bölünebilme durumu aynı tekrar eder. - \(1\)–\(30\) arasında uygun sayılar: \(1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29\) → \(8\) tane
→ Tek, \(3\)'e ve \(5\)'e bölünmeyenler. - \(10 \cdot 8 = 80\)
→ Sonuç \(80\).
Kontrol
Diğer yol: \(300 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{5} = 80\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca \(2\), \(3\), \(5\)'in katlarını ayrı ayrı çıkarıp (\(300 - 150 - 100 - 60\)) ortak katları geri eklemeyi unutmak.
-
Bir bölme işleminde bölen \(5\) artırıldığında bölüm değişmiyor, kalan ise \(20\) azalıyor. Buna göre bu bölme işleminde bölüm kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Bölen \(B \to B + 5\)
- Bölüm \(q\) aynı
- Kalan \(r \to r - 20\)
Ne soruluyor?
Bölüm kaçtır?
Çözüm
- \(A = B \cdot q + r\) ve \(A = (B + 5) \cdot q + (r - 20)\)
→ Bölünen değişmedi. - \(Bq + r = Bq + 5q + r - 20\) → \(5q = 20\)
→ - \(q = 4\)
→ Sonuç \(4\).
Kontrol
Örnek: \(122 = 25 \cdot 4 + 22\) ve \(122 = 30 \cdot 4 + 2\) → kalan \(20\) azaldı ✓
Sık yapılan hata
Bölenin artışı ile kalanın azalışını karıştırıp bölümü \(20 - 5 = 15\) ya da \(20 + 5 = 25\) sanmak; doğru ilişki \(5 \cdot q = 20\) eşitliğidir.
-
Üç basamaklı bir doğal sayı \(25\)'e bölündüğünde bölüm, kalanın \(3\) katına eşit oluyor. Bu koşulu sağlayan en büyük sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Bölen \(25\)
- Bölüm \(= 3 \cdot\) kalan
- Sayı üç basamaklı
Ne soruluyor?
En büyük sayı?
Çözüm
- Kalan \(r\) ise bölüm \(3r\): sayı \(= 25 \cdot 3r + r = 76r\)
→ Bölme algoritması. - Üç basamaklı: \(76r \le 999\) → \(r \le 13\)
→ Ayrıca \(r \lt 25\) şartı zaten sağlanıyor. - \(r = 13\) → sayı \(76 \cdot 13 = 988\)
→ Sonuç \(988\).
Kontrol
\(988 = 25 \cdot 39 + 13\) ve \(39 = 3 \cdot 13\) ✓
Sık yapılan hata
Kalanın en fazla \(24\) olabileceğini düşünüp \(76 \cdot 24\) hesaplamak; bu dört basamaklı olur. Sayıyı \(75r\) alıp kalanı eklemeyi unutmak da sık hata.