İşçi Problemleri Konu Anlatımı

İşçi problemleri nedir?

KPSS'de işçi problemleri neredeyse her sınavda karşımıza çıkar: "A işi 12 günde, B 18 günde bitiriyor; birlikte kaç günde biter?", "5 gün sonra bir işçi ayrılıyor, iş kaç gün gecikir?" gibi. Soruların görünüşü farklı olsa da hepsi tek bir fikre dayanır: bir günde yapılan iş miktarı.

Bir işçi bir işin tamamını a günde bitiriyorsa her gün işin \(\frac{1}{a}\)'sını yapar. Bu orana işçinin hızı (verimi, kapasitesi) denir. İşin tamamı 1 birim kabul edilir.

\[\text{İş} = \text{Hız} \cdot \text{Zaman}\]

Örnek: Bir işi 10 günde bitiren işçi 1 günde işin \(\frac{1}{10}\)'unu, 4 günde \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)'ini yapar. İşin \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\)'i kalır.

Temel kurallar ve formüller

Birlikte çalışma

A işçisi işi a günde, B işçisi b günde bitiriyorsa birlikte bir günde \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}\) kadar iş yaparlar. İşi birlikte t günde bitiriyorlarsa:

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}\]

\[t = \frac{a \cdot b}{a + b}\]

Üç işçi için de aynı mantık geçerlidir: hızlar toplanır.

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{t}\]

Örnek: İşi 4, 6 ve 12 günde bitiren üç işçi birlikte çalışırsa bir günde
\(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{3 + 2 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}\)
kadar iş yaparlar. İşin tamamı \(1 \div \frac{1}{2} = 2\) günde biter.

Pratik yol: İşi EKOK kadar birim almak

Kesirlerle uğraşmak istemiyorsan işin tamamını sürelerin EKOK'u kadar birim (örneğin tuğla, metre) kabul et. Böylece her işçinin günlük işi tam sayı olur.

Örnek: A işi 12 günde, B 18 günde bitiriyor. \(\text{EKOK}(12, 18) = 36\) olduğundan iş 36 birim olsun.
A günde \(36 \div 12 = 3\) birim, B günde \(36 \div 18 = 2\) birim yapar. Birlikte günde 5 birim yaparlar.
Birlikte süre: \(36 \div 5 = 7{,}2\) gün.

Kat kat hızlı çalışma ve verim değişimi

Hız ile süre ters orantılıdır. Bir işçi diğerinden k kat hızlıysa aynı işi k kat kısa sürede bitirir.

• Bir işi 24 günde bitiren işçiden 3 kat hızlı olan işçi aynı işi \(24 \div 3 = 8\) günde bitirir.
• Verim %a artarsa hız \(\left(1 + \frac{a}{100}\right)\) ile çarpılır, süre aynı sayıya bölünür.

Örnek: Bir işi 18 günde bitiren işçi verimini %20 artırırsa hızı \(\frac{6}{5}\) katına çıkar. Yeni süre: \(18 \div \frac{6}{5} = 15\) gün.

Çok sayıda işçi, gün ve saat

Bütün işçilerin hızı aynıysa yapılan iş; işçi sayısı, gün sayısı ve günlük çalışma saatiyle doğru orantılıdır. İşçi sayısı n, gün sayısı g, günlük saat s ve iş miktarı I ile gösterilirse:

\[\frac{n_1 \cdot g_1 \cdot s_1}{I_1} = \frac{n_2 \cdot g_2 \cdot s_2}{I_2}\]

İş aynıysa paydalar sadeleşir ve \(n_1 \cdot g_1 \cdot s_1 = n_2 \cdot g_2 \cdot s_2\) olur. Bu çarpıma "işçi-gün" ya da "işçi-saat" de denir: işin büyüklüğünü ölçer.

Örnek: 8 işçi bir işi 15 günde bitiriyor. Aynı işi 6 günde bitirmek için kaç işçi gerekir?
İşin büyüklüğü: \(8 \cdot 15 = 120\) işçi-gün. Gereken işçi: \(120 \div 6 = 20\). Yani mevcut ekibe 12 işçi eklenmelidir.

