KPSS Bölme ve Bölünebilme Çok Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 30 dk
- Zorluk
- Çok zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(x\) sayısının \(7\) ile bölümünden kalan \(3\), \(y\) sayısının \(7\) ile bölümünden kalan \(5\)'tir. Buna göre \(x^3 + x \cdot y^2\) ifadesinin \(7\) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x = 7k + 3\)
- \(y = 7m + 5\)
Ne soruluyor?
\(x^3 + x y^2\) ifadesinin \(7\)'ye bölümünden kalan?
Çözüm
- Kalan hesabında sayıların yerine kalanları yazılabilir: \(x \to 3\), \(y \to 5\)
→ Toplama ve çarpmada kalanlar korunur. - \(3^3 + 3 \cdot 5^2 = 27 + 75 = 102\)
→ Kalanlarla hesap. - \(102 = 7 \cdot 14 + 4\) → kalan \(4\)
→ Son bölme.
Kontrol
\(x = 10, y = 12\) için \(1000 + 1440 = 2440 = 7 \cdot 348 + 4\) ✓
Sık yapılan hata
Ara sonucu (\(102\)) yeniden \(7\)'ye bölmeyi unutmak ya da \(y^2\) yerine \(2y\) kullanmak.
-
Beş basamaklı \(7a4b8\) sayısı \(72\) ile tam bölünebildiğine göre \(a + b\) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(7a4b8\) sayısı \(72\)'ye bölünüyor
Ne soruluyor?
\(a + b\) en fazla kaçtır?
Çözüm
- \(72 = 8 \cdot 9\) ve \(8\) ile \(9\) aralarında asal → sayı hem \(8\)'e hem \(9\)'a bölünmeli.
→ Aralarında asal çarpanlara ayırma. - \(8\) kuralı: \(4b8 = 408 + 10b\) sayısı \(8\)'e bölünmeli; \(408 = 8 \cdot 51\) → \(10b\) de \(8\)'e bölünmeli → \(b \in \{0, 4, 8\}\)
→ Son üç basamak. - \(9\) kuralı: \(7 + a + 4 + b + 8 = 19 + a + b\) → \(a + b \in \{8, 17\}\)
→ \(a + b \le 18\). - \(a + b = 17\) için \(b = 8, a = 9\) ✓
→ \(b\) yalnızca \(0, 4, 8\) olabilir.
Kontrol
\(79488 = 72 \cdot 1104\) ✓
Sık yapılan hata
\(8\) kuralında son iki basamağa bakmak ya da \(9\) kuralında yalnızca \(a + b = 8\) seçeneğini görmek.
-
Bir \(n\) doğal sayısının \(12\) ile bölümünden kalan \(7\), \(18\) ile bölümünden kalan \(13\)'tür. Buna göre \(n\)'nin \(36\) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(n = 12k + 7\)
- \(n = 18m + 13\)
Ne soruluyor?
\(n\)'nin \(36\)'ya bölümünden kalan?
Çözüm
- İki durumda da bölen \(-\) kalan \(= 5\): \(12 - 7 = 5\), \(18 - 13 = 5\)
→ Eksik kalan sabit. - \(n + 5\), hem \(12\)'ye hem \(18\)'e tam bölünür → EKOK\((12, 18) = 36\)'nın katıdır.
→ Sabit fark yöntemi. - \(n + 5 = 36t\) → \(n = 36t - 5 = 36(t - 1) + 31\)
→ Kalanı pozitif yazmak için bir kat ödünç alındı. - Kalan \(31\)
→ Kalan \(0 \le r \lt 36\).
Kontrol
\(n = 31\): \(31 = 12 \cdot 2 + 7\) ✓ \(31 = 18 \cdot 1 + 13\) ✓
Sık yapılan hata
\(n + 5 = 36t\) bulup kalanı \(-5\) ya da \(5\) sanmak. Kalan negatif olamaz; \(-5 \to 36 - 5 = 31\).
-
\(1\)'den \(200\)'e kadar olan doğal sayılardan kaç tanesi \(6\) ile tam bölünür, fakat \(9\) ile tam bölünmez?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(1 \le n \le 200\)
Ne soruluyor?
