AGS Temel Kavramlar Kolay Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 15 dk
- Zorluk
- Kolay
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
İki basamaklı \(ab\) sayısı, rakamlarının toplamının \(7\) katına eşittir. Bu koşulu sağlayan kaç farklı iki basamaklı sayı vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(ab = 10a + b\), \(a \ne 0\)
- \(10a + b = 7(a + b)\)
Ne soruluyor?
Koşulu sağlayan sayıların adedi?
Çözüm
- \(10a + b = 7a + 7b\) → \(3a = 6b\) → \(a = 2b\)
→ Sayı çözümlenip benzer terimler bir araya toplanır. - \(a\) bir rakam olduğundan \(2b \le 9\) → \(b \in \{1, 2, 3, 4\}\)
→ \(b = 0\) olursa \(a = 0\) olur; sayı iki basamaklı olmaz. - Sayılar: \(21, 42, 63, 84\) → \(4\) tane
→ Sonuç \(4\).
Kontrol
\(21 = 7 \cdot 3\), \(42 = 7 \cdot 6\), \(63 = 7 \cdot 9\), \(84 = 7 \cdot 12\) ✓
Sık yapılan hata
\(b = 0\) durumunu da sayıp \(5\) demek ya da \(a = 2b\) yerine \(b = 2a\) yazıp \(12, 24, 36, 48\) sayılarını bulmak.
-
İki asal sayının toplamı \(45\)'tir. Bu iki asal sayının çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(p\) ve \(q\) asal
- \(p + q = 45\)
Ne soruluyor?
\(p \cdot q\) kaçtır?
Çözüm
- \(45\) tek sayıdır; iki sayının toplamı tek ise biri tek, diğeri çifttir
→ Tek \(+\) tek ve çift \(+\) çift, çift sonuç verir. - Çift olan tek asal sayı \(2\)'dir → sayılardan biri \(2\)
→ Diğer çift sayılar \(2\)'ye bölündüğü için asal değildir. - Diğeri \(45 - 2 = 43\); \(43\) asaldır
→ \(2\), \(3\), \(5\) ile bölünmez; \(7^2 = 49 \gt 43\). - \(2 \cdot 43 = 86\)
→ Sonuç \(86\).
Kontrol
\(2 + 43 = 45\) ve ikisi de asal ✓
Sık yapılan hata
Toplamı \(45\) olan iki tek asal aramak (tek \(+\) tek her zaman çifttir, böyle bir ikili yoktur) ya da \(45 = 22 + 23\) gibi asal olmayan bir ayrışmayla \(22 \cdot 23 = 506\) bulmak.
-
\(x\) bir tek tam sayı, \(y\) bir çift tam sayıdır. Buna göre aşağıdaki ifadelerden hangisinin değeri her zaman tek sayıdır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x\) tek, \(y\) çift
Ne soruluyor?
Hangi ifade her zaman tektir?
Çözüm
- Kurallar: tek \(\cdot\) tek \(=\) tek; çift sayıyla yapılan her çarpım çift; tek \(+\) çift \(=\) tek; tek \(+\) tek \(=\) çift.
→ Seçenekler tek tek incelenir. - \(x \cdot y + 2\): çift \(+\) çift \(=\) çift. \(x + y + 1\): tek \(+\) çift \(+\) tek \(=\) çift.
→ İkisi de çift. - \(3x + 5\): tek \(+\) tek \(=\) çift. \(y^2 + x \cdot y\): çift \(+\) çift \(=\) çift.
→ İkisi de çift. - \(x^2 + y\): tek \(+\) çift \(=\) tek
→ Cevap \(x^2 + y\).
Kontrol
\(x = 3\), \(y = 2\): \(x^2 + y = 11\) tek ✓
Sık yapılan hata
\(3x\)'in katsayısı tek diye \(3x + 5\)'i tek sanmak; \(3x\) tektir ama tek \(+\) tek çift olur.
-
Bir sokakta yan yana duran altı evin kapı numaraları ardışık doğal sayılardır. Bu altı kapı numarasının toplamı \(63\) olduğuna göre en büyük kapı numarası kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Altı ardışık doğal sayı
- Toplam \(63\)
Ne soruluyor?