Soru tiplerine göre yöntemler

1. Yapılan ve kalan iş

"x gün çalıştı, işin ne kadarı kaldı?" sorularında önce yapılan kısım bulunur, sonra 1'den çıkarılır.

Örnek: A işi 10 günde, B 15 günde bitiriyor. Birlikte 4 gün çalışırlarsa işin ne kadarı kalır?
Birlikte günlük iş: \(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{1}{6}\). 4 günde: \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\). Kalan: \(1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\).

2. Sonradan katılan veya ayrılan işçi

En sağlam yöntem: Her işçinin kaç gün çalıştığını bul, yaptığı işi yaz, hepsini topla ve 1'e eşitle.

\[\frac{x_A}{a} + \frac{x_B}{b} + \dots = 1\]

Burada \(x_A\), A işçisinin çalıştığı gün sayısıdır. Ayrılan işçinin çalıştığı gün az, sonradan katılanın çalıştığı gün az olur; işin başından sonuna kadar çalışanın günü toplam süreye eşittir.

3. Gün aşırı (sırayla) çalışma

İşçiler birer gün arayla çalışıyorsa iki günlük bir "tur"da yapılan iş bulunur. Tam turlar sayılır, kalan iş için son günlere tek tek bakılır. Son gün işçinin bir günlük işi kalan işten fazlaysa iş gün ortasında biter.

4. Usta – çırak ve makine soruları

"1 usta 2 çırak kadar iş yapar" gibi bilgiler verilirse herkes tek bir türe (genellikle çırağa) çevrilir. Makine soruları da aynıdır: bir makinenin bir saatte ürettiği parça sayısı bulunur, gerisi orantıdır.

5. Hız oranı verilen sorular

"A'nın hızı B'nin hızının \(\frac{2}{3}\)'ü" deniyorsa hızlar 2k ve 3k alınır. Birlikte süreden k bulunur, sonra her işçinin tek başına süresi \(1 \div \text{hız}\) ile hesaplanır.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. Bir işi A işçisi tek başına 12 günde, B işçisi tek başına 24 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte çalışırsa bu iş kaç günde biter?

Çözüm: A'nın günlük işi \(\frac{1}{12}\), B'nin günlük işi \(\frac{1}{24}\)'tür. Birlikte bir günde yaptıkları iş:
\(\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\)

Her gün işin \(\frac{1}{8}\)'ini yapıyorlarsa iş 8 günde biter.
Kısayolla: \(t = \frac{12 \cdot 24}{12 + 24} = \frac{288}{36} = 8\)

Kontrol: 8 günde A \(\frac{8}{12} = \frac{2}{3}\), B \(\frac{8}{24} = \frac{1}{3}\) iş yapar; toplam 1.
Cevap: 8 gün

• Benzer soru: On beş ve otuz günlük iki işçinin birlikte süresi

Örnek 2. Bir boyacı bir duvarın \(\frac{2}{5}\)'ini 6 günde boyuyor. Aynı hızla çalışırsa duvarın tamamını kaç günde boyar?

Çözüm: \(\frac{2}{5}\)'i 6 gün sürüyorsa \(\frac{1}{5}\)'i \(6 \div 2 = 3\) gün sürer.
Tamamı (\(\frac{5}{5}\)): \(5 \cdot 3 = 15\) gün.

Denklemle: \(\frac{2}{5} \cdot x = 6 \Rightarrow x = 6 \cdot \frac{5}{2} = 15\)

Kontrol: 15 günde biten işin 6 günlük kısmı \(\frac{6}{15} = \frac{2}{5}\)'tir.
Cevap: 15 gün

• Benzer soru: Dörtte birini beş günde yapan işçi

Örnek 3. Ali ile Burak bir işi birlikte 10 günde bitiriyor. Ali bu işi tek başına 15 günde bitirebildiğine göre Burak tek başına kaç günde bitirir?

