AGS Temel Kavramlar Orta Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 20 dk
- Zorluk
- Orta
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(a\) ve \(b\) asal sayılardır. \(3a + 5b = 61\) olduğuna göre \(a \cdot b\) çarpımının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a\), \(b\) asal
- \(3a + 5b = 61\)
Ne soruluyor?
\(a \cdot b\)'nin alabileceği değerlerin toplamı?
Çözüm
- \(61\) tek olduğundan \(3a\) ile \(5b\)'den biri çift olmalı; bu da \(a\) ya da \(b\)'nin \(2\) olmasıyla mümkündür
→ Tek \(+\) tek çift olur; tek bir toplam için bir terim çift olmalı. Çift asal yalnızca \(2\)'dir. - \(a = 2\): \(6 + 5b = 61\) → \(b = 11\) (asal) → \(a \cdot b = 22\)
→ Geçerli. - \(b = 2\): \(3a + 10 = 61\) → \(a = 17\) (asal) → \(a \cdot b = 34\)
→ Geçerli. - \(22 + 34 = 56\)
→ Sonuç \(56\).
Kontrol
\(3 \cdot 2 + 5 \cdot 11 = 61\) ve \(3 \cdot 17 + 5 \cdot 2 = 61\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca bir çözüm bulup \(22\) ya da \(34\)'te durmak; iki durum da denenmelidir.
-
Ardışık beş çift sayının toplamı \(130\)'dur. Bu sayılardan en küçüğü ile en büyüğünün çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Ardışık beş çift sayı
- Toplam \(130\)
Ne soruluyor?
En küçük ile en büyüğün çarpımı?
Çözüm
- Tek sayıda ardışık terimde ortadaki terim ortalamadır: \(130 \div 5 = 26\)
→ Ortadaki sayı \(26\). - Sayılar: \(22, 24, 26, 28, 30\)
→ İkişer artar. - \(22 \cdot 30 = 660\)
→ Sonuç \(660\).
Kontrol
\(22 + 24 + 26 + 28 + 30 = 130\) ✓
Sık yapılan hata
Sayıları birer artırıp \(24\) ile \(28\)'i uç sanmak (\(672\)) ya da \(26^2 = 676\) hesaplamak.
-
Rakamları birbirinden farklı üç basamaklı \(abc\) sayısında \(a + b = 10\) ve \(b + c = 12\)'dir. Bu koşulları sağlayan en büyük sayı ile en küçük sayının farkı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a + b = 10\), \(b + c = 12\)
- Rakamlar farklı, \(a \ne 0\)
Ne soruluyor?
En büyük ile en küçük sayının farkı?
Çözüm
- Her şey \(b\) cinsinden yazılır: \(a = 10 - b\), \(c = 12 - b\)
→ Ortadaki rakam iki koşulda da var. - \(c \le 9\) → \(b \ge 3\); \(a \ge 1\) → \(b \le 9\)
→ Rakam sınırları. - Farklılık: \(a = b\) ⇔ \(b = 5\); \(b = c\) ⇔ \(b = 6\); \(a \ne c\) her zaman. → \(b \in \{3, 4, 7, 8, 9\}\)
→ Sayılar: \(739, 648, 375, 284, 193\). - Sayı en çok \(a\) büyükken, yani \(b = 3\) iken \(739\); en az \(b = 9\) iken \(193\) olur → \(739 - 193 = 546\)
→ Sonuç \(546\).
Kontrol
\(7 + 3 = 10\), \(3 + 9 = 12\); \(1 + 9 = 10\), \(9 + 3 = 12\); \(739 - 193 = 546\) ✓
Sık yapılan hata
En büyük sayı için \(a = 9\) seçip \(b = 1\), \(c = 11\) gibi rakam olmayan bir değere gitmek ya da en küçük sayıyı \(b = 8\) ile \(284\) alıp \(739 - 284 = 455\) bulmak.
-
\(abc\) ve \(cba\) üç basamaklı doğal sayılardır ve \(a\), \(b\), \(c\) birbirinden farklı rakamlardır. \(abc - cba = 495\) olduğuna göre kaç farklı \(abc\) sayısı yazılabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(abc - cba = 495\)
- \(a\), \(b\), \(c\) farklı; iki sayı da üç basamaklı (\(c \ne 0\))
Ne soruluyor?