En büyük sayı kaçtır?
Çözüm
- En küçük numara \(n\) ise sayılar \(n, n + 1, \ldots, n + 5\)
→ Ardışık sayılar birer artar. - Toplam: \(6n + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 6n + 15 = 63\)
→ Eklenen sabitler toplanır. - \(6n = 48\) → \(n = 8\); en büyük numara \(8 + 5 = 13\)
→ Sonuç \(13\).
Kontrol
\(8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 63\) ✓
Sık yapılan hata
En küçük numarayı (\(8\)) cevap vermek ya da en büyüğü \(n + 6 = 14\) almak.
-
\(a\), \(b\) ve \(c\) pozitif tam sayılardır. \(a \cdot b = 24\), \(b \cdot c = 40\) ve \(a \cdot c = 60\) olduğuna göre \(a + b + c\) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a b = 24\), \(b c = 40\), \(a c = 60\)
- \(a\), \(b\), \(c\) pozitif
Ne soruluyor?
\(a + b + c\) kaçtır?
Çözüm
- Üç eşitlik taraf tarafa çarpılır: \((abc)^2 = 24 \cdot 40 \cdot 60 = 57\,600\)
→ Her sayı çarpıma iki kez girer. - \(abc = 240\)
→ Sayılar pozitif olduğundan pozitif değer alınır (\(240^2 = 57\,600\)). - \(c = \dfrac{240}{ab} = \dfrac{240}{24} = 10\), \(a = \dfrac{240}{bc} = \dfrac{240}{40} = 6\), \(b = \dfrac{240}{ac} = \dfrac{240}{60} = 4\)
→ Her sayı, içinde bulunmadığı çarpıma bölünerek bulunur. - \(6 + 4 + 10 = 20\)
→ Sonuç \(20\).
Kontrol
\(6 \cdot 4 = 24\), \(4 \cdot 10 = 40\), \(6 \cdot 10 = 60\) ✓
Sık yapılan hata
Sayılardan yalnızca birini ya da ikisini bulup toplamı eksik hesaplamak; ya da \((abc)^2\) ile \(abc\)'yi karıştırıp yanlış bölmeler yapmak.
-
\(360\) sayısının pozitif bölenlerinden kaç tanesi asal sayı değildir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(360\) sayısının pozitif bölenleri
Ne soruluyor?
Asal olmayan bölenlerin sayısı?
Çözüm
- \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\)
→ Önce asal çarpanlara ayrılır. - Pozitif bölen sayısı: \((3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\)
→ Her üs \(1\) artırılıp çarpılır. - Asal bölenler: \(2\), \(3\), \(5\) → \(3\) tane
→ Asal bölen sayısı, farklı asal çarpanların sayısıdır. - \(24 - 3 = 21\)
→ Sonuç \(21\). (\(1\) asal değildir; bu \(21\) bölenin içindedir.)
Kontrol
Bölenler: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360\) → \(24\) tane; \(2, 3, 5\) çıkınca \(21\) ✓
Sık yapılan hata
\(1\)'i de asal sanıp çıkarmak ve \(20\) demek ya da bölen sayısını üsleri doğrudan çarparak \(3 \cdot 2 \cdot 1 = 6\) gibi yanlış hesaplamak.
-
\(x\) bir tam sayıdır ve \(-20 \lt x^3 \lt 70\) koşulunu sağlamaktadır. Buna göre \(x\)'in alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x\) tam sayı
- \(-20 \lt x^3 \lt 70\)
Ne soruluyor?
\(x\)'in alabileceği değerlerin toplamı?
Çözüm
- Küpler sırayla: \((-3)^3 = -27\), \((-2)^3 = -8\), \(\ldots\), \(4^3 = 64\), \(5^3 = 125\)
→ Negatif sayının küpü negatiftir; küp alma sırayı korur. - \(-20 \lt x^3\) için \(x \ge -2\); \(x^3 \lt 70\) için \(x \le 4\)
→ \(-27 \lt -20\) ve \(125 \gt 70\). - \(x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}\)
→ \(0^3 = 0\) de aralıktadır. - Toplam: \((-2) + (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 = 7\)
→ Sonuç \(7\).
