KPSS Bölme ve Bölünebilme Testi 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 18 dk
- Zorluk
- Orta
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
Bir bölme işleminde bölen \(7\), bölüm \(13\) ve kalan \(5\)'tir. Buna göre bölünen kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Bölen \(= 7\)
- Bölüm \(= 13\)
- Kalan \(= 5\)
Ne soruluyor?
Bölünen kaçtır?
Çözüm
- Bölme algoritması: Bölünen \(=\) Bölen \(\times\) Bölüm \(+\) Kalan
→ Bölme işleminin dört parçası her zaman bu bağıntıyla birbirine bağlıdır. - Bölünen \(= 7 \cdot 13 + 5\)
→ Verilen değerler yerine yazıldı. - \(7 \cdot 13 = 91\)
→ Önce çarpma yapılır. - \(91 + 5 = 96\)
→ Kalan eklendi.
Kontrol
\(96\)'yı \(7\)'ye bölelim: \(96 = 7 \cdot 13 + 5\), bölüm \(13\) ve kalan \(5\) çıkıyor. Ayrıca \(0 \le 5 \lt 7\) olduğundan kalan geçerli ✓
Sık yapılan hata
Kalanı eklemeyi unutup \(91\) demek en yaygın hatadır. Kalanı çıkarmak \(86\), kalanı bölüme ekleyip çarpmak (\(7 \cdot 18\)) \(126\), kalanı bölene ekleyip çarpmak (\(12 \cdot 13\)) ise \(156\) verir.
-
\(56a\) üç basamaklı sayısının \(4\) ile tam bölünebilmesi için \(a\) yerine yazılabilecek en büyük rakam kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayı: \(56a\)
- \(0 \le a \le 9\)
- Sayı \(4\) ile tam bölünüyor
Ne soruluyor?
En büyük \(a\) kaçtır?
Çözüm
- \(4\) ile bölünebilme kuralı: son iki basamağın oluşturduğu sayı \(4\)'ün katı olmalı.
→ Baştaki \(5\) sonucu etkilemez, çünkü \(500\) sayısı \(4\)'e tam bölünür. - Son iki basamak: \(6a = 60 + a\)
→ İki basamaklı sayının çözümlenmesi. - \(a\) yerine sırayla yazalım: \(60,\ 61,\ 62,\ \dots,\ 69\)
→ On olasılık denenir. - \(4\)'ün katı olanlar: \(60,\ 64,\ 68\) → \(a \in \{0,\ 4,\ 8\}\)
→ \(60 = 4 \cdot 15\), \(64 = 4 \cdot 16\), \(68 = 4 \cdot 17\). - En büyüğü \(a = 8\)
→ Üç uygun rakamın en büyüğü seçildi.
Kontrol
\(568 \div 4 = 142\) ✓ Bir sonraki aday \(569\) tek sayıdır, \(4\)'e bölünemez ✓
Sık yapılan hata
Kuralı hiç uygulamayıp "en büyük rakam \(9\)'dur" demek. Yalnızca çift olmanın yeteceğini sanmak \(6\)'yı seçtirir; oysa \(566 \div 4\) işleminde kalan \(2\)'dir.
-
\(47a\) üç basamaklı sayısı hem \(2\) hem de \(5\) ile tam bölünebilmektedir. Buna göre \(a\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayı: \(47a\)
- \(0 \le a \le 9\)
- Sayı hem \(2\) hem \(5\) ile tam bölünüyor
Ne soruluyor?
\(a\) kaçtır?
Çözüm
- \(2\) ile bölünebilme: son rakam çift olmalı → \(a \in \{0,2,4,6,8\}\)
→ Yalnızca son rakama bakılır. - \(5\) ile bölünebilme: son rakam \(0\) veya \(5\) olmalı → \(a \in \{0,5\}\)
→ Yine yalnızca son rakama bakılır. - İki koşulu birlikte sağlayan tek rakam: \(a = 0\)
→ İki kümenin ortak elemanı yalnızca \(0\)'dır. - Sayı \(470\) olur.
→ Bulunan rakam yerine yazıldı.
Kontrol
\(470 \div 2 = 235\) ✓ ve \(470 \div 5 = 94\) ✓ — ikisi de tam bölünme ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca bir kuralı uygulayıp \(5\) ya da \(8\) demek. \(a\)'yı \(10\) almak da mümkün değildir: \(a\) bir rakamdır, \(9\)'u geçemez.
