AGS Bölme ve Bölünebilme Orta Test 1

Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.

Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.

1. 1 Bölen ile bölüm yer değiştirince kalan aynı kalırsa
   Bir bölme işleminde bölünen \(100\), kalan \(4\)'tür. Bu işlemde bölen ile bölümün yerleri değiştirildiğinde de bölme işlemi geçerli olmakta ve kalan yine \(4\) olmaktadır. Buna göre bölen ile bölümün toplamı en az kaçtır?
   1. A \(14\)
   2. B \(16\)
   3. C \(18\)
   4. D \(20\)
   5. E \(22\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Bölünen \(100\), kalan \(4\)
   • Bölen \(B\), bölüm \(Q\)
   • Yer değişince kalan yine \(4\)

   Ne soruluyor?

   \(B + Q\) en az kaç?

   Çözüm

   1. \(100 = B \cdot Q + 4\) → \(B \cdot Q = 96\)
      → Bölme algoritması.
   2. Kalan bölenden küçük olmalı: \(4 \lt B\); yer değişince \(Q\) bölen olacağından \(4 \lt Q\)
      → İki koşul birlikte.
   3. \(96\)'yı iki çarpana ayırma: \(6 \cdot 16\), \(8 \cdot 12\) (ikisi de \(4\)'ten büyük)
      → \(4 \cdot 24\), \(3 \cdot 32\)… elenir.
   4. Toplamlar \(22\) ve \(20\) → en az \(20\)
      → Sonuç \(20\).

   Kontrol

   \(100 = 8 \cdot 12 + 4\) ve \(100 = 12 \cdot 8 + 4\) ✓

   Sık yapılan hata

   \(4 \cdot 24\) çarpanlarını da alıp kalanın bölenden küçük olması kuralını unutmak.

2. 2 Altıya bölünen ve rakamları farklı ürün kodları
   Bir mağaza ürünlerine \(a7b\) biçiminde üç basamaklı kodlar veriyor. Kodların hepsi \(6\) ile tam bölünüyor ve her kodun rakamları birbirinden farklı. Mağaza bu koşullara uyan kaç farklı kod verebilir?
   1. A \(11\)
   2. B \(12\)
   3. C \(13\)
   4. D \(14\)
   5. E \(15\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(a7b\), \(a \ne 0\)
   • \(6\) ile bölünür
   • Rakamlar farklı

   Ne soruluyor?

   Kaç farklı kod?

   Çözüm

   1. \(6 = 2 \cdot 3\): \(b\) çift ve \(a + 7 + b\), \(3\)'ün katı olmalı
      → İki kural birlikte.
   2. \(a + b + 7\), \(3\)'ün katı ⇔ \(a + b\)'nin \(3\) ile kalanı \(2\)
      → \(7\)'nin kalanı \(1\).
   3. \(b = 0\): \(a \in \{2, 5, 8\}\); \(b = 2\): \(a \in \{3, 6, 9\}\); \(b = 6\): \(a \in \{2, 5, 8\}\); \(b = 8\): \(a \in \{3, 6, 9\}\)
      → Bu durumlarda rakam tekrarı yok: \(4 \cdot 3 = 12\) kod.
   4. \(b = 4\): \(a \in \{1, 4, 7\}\); ama \(a = 4\) (\(b\) ile aynı) ve \(a = 7\) (ortadaki ile aynı) olamaz → yalnızca \(174\)
      → \(1\) kod.
   5. \(12 + 1 = 13\)
      → Sonuç \(13\).

   Kontrol

   Örneğin \(570 = 6 \cdot 95\), \(174 = 6 \cdot 29\); \(474\) ve \(774\) rakam tekrarı nedeniyle elenir ✓

   Sık yapılan hata

   Rakamların farklı olması koşulunu unutup \(15\) kod saymak.

3. 3 Dört rakamla yazılan ve dördün katı olan sayılar
   \(2\), \(3\), \(4\) ve \(5\) rakamlarının her biri birer kez kullanılarak yazılan dört basamaklı sayılardan kaç tanesi \(4\) ile tam bölünür?
   1. A \(6\)
   2. B \(7\)
   3. C \(8\)
   4. D \(9\)
   5. E \(12\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Rakamlar \(2, 3, 4, 5\), her biri bir kez
   • Sayı \(4\)'ün katı

   Ne soruluyor?

   Kaç tane?