Kaç farklı \(abc\)?
Çözüm
- \((100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 99(a - c) = 495\)
→ Ortadaki rakam farkta yok olur. - \(a - c = 5\); \(c \ge 1\) olduğundan \((a, c)\): \((6, 1)\), \((7, 2)\), \((8, 3)\), \((9, 4)\) → \(4\) durum
→ \(c = 0\) olsaydı \(cba\) üç basamaklı olmazdı. - \(b\), \(a\) ve \(c\)'den farklı olmalı: \(10 - 2 = 8\) seçenek
→ Her durum için \(8\) farklı \(b\). - \(4 \cdot 8 = 32\)
→ Sonuç \(32\).
Kontrol
\(651 - 156 = 495\) ✓ (\(a = 6\), \(b = 5\), \(c = 1\))
Sık yapılan hata
Rakamların farklı olması koşulunu unutup \(4 \cdot 10 = 40\) bulmak ya da \((5, 0)\) çiftini de saymak.
-
\(x\), \(y\) ve \(z\) pozitif tam sayılardır. \(x \cdot y\) tek sayı ve \(y + z\) tek sayı olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x \cdot y\) tek
- \(y + z\) tek
Ne soruluyor?
Hangisi kesinlikle çifttir?
Çözüm
- Çarpım tek ise iki çarpan da tektir: \(x\) tek, \(y\) tek
→ Tek bir çift çarpan çarpımı çift yapardı. - \(y\) tek ve \(y + z\) tek ise \(z\) çifttir
→ Tek \(+\) çift \(=\) tek. - \(x \cdot z + y + 1\): çift \(+\) tek \(+\) tek \(=\) çift
→ Cevap \(x \cdot z + y + 1\). - \(x + z\), \(x \cdot y + z\), \(y^2 + z\), \(x + y + z + 1\) ise tek çıkar
→ Diğerleri elenir.
Kontrol
\(x = 3\), \(y = 5\), \(z = 2\): \(3 \cdot 2 + 5 + 1 = 12\) çift ✓
Sık yapılan hata
\(y + z\) tek diye \(y\)'yi çift sanmak; \(x \cdot y\) tek olduğundan \(y\) tek olmak zorundadır.
-
\(\dfrac{75^2 - 25^2}{50} + 49 \cdot 51\) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{75^2 - 25^2}{50} + 49 \cdot 51\)
Ne soruluyor?
İşlemin sonucu kaçtır?
Çözüm
- İki kare farkı: \(75^2 - 25^2 = (75 - 25)(75 + 25) = 50 \cdot 100\)
→ \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\). - \(\dfrac{50 \cdot 100}{50} = 100\)
→ Sadeleştirme. - \(49 \cdot 51 = (50 - 1)(50 + 1) = 2500 - 1 = 2499\)
→ Yine iki kare farkı. - \(100 + 2499 = 2599\)
→ Sonuç \(2599\).
Kontrol
\(75^2 = 5625\), \(25^2 = 625\); \(5000 \div 50 = 100\) ve \(49 \cdot 51 = 2499\) ✓
Sık yapılan hata
\(49 \cdot 51\)'i \(2500\) sanıp \(2600\) bulmak ya da kesri hesaplamayı unutup \(2499\)'da kalmak.
-
\(a\), \(b\) ve \(c\) tam sayılar olmak üzere \(a \lt b \lt 0 \lt c\) sıralaması veriliyor. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle negatiftir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a \lt b \lt 0\): \(a\) ve \(b\) negatif
- \(c\) pozitif
Ne soruluyor?
Hangisi her zaman negatiftir?
Çözüm
- \(\dfrac{c - a}{b}\): \(c - a = c + |a| \gt 0\), payda \(b \lt 0\) → pozitif \(\div\) negatif \(=\) negatif
→ Cevap \(\dfrac{c - a}{b}\). - \(b^2 \cdot c\) ve \(a \cdot b \cdot c\) pozitiftir
→ İki negatifin çarpımı pozitif. - \(a \cdot b - c\) ve \(a - b + c\) sayıların büyüklüğüne göre pozitif de negatif de olabilir
→ Örneğin \(a = -3\), \(b = -2\), \(c = 1\) için \(a \cdot b - c = 5\); \(c = 10\) için \(-4\).