-
Bir doğal sayının \(7\) ile bölümünden kalan \(4\)'tür. Buna göre bu sayının \(3\) katının \(7\) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayıya \(n\) diyelim.
- \(n\)'nin \(7\) ile bölümünden kalan \(4\)
Ne soruluyor?
\(3n\) sayısının \(7\) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözüm
- \(n = 7k + 4\) yazabiliriz.
→ Bölme algoritması: bölünen \(=\) bölen \(\times\) bölüm \(+\) kalan. - \(3n = 3(7k+4) = 21k + 12\)
→ Her iki taraf \(3\) ile çarpıldı. - \(21k\) kısmı \(7\)'ye tam bölünür.
→ \(21 = 7 \cdot 3\) olduğundan bu terim kalanı etkilemez. - Geriye \(12\) kalıyor, ama \(12 \gt 7\).
→ Kalan bölenden küçük olmak zorundadır; işlem bitmedi. - \(12 = 7 \cdot 1 + 5\) → kalan \(5\)
→ \(12\) bir kez daha \(7\)'ye bölündü.
Kontrol
\(n = 11\) alalım: \(11 \div 7\) kalan \(4\) ✓. \(3 \cdot 11 = 33\) ve \(33 \div 7 = 4\) kalan \(5\) ✓ \(n = 18\) için de \(54 \div 7\) kalan \(5\) ✓ ✓
Sık yapılan hata
\(3 \cdot 4 = 12\) deyip durmak en yaygın hatadır; \(12\) geçerli bir kalan değildir çünkü bölenden büyüktür. \(12\)'yi \(7\)'ye bölüp bölümü (\(1\)) cevap sanmak da sık görülür. Kalanın hiç değişmediğini düşünmek \(4\) verir.
-
\(1000\) ile \(1100\) arasındaki sayılardan (bu sayılar dahil) kaç tanesi \(4\) ile tam bölünür?
Çözümü Göster
Verilenler
- Aralık: \(1000 \le n \le 1100\)
- \(n\) sayısı \(4\)'e tam bölünecek
Ne soruluyor?
Kaç sayı vardır?
Çözüm
- Aralıktaki ilk uygun sayı: \(1000\)'in son iki basamağı \(00\), \(4\)'ün katı ✓
→ \(1000 \div 4 = 250\), yani \(1000\) zaten uygun. - Son uygun sayı: \(1100\)'ün son iki basamağı \(00\) ✓
→ \(1100 \div 4 = 275\). - Uygun sayılar \(4\)'er artar: \(1000,\ 1004,\ 1008,\ \dots,\ 1100\)
→ Bir katı bulduktan sonra bölen kadar ilerlenir. - Terim sayısı \(= \dfrac{1100 - 1000}{4} + 1 = \dfrac{100}{4} + 1 = 25 + 1 = 26\)
→ Adımı \(4\) olan dizide terim sayısı, farkın adıma bölümünün bir fazlasıdır.
Kontrol
Başka yoldan: \(1100 \div 4 = 275\) ve \(999 \div 4 = 249\) (tam kısım). \(275 - 249 = 26\) ✓ İki yöntem de \(26\) veriyor ✓
Sık yapılan hata
Terim sayısında \(+1\)'i unutup \(25\) demek en yaygın hatadır. Aralığın uzunluğunu \(2\)'ye bölüp \(50\) demek ise \(2\) ile \(4\) kuralını karıştırmaktır.
-
\(a12b\) dört basamaklı sayısı hem \(4\) hem \(9\) ile tam bölünebilmektedir. Buna göre \(a+b\) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayı: \(a12b\)
- \(1 \le a \le 9\), \(0 \le b \le 9\)
- Sayı hem \(4\) hem \(9\) ile tam bölünüyor
Ne soruluyor?
\(a+b\) en küçük kaç olabilir?
Çözüm
- \(4\) koşulu: son iki basamak \(2b\), yani \(20+b\) sayısı \(4\)'ün katı olmalı.
→ \(4\) kuralı son iki basamağa bakar. - \(20,\ 24,\ 28\) uygundur → \(b \in \{0,\ 4,\ 8\}\)
→ \(21,22,23,25,26,27,29\) sayılarında kalan sıfır değil. - \(9\) koşulu: \(a + 1 + 2 + b = a+b+3\) sayısı \(9\)'un katı olmalı.