   Çözüm

   1. \(4\) ile bölünebilme: son iki basamak \(4\)'ün katı olmalı
      → Önce son iki basamak seçilir.
   2. Bu rakamlarla (tekrarsız) \(4\)'ün katı olan iki basamaklılar: \(24\), \(32\), \(52\)
      → \(44\) tekrar ister; \(34\), \(42\), \(54\) bölünmez.
   3. Her biri için kalan iki rakam ilk iki basamağa \(2! = 2\) şekilde yazılır
      → Örneğin \(24\) için \(3524\) ve \(5324\).
   4. \(3 \cdot 2 = 6\)
      → Sonuç \(6\).

   Kontrol

   Sayılar: \(3524, 5324, 4532, 5432, 3452, 4352\) → \(6\) tane ✓

   Sık yapılan hata

   Son rakamın çift olmasını yeterli sanıp \(12\) saymak.

4. 4 İkiye katlanan dizinin yüzüncü teriminin kalanı
   Bir sayı dizisinin ilk terimi \(2\)'dir ve her terim bir öncekinin \(2\) katıdır. Bu dizinin \(100\). teriminin \(7\) ile bölümünden kalan kaçtır?
   1. A \(0\)
   2. B \(1\)
   3. C \(2\)
   4. D \(3\)
   5. E \(4\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Terimler \(2, 4, 8, 16, \ldots\)
   • \(n\). terim \(2^n\)

   Ne soruluyor?

   \(2^{100}\)'ün \(7\) ile bölümünden kalan?

   Çözüm

   1. Kalanlar: \(2^1 \to 2\), \(2^2 \to 4\), \(2^3 = 8 \to 1\), \(2^4 \to 2\), …
      → Kalanlar \(3\) adımda bir tekrar eder: \(2, 4, 1\).
   2. \(100 = 3 \cdot 33 + 1\)
      → Kuvvetin \(3\) ile bölümünden kalan \(1\).
   3. Döngünün \(1\). elemanı → kalan \(2\)
      → Sonuç \(2\).

   Kontrol

   \(2^{99} = (2^3)^{33}\) kalanı \(1\); \(2^{100} = 2^{99} \cdot 2\) kalanı \(2\) ✓

   Sık yapılan hata

   Döngüyü \(0\)'dan saymaya başlayıp \(4\) ya da \(1\) demek.

5. 5 Martın üçünden haziranın yirmi beşine gün adı
   Bir yılın \(3\) Mart günü Çarşamba'dır. Buna göre aynı yılın \(25\) Haziran günü haftanın hangi günüdür?
   1. A Cuma
   2. B Salı
   3. C Perşembe
   4. D Cumartesi
   5. E Pazar
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(3\) Mart Çarşamba
   • Mart \(31\), Nisan \(30\), Mayıs \(31\) gün

   Ne soruluyor?

   \(25\) Haziran hangi gün?

   Çözüm

   1. Mart'ta kalan gün: \(31 - 3 = 28\); Nisan \(30\); Mayıs \(31\); Haziran \(25\)
      → Aradaki gün sayısı toplanır.
   2. \(28 + 30 + 31 + 25 = 114\) gün sonra
      → \(3\) Mart'tan \(25\) Haziran'a.
   3. \(114 = 7 \cdot 16 + 2\) → kalan \(2\)
      → Tam haftalar günü değiştirmez.
   4. Çarşamba'dan \(2\) gün sonra: Cuma
      → Cevap: Cuma.

   Kontrol

   \(3\) Mart'tan \(112\) gün sonra (\(23\) Haziran) yine Çarşamba; \(25\) Haziran Cuma ✓

   Sık yapılan hata

   Mart'ın \(31\) gününün hepsini sayıp \(117\) gün bulmak ya da ayları \(30\) gün almak.

6. 6 Cevizler paylaştırılınca üç artarsa çocuk sayısı
   \(75\) ceviz bir grup çocuğa eşit sayıda dağıtıldığında \(3\) ceviz artıyor. Buna göre gruptaki çocuk sayısı kaç farklı değer alabilir?
   1. A \(8\)
   2. B \(9\)
   3. C \(10\)
   4. D \(11\)
   5. E \(12\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(75\) ceviz
   • Eşit dağıtımda \(3\) ceviz artıyor

   Ne soruluyor?

   Çocuk sayısı kaç farklı değer alır?

   Çözüm

   1. \(75 = n \cdot k + 3\) → \(n \cdot k = 72\): çocuk sayısı \(n\), \(72\)'nin bölenidir
      → Dağıtılan ceviz \(72\).
   2. Kalan bölenden küçük olmalı: \(n \gt 3\)
      → Aksi halde artan cevizler de dağıtılırdı.
   3. \(72\)'nin bölenleri: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72\); \(3\)'ten büyük olanlar \(9\) tane
      → Sonuç \(9\).