Çözüm: Birlikte günlük iş \(\frac{1}{10}\), Ali'nin günlük işi \(\frac{1}{15}\)'tir. Burak'ın günlük işi farka eşittir:
\(\frac{1}{10} - \frac{1}{15} = \frac{3}{30} - \frac{2}{30} = \frac{1}{30}\)

Burak her gün işin \(\frac{1}{30}\)'unu yaptığına göre işi 30 günde bitirir.

Kontrol: \(\frac{1}{15} + \frac{1}{30} = \frac{2}{30} + \frac{1}{30} = \frac{3}{30} = \frac{1}{10}\)
Cevap: 30 gün

• Benzer soru: Birlikte süreden ikinci işçinin tek başına süresi

Örnek 4. Özdeş 3 makine birlikte 4 saatte 360 parça üretiyor. Aynı hızda çalışan özdeş 5 makine 600 parçayı kaç saatte üretir?

Çözüm: Önce bir makinenin bir saatte ürettiği parça sayısını bulalım:
\(360 \div (3 \cdot 4) = 360 \div 12 = 30\) parça

5 makine bir saatte \(5 \cdot 30 = 150\) parça üretir.
600 parça için gereken süre: \(600 \div 150 = 4\) saat

Kontrol: \(5 \cdot 4 \cdot 30 = 600\)
Cevap: 4 saat

• Benzer soru: Saatte kırk parça üreten makineler

Örnek 5. Aynı hızda çalışan 6 işçi, günde 8 saat çalışarak bir işi 10 günde bitiriyor. Aynı işi aynı hızda çalışan 8 işçi günde 5 saat çalışarak kaç günde bitirir?

Çözüm: İş aynı olduğu için işçi · gün · saat çarpımı sabittir:
\(6 \cdot 10 \cdot 8 = 8 \cdot x \cdot 5\)
\(480 = 40x\)
\(x = 12\)

Yorum: İşçi sayısı arttı ama günlük saat daha çok azaldığı için süre uzadı.
Kontrol: \(8 \cdot 12 \cdot 5 = 480\) işçi-saat.
Cevap: 12 gün

• Benzer soru: Boyacı sayısı ve günlük saat değişince süre

Örnek 6. A işçisi bir işi 18 günde, B işçisi 12 günde bitirebiliyor. A işe tek başına başlıyor ve 3 gün çalışıyor; sonra B de işe katılıyor ve işi birlikte bitiriyorlar. İş, başlangıçtan itibaren toplam kaç günde biter?

Çözüm: A'nın 3 günde yaptığı iş: \(\frac{3}{18} = \frac{1}{6}\)
Kalan iş: \(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)

Birlikte günlük iş: \(\frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{2}{36} + \frac{3}{36} = \frac{5}{36}\)
Kalan işin süresi: \(\frac{5}{6} \div \frac{5}{36} = \frac{5}{6} \cdot \frac{36}{5} = 6\) gün

Toplam süre: \(3 + 6 = 9\) gün

Kontrol: A 9 gün çalıştı: \(\frac{9}{18} = \frac{1}{2}\); B 6 gün çalıştı: \(\frac{6}{12} = \frac{1}{2}\). Toplam 1.
Cevap: 9 gün

• Benzer soru: Beş gün sonra katılan işçiyle bitiş süresi

Örnek 7. Bir usta bir işi, çırağından 8 gün daha kısa sürede bitiriyor. Usta ile çırak birlikte çalışırsa iş 3 günde bitiyor. Çırak bu işi tek başına kaç günde bitirir?

Çözüm: Ustanın süresi x gün olsun; çırağın süresi \(x + 8\) gün olur.
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 8} = \frac{1}{3}\)

Paydaları eşitleyelim:
\(\frac{2x + 8}{x(x + 8)} = \frac{1}{3}\)
\(3(2x + 8) = x^2 + 8x\)
\(x^2 + 2x - 24 = 0\)
\((x + 6)(x - 4) = 0\)

Süre negatif olamayacağı için \(x = 4\). Usta 4 günde, çırak \(4 + 8 = 12\) günde bitirir.