Kontrol
\((-2)^3 = -8 \gt -20\) ve \(4^3 = 64 \lt 70\); \(-3\) ve \(5\) aralık dışında ✓
Sık yapılan hata
Uç değerleri denetlemeden \(-3\)'ü de alıp (\((-3)^3 = -27 \lt -20\)) toplamı \(4\) bulmak ya da yalnızca pozitif değerleri toplayıp \(10\) demek.
-
\(a\) ve \(b\) tam sayılardır. \(a \cdot b \lt 0\) ve \(a \lt b\) olduğuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle pozitiftir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a \cdot b \lt 0\): sayıların işaretleri farklı
- \(a \lt b\)
Ne soruluyor?
Hangisi her zaman pozitiftir?
Çözüm
- İşaretler farklı ve \(a \lt b\) olduğundan \(a \lt 0 \lt b\)
→ Negatif olan küçük olandır. - \(b - a\): pozitiften negatif çıkarılınca sonuç pozitiftir
→ \(b - a = b + |a| \gt 0\). Cevap \(b - a\). - \(a + b\) sayıların büyüklüğüne göre değişir; \(a \cdot b^2\), \(a^3 \cdot b\) ve \(a - 2b\) her zaman negatiftir
→ Diğer seçenekler elenir.
Kontrol
\(a = -5\), \(b = 1\): \(b - a = 6 \gt 0\) ama \(a + b = -4\) ✓
Sık yapılan hata
\(a + b\)'yi pozitif sanmak; negatif sayının mutlak değeri büyükse toplam negatif olur.
-
\(1\)'den \(50\)'ye kadar (ikisi de dahil) olan çift sayıların toplamı ile tek sayıların toplamı arasındaki fark kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(1, 2, 3, \ldots, 50\)
Ne soruluyor?
Çift sayılar toplamı ile tek sayılar toplamının farkı?
Çözüm
- Sayılar ikişerli eşlenir: \((2 - 1) + (4 - 3) + \cdots + (50 - 49)\)
→ Her çiftte fark \(1\)'dir. - Toplam \(50 \div 2 = 25\) eşleşme vardır → fark \(25\)
→ Sonuç \(25\).
Kontrol
Çiftler toplamı \(650\), tekler toplamı \(625\); \(650 - 625 = 25\) ✓
Sık yapılan hata
Eşleşme sayısını \(50\) sanmak ya da \(1\)'den \(50\)'ye kadar \(24\) eşleşme saymak.
-
\(x\) ve \(y\) tam sayılardır. \(-3 \lt x \lt 5\) ve \(-6 \lt y \lt 2\) olduğuna göre \(x \cdot y\) çarpımının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(-3 \lt x \lt 5\), \(-6 \lt y \lt 2\)
- \(x\), \(y\) tam sayı
Ne soruluyor?
\(x \cdot y\) en az kaç?
Çözüm
- Tam sayı değerleri: \(x \in \{-2, -1, \ldots, 4\}\), \(y \in \{-5, -4, \ldots, 1\}\)
→ Eşitsizlikler kesin olduğundan uç değerler alınmaz. - En küçük çarpım negatif olmalı: sayılar zıt işaretli ve mutlak değerleri olabildiğince büyük seçilir
→ İki durum karşılaştırılır. - \(x = 4\), \(y = -5\): \(-20\); \(x = -2\), \(y = 1\): \(-2\)
→ Daha küçük olan \(-20\). - En küçük değer \(-20\)
→ Sonuç \(-20\).
Kontrol
\(x = 4\) ve \(y = -5\) verilen aralıklardadır; \(4 \cdot (-5) = -20\) ✓
Sık yapılan hata
Uç değerleri de alıp \(5 \cdot (-6) = -30\) ya da \(4 \cdot (-6) = -24\) bulmak; eşitsizlikler kesin olduğundan bu değerler kullanılamaz.