→ \(9\) kuralı rakamlar toplamına bakar. - \(a+b+3 \in \{9,\ 18\}\) → \(a+b \in \{6,\ 15\}\)
→ \(a+b\) en fazla \(18\) olabileceği için başka seçenek yok. - \(a+b = 6\) mümkün mü? \(b = 0 \Rightarrow a = 6\) ✓ ve \(b = 4 \Rightarrow a = 2\) ✓
→ Her iki durumda da \(a\) geçerli bir rakam ve \(a \ne 0\). - En küçük değer \(= 6\)
→ \(6 \lt 15\).
Kontrol
\(6120 \div 4 = 1530\) ✓ ve \(6120 \div 9 = 680\) ✓; \(2124 \div 4 = 531\) ✓ ve \(2124 \div 9 = 236\) ✓ — ikisinde de \(a+b = 6\) ✓
Sık yapılan hata
\(9\) yerine \(3\) kuralı uygulayıp \(a+b+3\)'ü \(3\)'ün katı yapmak. Büyük çözümü (\(15\)) seçmek ya da rakamlar toplamını (\(9\), \(18\)) cevap sanmak da yaygındır.
-
\(52a1\) dört basamaklı sayısı \(11\) ile tam bölünebilmektedir. Buna göre \(a\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayı: \(52a1\)
- \(0 \le a \le 9\)
- Sayı \(11\) ile tam bölünüyor
Ne soruluyor?
\(a\) kaçtır?
Çözüm
- \(11\) kuralı: rakamları sağdan başlayarak bir artı bir eksi işaretleyip topla; sonuç \(11\)'in katı (\(0\) dahil) olmalı.
→ İşaretleme yönü değişse bile sonucun yalnızca işareti değişir, \(11\)'in katı olma durumu değişmez. - Sağdan: \(1\ (+),\ a\ (-),\ 2\ (+),\ 5\ (-)\)
→ Rakamlar sırayla işaretlendi. - Toplam \(= 1 - a + 2 - 5 = -a - 2\)
→ İşaretli toplam hesaplandı. - \(-a-2\) sayısı \(11\)'in katı olmalı. \(a\) en fazla \(9\) olduğundan \(-a-2\) değeri \(-2\) ile \(-11\) arasındadır.
→ Aralıktaki tek \(11\) katı \(-11\)'dir. - \(-a-2 = -11 \Rightarrow a = 9\)
→ Denklem çözüldü.
Kontrol
Sayı \(5291\) olur; \(5291 \div 11 = 481\) — tam bölündü ✓
Sık yapılan hata
Basamakları yanlış gruplamak: \((5+2)-(a+1) = 0\) denirse \(a = 6\) çıkar. Rakamlar toplamını \(11\)'in katı yapmaya çalışmak (\(5+2+a+1 = 11\)) ise \(a = 3\) verir. Her ikisi de yanlıştır.
-
Bir bölme işleminde bölünen \(247\), bölüm \(17\) ve kalan \(9\)'dur. Buna göre bölen kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Bölünen \(= 247\)
- Bölüm \(= 17\)
- Kalan \(= 9\)
Ne soruluyor?
Bölen kaçtır?
Çözüm
- Bölünen \(=\) Bölen \(\times\) Bölüm \(+\) Kalan
→ Bölme algoritması. - \(247 = \text{Bölen} \cdot 17 + 9\)
→ Bilinen değerler yerine yazıldı. - \(247 - 9 = 238\)
→ Kalan karşı tarafa atıldı. - \(\text{Bölen} = \dfrac{238}{17} = 14\)
→ Her iki taraf \(17\)'ye bölündü. - Kontrol: \(0 \le 9 \lt 14\) ✓
→ Kalan bölenden küçük olmalı — bu şart sağlanmasaydı sonuç geçersiz olurdu.
Kontrol
\(14 \cdot 17 + 9 = 238 + 9 = 247\) ✓ ✓
Sık yapılan hata
Kalanı çıkarmak yerine eklemek: \(247 + 9 = 256\) ve \(256 \div 16 = 16\) çıkar — sayı temiz göründüğü için fark edilmez. Bölümü cevap sanmak \(17\), ara sonuçta durmak \(238\), \(247 \div 17 \approx 14{,}5\) deyip yuvarlamak ise \(15\) verir.