Kontrol
\(a = -3\), \(b = -1\), \(c = 2\): \(\dfrac{2 + 3}{-1} = -5 \lt 0\) ✓
Sık yapılan hata
\(a - b\)'nin negatif olduğunu görüp \(a - b + c\)'yi de negatif sanmak; büyük bir \(c\) sonucu pozitif yapar.
-
\(-17\)'den \(41\)'e kadar (ikisi de dahil) olan tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(-17, -16, \ldots, 40, 41\)
Ne soruluyor?
Bu tam sayıların toplamı?
Çözüm
- \(-17\) ile \(17\) arasındaki sayılar birbirini götürür: \((-17) + 17 = 0\), \((-16) + 16 = 0\), …
→ Simetrik kısım toplamı \(0\). - Geriye \(18\)'den \(41\)'e kadar olanlar kalır: \(41 - 18 + 1 = 24\) terim
→ Terim sayısı \(=\) son \(-\) ilk \(+ 1\). - Toplam: \(\dfrac{(18 + 41) \cdot 24}{2} = 59 \cdot 12 = 708\)
→ Sonuç \(708\).
Kontrol
\(1\)'den \(41\)'e toplam \(861\), \(1\)'den \(17\)'ye toplam \(153\); \(861 - 153 = 708\) ✓
Sık yapılan hata
Götürülen kısımdan sonra \(17\)'den başlayıp \(17\)'yi iki kez saymak (\(725\)) ya da terim sayısını \(23\) almak.
-
İki basamaklı bir asal sayının rakamlarının yerleri değiştirildiğinde yine bir asal sayı elde ediliyor. Bu özelliğe sahip kaç tane iki basamaklı asal sayı vardır? (Rakamları aynı olan sayılar da sayılır.)
Çözümü Göster
Verilenler
- İki basamaklı asal sayı
- Rakamları yer değiştirince yine asal
Ne soruluyor?
Kaç tane?
Çözüm
- Birler basamağı \(2\), \(4\), \(5\), \(6\), \(8\) olan sayılar asal değildir; ters çevrilince onlar basamağı \(1\), \(3\), \(7\), \(9\) olmalıdır
→ Rakamların ikisi de \(\{1, 3, 7, 9\}\) kümesinden gelir. - Bu rakamlarla iki basamaklı asallar: \(11, 13, 17, 19, 31, 37, 71, 73, 79, 97\)
→ Ters çevrilmiş halleri kontrol edilir. - \(19\) → \(91 = 7 \cdot 13\) asal değil; diğerleri geçerli
→ \(11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97\) → \(9\) tane.
Kontrol
\(13 \leftrightarrow 31\), \(17 \leftrightarrow 71\), \(37 \leftrightarrow 73\), \(79 \leftrightarrow 97\) ve \(11\) → toplam \(9\) ✓
Sık yapılan hata
\(91\)'i asal sanıp \(19\)'u da saymak (\(10\)) ya da \(11\)'i unutup \(8\) demek.
-
Üç ardışık tam sayının her birinin karesi alınıp bu kareler toplandığında \(110\) elde ediliyor. Buna göre bu üç sayının en küçüğü en az kaç olabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Ardışık üç tam sayı: \(n - 1\), \(n\), \(n + 1\)
- Kareler toplamı \(110\)
Ne soruluyor?
En küçük sayı en az kaç?
Çözüm
- \((n - 1)^2 + n^2 + (n + 1)^2 = 3n^2 + 2 = 110\)
→ Ortadaki sayıya \(n\) demek hesabı kısaltır; \(-2n\) ve \(+2n\) birbirini götürür. - \(3n^2 = 108\) → \(n^2 = 36\) → \(n = 6\) ya da \(n = -6\)
→ Tam sayılarda negatif çözüm de vardır. - \(n = 6\): \(5, 6, 7\); \(n = -6\): \(-7, -6, -5\)
→ İki üçlü de koşulu sağlar. - En küçük sayı en az \(-7\)
→ Sonuç \(-7\).
Kontrol
\(49 + 36 + 25 = 110\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca pozitif çözümü görüp \(5\) demek; "tam sayı" ifadesi negatif sayıları da kapsar.