\(6\)'nın katı olup \(9\)'un katı olmayanların sayısı?
Çözüm
- \(6\)'nın katları: \(\lfloor 200 / 6 \rfloor = 33\)
→ \(6, 12, \dots, 198\). - Bunlardan \(9\)'a da bölünenler hem \(6\)'nın hem \(9\)'un katı → EKOK \(= 18\)'in katları: \(\lfloor 200 / 18 \rfloor = 11\)
→ Ortak katlar EKOK'un katlarıdır. - \(33 - 11 = 22\)
→ Çıkarma.
Kontrol
\(18, 36, \dots, 198\): \(11\) sayı ✓ \(33 - 11 = 22\) ✓
Sık yapılan hata
\(9\)'un katlarını (\(22\) tane) çıkarmak: \(9\)'un her katı \(6\)'nın katı değildir. Ya da \(6 \cdot 9 = 54\)'ün katlarını çıkarıp \(30\) bulmak.
-
\(5^{40}\) sayısının \(7\) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(5^{40}\)
- Bölen \(7\)
Ne soruluyor?
Kalan kaçtır?
Çözüm
- \(5\)'in kuvvetlerinin \(7\)'ye bölümünden kalanlar: \(5, 4, 6, 2, 3, 1, 5, 4, \dots\)
→ \(5^1 = 5\), \(5^2 = 25 \to 4\), \(5^3 \to 4 \cdot 5 = 20 \to 6\), \(5^4 \to 30 \to 2\), \(5^5 \to 10 \to 3\), \(5^6 \to 15 \to 1\). - Kalanlar \(6\)'lı döngüyle tekrar ediyor.
→ \(5^6\)'nın kalanı \(1\). - \(40 = 6 \cdot 6 + 4\) → \(5^{40}\)'ın kalanı \(5^4\)'ünkiyle aynı: \(2\)
→ Üssün döngü uzunluğuna bölümünden kalan.
Kontrol
\(5^4 = 625 = 7 \cdot 89 + 2\) ✓
Sık yapılan hata
Döngü uzunluğunu \(3\) sanmak ya da üssün kalanı \(4\) iken \(5^4\) yerine \(4\)'ü cevap vermek.
-
Bir bölme işleminde bölen \(9\), bölüm \(12\), kalan \(5\)'tir. Bölünen \(4\) artırılır ve bölen \(2\) azaltılırsa, yeni bölme işleminde kalan kaç olur?
Çözümü Göster
Verilenler
- Bölen \(9\), bölüm \(12\), kalan \(5\)
- Bölünen \(+4\), bölen \(-2\)
Ne soruluyor?
Yeni kalan?
Çözüm
- Bölünen \(= 9 \cdot 12 + 5 = 113\)
→ Bölme algoritması. - Yeni bölünen \(117\), yeni bölen \(7\)
→ Değişiklikler uygulandı. - \(117 = 7 \cdot 16 + 5\) → kalan \(5\)
→ Bölüm de değişir; kalan yeniden hesaplanmalı.
Kontrol
\(7 \cdot 16 = 112\), \(117 - 112 = 5\), \(0 \le 5 \lt 7\) ✓
Sık yapılan hata
Eski kalana \(4\) ekleyip \(9\) demek: \(9\), yeni bölen \(7\)'den büyük olduğu için kalan olamaz. Bölümü sabit sanıp \(117 - 7 \cdot 12 = 33\) bulmak da sık görülür.
-
Bir bölme işleminde bölünen \(250\), kalan \(7\)'dir. Bölen iki basamaklı bir doğal sayı olduğuna göre kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Bölünen \(250\)
- Kalan \(7\)
- Bölen iki basamaklı
Ne soruluyor?
Bölen kaç değer alır?
Çözüm
- \(250 = d \cdot q + 7\) → \(d \cdot q = 243\)
→ Kalan çıkarıldı. - \(d\), \(243 = 3^5\)'in bir böleni ve \(d \gt 7\) olmalı.