Kontrol: \(\frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\)
Cevap: 12 gün

• Benzer soru: Çıraktan altı gün hızlı bitiren usta

Örnek 8. Bir işi A ile B birlikte 12 günde, B ile C birlikte 15 günde, A ile C birlikte 20 günde bitiriyor. Üçü birlikte çalışırsa bu iş kaç günde biter?

Çözüm: Üç denklemi alt alta toplayalım:
\(\left(\frac{1}{A} + \frac{1}{B}\right) + \left(\frac{1}{B} + \frac{1}{C}\right) + \left(\frac{1}{A} + \frac{1}{C}\right) = \frac{1}{12} + \frac{1}{15} + \frac{1}{20}\)

Sol tarafta her işçi iki kez var. Sağ taraf: \(\frac{5}{60} + \frac{4}{60} + \frac{3}{60} = \frac{12}{60} = \frac{1}{5}\)
\(2 \cdot \left(\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C}\right) = \frac{1}{5}\)
\(\frac{1}{A} + \frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{1}{10}\)

Üçü birlikte işi 10 günde bitirir.

Kontrol: Tek tek süreler A = 30, B = 20, C = 60 gün çıkar. \(\frac{1}{30} + \frac{1}{20} + \frac{1}{60} = \frac{2 + 3 + 1}{60} = \frac{1}{10}\)
Cevap: 10 gün

• Benzer soru: İkişerli birlikte sürelerden üçünün birlikte süresi

Örnek 9. A işçisinin hızı, B işçisinin hızının \(\frac{2}{3}\)'ü kadardır. İkisi birlikte bir işi 12 günde bitirdiğine göre A bu işi tek başına kaç günde bitirir?

Çözüm: Hızlar oranı \(\frac{2}{3}\) olduğundan A'nın günlük işi 2k, B'nin günlük işi 3k olsun.
Birlikte: \(2k + 3k = 5k = \frac{1}{12}\)
\(k = \frac{1}{60}\)

A'nın günlük işi: \(2k = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}\). A işi tek başına 30 günde bitirir.
(B'nin günlük işi \(\frac{3}{60} = \frac{1}{20}\); B 20 günde bitirir.)

Kontrol: \(\frac{1}{30} + \frac{1}{20} = \frac{2}{60} + \frac{3}{60} = \frac{1}{12}\). Ayrıca yavaş olan A'nın süresi daha uzun, mantıklı.
Cevap: 30 gün

• Benzer soru: Hız oranından yavaş işçinin süresi

Örnek 10. 2 usta ile 3 çırak birlikte bir işi 6 günde bitiriyor. Bir usta bir günde, bir çırağın iki günde yaptığı kadar iş yapıyor. Aynı işi 6 çırak kaç günde bitirir?

Çözüm: 1 usta 2 çırak kadar iş yaptığına göre 2 usta \(2 \cdot 2 = 4\) çırak eder.
Ekip: \(4 + 3 = 7\) çırak gücündedir.

İşin büyüklüğü: \(7 \cdot 6 = 42\) çırak-gün
6 çırakla süre: \(42 \div 6 = 7\) gün

Kontrol: \(6 \cdot 7 = 42\) çırak-gün, ekibin yaptığı işle aynı.
Cevap: 7 gün

• Benzer soru: Usta ve çırak ekibinin işini yapacak çıraklar

Örnek 11. Bir işçi bir işi 15 günde bitirebiliyor. İşin \(\frac{2}{5}\)'ini yaptıktan sonra verimini %50 artırıyor. İşçi işin tamamını toplam kaç günde bitirir?

Çözüm: İlk bölüm: \(\frac{2}{5}\)'i normal hızla yapar: \(\frac{2}{5} \cdot 15 = 6\) gün.