-
Üç basamaklı \(a5b\) sayısı hem \(3\) hem \(5\) ile tam bölünebilmektedir. Bu koşulu sağlayan kaç farklı sayı vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayı: \(a5b\)
- \(1 \le a \le 9\), \(0 \le b \le 9\)
- Sayı hem \(3\) hem \(5\) ile tam bölünüyor
Ne soruluyor?
Kaç farklı sayı vardır?
Çözüm
- \(5\) koşulu: son rakam \(0\) veya \(5\) → \(b \in \{0,\ 5\}\)
→ İki durumu ayrı ayrı incelemek gerekiyor. - Durum 1 — \(b = 0\): rakamlar toplamı \(a + 5 + 0 = a+5\), bu \(3\)'ün katı olmalı.
→ \(3\) kuralı uygulandı. - \(a+5 \in \{6,\ 9,\ 12\} \Rightarrow a \in \{1,\ 4,\ 7\}\) → \(3\) sayı
→ \(a\) en az \(1\), en fazla \(9\). - Durum 2 — \(b = 5\): rakamlar toplamı \(a + 10\), bu \(3\)'ün katı olmalı.
→ İkinci durum için kural yeniden uygulandı. - \(a+10 \in \{12,\ 15,\ 18\} \Rightarrow a \in \{2,\ 5,\ 8\}\) → \(3\) sayı
→ Yine üç geçerli rakam. - Toplam \(3 + 3 = 6\) farklı sayı
→ İki durum birbirinden ayrı; sayılar toplanır.
Kontrol
Sayılar: \(150,\ 255,\ 450,\ 555,\ 750,\ 855\). Hepsi hem \(3\)'e hem \(5\)'e bölünüyor — örneğin \(255 \div 3 = 85\) ve \(255 \div 5 = 51\) ✓ Tam \(6\) tane ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca bir \(b\) değerini deneyip \(3\) demek. Her iki durum da incelenmelidir. \(a\) için dokuz değerin hepsini uygun sanmak \(9\), bunu iki durumla çarpmak ise \(18\) verir.
-
İki basamaklı bir doğal sayının \(9\) ile bölümünden kalan \(4\), \(4\) ile bölümünden kalan \(1\)'dir. Bu koşulları sağlayan en büyük sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayı iki basamaklı
- \(9\) ile bölümünden kalan \(4\)
- \(4\) ile bölümünden kalan \(1\)
Ne soruluyor?
Koşulları sağlayan en büyük sayı kaçtır?
Çözüm
- Önce tek bir koşulu sağlayanları listeleyelim; daha az aday veren koşulu seçmek işi kısaltır.
→ \(9\) ile bölümünden kalan \(4\) olan iki basamaklı sayılar daha azdır. - \(9k + 4\) biçiminde iki basamaklı sayılar: \(13,\ 22,\ 31,\ 40,\ 49,\ 58,\ 67,\ 76,\ 85,\ 94\)
→ \(k = 1\)'den başlayarak \(99\)'u geçmeyene kadar. - Şimdi bunlardan hangilerinin \(4\) ile bölümünden kalan \(1\) olduğuna bakalım.
→ İkinci koşul yalnızca bu on sayı üzerinde denenir. - \(13 = 4 \cdot 3 + 1\) ✓, \(22\) kalan \(2\) ✗, \(31\) kalan \(3\) ✗, \(40\) kalan \(0\) ✗, \(49 = 4 \cdot 12 + 1\) ✓
→ Tek tek kontrol edildi. - \(58\) kalan \(2\) ✗, \(67\) kalan \(3\) ✗, \(76\) kalan \(0\) ✗, \(85 = 4 \cdot 21 + 1\) ✓, \(94\) kalan \(2\) ✗
→ Listenin kalanı da tarandı. - Uygun sayılar: \(13,\ 49,\ 85\) → en büyüğü \(85\)
→ Üç çözüm bulundu, en büyüğü seçildi.
Kontrol
\(85 \div 9 = 9\) kalan \(4\) ✓ ve \(85 \div 4 = 21\) kalan \(1\) ✓ Ayrıca uygun sayılar \(36\)'şar artıyor: \(13,\ 49,\ 85\) — bir sonraki \(121\) olurdu ve iki basamaklı değil ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca ilk çözümde durup \(13\) demek. \(40\) ve \(76\) sayıları birinci koşulu sağlıyor ama \(4\)'e tam bölündükleri için kalan \(0\)'dır — ikinci koşulu sağlamazlar. Ara çözümü (\(49\)) seçmek de yaygındır.