→ Kalan bölenden küçüktür. - \(243\)'ün bölenleri: \(1, 3, 9, 27, 81, 243\) → iki basamaklılar: \(27, 81\)
→ \(9\) tek basamaklı. - Cevap \(2\)
→ İki değer.
Kontrol
\(250 = 27 \cdot 9 + 7\) ✓ \(250 = 81 \cdot 3 + 7\) ✓
Sık yapılan hata
\(250\)'nin bölenlerine bakmak ya da kalan şartını unutup \(9\)'u da saymak.
-
\(1! + 2! + 3! + \dots + 100!\) toplamının \(12\) ile bölümünden kalan kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(1! + 2! + \dots + 100!\)
Ne soruluyor?
\(12\) ile bölümünden kalan?
Çözüm
- \(4! = 24\), \(12\)'nin katı. \(k \ge 4\) için \(k!\) içinde \(4!\) çarpanı olduğundan hepsi \(12\)'ye bölünür.
→ Büyük terimler kalana katkı yapmaz. - Kalan yalnızca \(1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9\)'dan gelir.
→ İlk üç terim. - \(9 \lt 12\) → kalan \(9\)
→ Son.
Kontrol
\(1! + 2! + 3! + 4! = 33 = 12 \cdot 2 + 9\) ✓
Sık yapılan hata
\(4!\)'ü de kalana katıp \(33 \to 9\) yerine başka bir değer bulmak ya da \(3! = 6\)'dan sonra durmayıp \(5!\)'e kadar hesap yapmak (sonuç aynı ama gereksiz).
-
Ardışık dört pozitif tam sayının çarpımı aşağıdakilerden hangisine her zaman tam bölünür?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(n(n+1)(n+2)(n+3)\)
Ne soruluyor?
Hangisi kesin bölendir?
Çözüm
- Ardışık dört sayıdan biri \(4\)'ün katı, bir diğeri (farklı) \(2\)'nin katı, biri de \(3\)'ün katıdır.
→ Her ardışık \(k\) sayıda \(k\)'nın bir katı vardır. - Çarpım en az \(4 \cdot 2 \cdot 3 = 24\) ile bölünür.
→ En küçük örnek: \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24\). - En küçük örnek \(24\) olduğu için \(24\)'ten büyük hiçbir sayı kesin bölen olamaz; \(18\) de \(24\)'ü bölmez.
→ Karşı örnek.
Kontrol
\(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\) ve \(3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 360\): ikisi de \(24\)'e bölünür ✓ \(24\), \(48\)'e bölünmez ✗
Sık yapılan hata
Bir örneğe bakıp (\(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120\)) \(120\) ya da \(48\) demek. Kesinlik için en küçük örnek sınanmalı.
-
\(7a2b\) dört basamaklı sayısı \(12\) ile tam bölünebildiğine göre bu koşulu sağlayan kaç farklı sayı vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(7a2b\), \(12\)'ye bölünüyor
Ne soruluyor?
Kaç sayı vardır?
Çözüm
- \(12 = 3 \cdot 4\) → \(3\) ve \(4\) kuralları birlikte.
→ Aralarında asal çarpanlar. - \(4\) kuralı: \(2b\) \(4\)'ün katı → \(b \in \{0, 4, 8\}\)
→ \(20, 24, 28\). - \(3\) kuralı: \(7 + a + 2 + b = 9 + a + b\) → \(a + b\) \(3\)'ün katı
→ \(9\) zaten \(3\)'ün katı. - \(b = 0\): \(a \in \{0, 3, 6, 9\}\) (4); \(b = 4\): \(a \in \{2, 5, 8\}\) (3); \(b = 8\): \(a \in \{1, 4, 7\}\) (3) → \(10\)
→ Sayım.
Kontrol
\(7920 = 12 \cdot 660\) ✓ \(7128 = 12 \cdot 594\) ✓
Sık yapılan hata
\(4\) kuralında yalnızca son rakama bakıp \(b\)'yi çift saymak (\(0, 2, 4, 6, 8\)) ya da \(a = 0\) durumunu unutmak.