Kalan iş: \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\)
Yeni hız: \(\frac{1}{15} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{10}\) (günde işin onda biri)
Kalan işin süresi: \(\frac{3}{5} \div \frac{1}{10} = \frac{3}{5} \cdot 10 = 6\) gün

Toplam: \(6 + 6 = 12\) gün

Kontrol: Kalan \(\frac{3}{5}\)'lik iş eski hızla \(\frac{3}{5} \cdot 15 = 9\) gün sürerdi; hız 1,5 katına çıkınca \(9 \div 1{,}5 = 6\) gün sürer.
Cevap: 12 gün

• Benzer soru: Üçte birden sonra hızını yüzde altmış artıran işçi

Örnek 12. Aynı hızda çalışan 12 işçi bir işi 20 günde bitirecektir. İşe başladıktan 5 gün sonra işçilerden 3'ü ayrılıyor. İş, planlanan süreden kaç gün geç biter?

Çözüm: İşin büyüklüğü: \(12 \cdot 20 = 240\) işçi-gün
İlk 5 günde yapılan: \(12 \cdot 5 = 60\) işçi-gün
Kalan iş: \(240 - 60 = 180\) işçi-gün

Kalan işçi: \(12 - 3 = 9\)
Kalan işin süresi: \(180 \div 9 = 20\) gün

Toplam süre: \(5 + 20 = 25\) gün. Planlanan 20 gün olduğu için gecikme \(25 - 20 = 5\) gün.

Kontrol: Planlanan sürede 5 gün sonra 15 gün kalıyordu; 12 işçinin 15 günlük işini 9 işçi \(\frac{12 \cdot 15}{9} = 20\) günde yapar, yani 5 gün fazla.
Cevap: 5 gün

• Benzer soru: İşçilerin dörtte biri ayrılınca gecikme

Örnek 13. A işçisi bir işi 12 günde, B işçisi 18 günde bitirebiliyor. İkisi birlikte işe başlıyor; bir süre sonra A işten ayrılıyor ve kalan işi B tek başına bitiriyor. İş başlangıçtan itibaren toplam 12 günde bittiğine göre A kaç gün çalışmıştır?

Çözüm: B işin başından sonuna kadar, yani 12 gün çalıştı. B'nin yaptığı iş: \(\frac{12}{18} = \frac{2}{3}\)

A'nın çalıştığı gün x olsun. Herkesin yaptığı işlerin toplamı 1'dir:
\(\frac{x}{12} + \frac{2}{3} = 1\)
\(\frac{x}{12} = \frac{1}{3}\)
\(x = 4\)

Kontrol: A 4 günde \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\), B 12 günde \(\frac{2}{3}\) iş yaptı; toplam 1.
Cevap: 4 gün

• Benzer soru: Ortasında ayrılan işçinin çalıştığı gün

Örnek 14. A işçisi bir işi 8 günde, B işçisi 12 günde bitirebiliyor. İşe A başlıyor; birinci gün A, ikinci gün B, üçüncü gün A, ... biçiminde sırayla birer gün çalışıyorlar. İş kaç günde biter?

Çözüm: İşi \(\text{EKOK}(8, 12) = 24\) birim alalım. A günde 3 birim, B günde 2 birim yapar.
İki günlük bir turda: \(3 + 2 = 5\) birim

4 tur (8 gün) sonunda: \(4 \cdot 5 = 20\) birim yapılmış, 4 birim kalmıştır.
9. gün A çalışır, 3 birim yapar; 1 birim kalır.
10. gün B çalışır. B günde 2 birim yaptığı için 1 birimi yarım günde bitirir.

Toplam süre: \(9 + \frac{1}{2} = 9{,}5\) gün

Dikkat: 5 tur yapmak (10 gün) yanlış olur; son tur tamamlanmadan iş biter.
Kontrol: A 5 gün çalıştı (15 birim), B 4,5 gün çalıştı (9 birim); \(15 + 9 = 24\).
Cevap: 9,5 gün

• Benzer soru: Gün aşırı sırayla çalışan iki işçi

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• İşçi Problemleri soruları (sitemizde tüm sorular)

Kendini dene: İşçi Problemleri çözümlü testleri →