   Kontrol

   Örneğin \(n = 4\): \(75 = 4 \cdot 18 + 3\); \(n = 72\): \(75 = 72 \cdot 1 + 3\) ✓

   Sık yapılan hata

   \(72\)'nin bütün bölenlerini (\(12\) tane) saymak; \(1\), \(2\) ve \(3\) kişilik gruplarda \(3\) ceviz artmaz.

7. 7 Yalnızca maviye boyanan dolap numaraları
   Bir okulda \(1\)'den \(200\)'e kadar numaralanmış dolaplar vardır. Numarası \(4\)'ün katı olan dolaplar maviye boyanıyor; bunlardan numarası \(6\)'nın da katı olanlar sonra kırmızıya boyanıyor. Buna göre sonunda kaç dolap mavi kalır?
   1. A \(16\)
   2. B \(25\)
   3. C \(30\)
   4. D \(33\)
   5. E \(34\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Dolaplar \(1\)–\(200\)
   • Mavi: \(4\)'ün katı
   • Kırmızı: hem \(4\)'ün hem \(6\)'nın katı

   Ne soruluyor?

   Mavi kalan dolap sayısı?

   Çözüm

   1. \(4\)'ün katları: \(200 \div 4 = 50\) dolap
      → İlk boyamada mavi olanlar.
   2. Hem \(4\)'ün hem \(6\)'nın katı \(=\) EKOK\((4, 6) = 12\)'nin katı: \(200 \div 12 = 16\) (kalan \(8\))
      → \(24\) değil, \(12\)'nin katları.
   3. \(50 - 16 = 34\)
      → Sonuç \(34\).

   Kontrol

   \(12, 24, \ldots, 192\) → \(16\) dolap kırmızı; \(50 - 16 = 34\) ✓

   Sık yapılan hata

   Ortak katları \(4 \cdot 6 = 24\)'ün katları sanıp \(50 - 8 = 42\) bulmak.

8. 8 İki kalan koşuluyla dört basamaklı en büyük sayı
   Binler basamağında \(2\), onlar basamağında \(5\) bulunan dört basamaklı \(2a5b\) sayısı \(9\)'a bölündüğünde \(4\), \(5\)'e bölündüğünde \(3\) kalanını veriyor. Bu sayı en çok kaç olabilir?
   1. A \(2558\)
   2. B \(2653\)
   3. C \(2738\)
   4. D \(2758\)
   5. E \(2768\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(2a5b\)
   • \(9\) ile kalan \(4\)
   • \(5\) ile kalan \(3\)

   Ne soruluyor?

   En büyük sayı?

   Çözüm

   1. \(5\) ile kalan \(3\) → son rakam \(3\) ya da \(8\)
      → \(5\)'e bölümden kalan son rakamdan okunur.
   2. \(9\) ile kalan: rakamlar toplamı \(7 + a + b\), \(9\)'a bölümünden kalan \(4\) olmalı
      → \(a + b\)'nin \(9\) ile kalanı \(6\).
   3. \(b = 8\): \(a + 8 \equiv 6\) → \(a = 7\) → \(2758\); \(b = 3\): \(a = 3\) → \(2353\)
      → İki aday.
   4. En büyüğü \(2758\)
      → Sonuç \(2758\).

   Kontrol

   \(2758\): rakamlar toplamı \(22 = 9 \cdot 2 + 4\) ✓, son rakam \(8\) → \(5\) ile kalan \(3\) ✓

   Sık yapılan hata

   Önce \(a = 9\) seçip \(b\)'yi ona göre aramak; koşulları sağlayan \(b\) çıkmayınca yanlış sayıya varılır.

9. 9 Bin ile bölünen ardışık çarpımda en küçük son sayı
   \(1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n\) çarpımı \(1000\) ile tam bölünebildiğine göre \(n\) doğal sayısı en az kaçtır?
   1. A \(10\)
   2. B \(12\)
   3. C \(13\)
   4. D \(14\)
   5. E \(15\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(1 \cdot 2 \cdots n\), \(1000\)'in katı

   Ne soruluyor?

   \(n\) en az kaç?

   Çözüm

   1. \(1000 = 2^3 \cdot 5^3\)
      → Çarpımda en az üç \(2\) ve üç \(5\) çarpanı olmalı.
   2. \(2\) çarpanları bol bulunur; belirleyici olan \(5\) çarpanlarıdır
      → Her çift sayı bir \(2\) getirir.
   3. \(5\) çarpanı veren sayılar: \(5, 10, 15\) → üçüncü \(5\) çarpanı \(15\)'te gelir
      → \(14\)'e kadar yalnızca iki \(5\) çarpanı vardır.
   4. \(n\) en az \(15\)
      → Sonuç \(15\).

   Kontrol

   \(14!\) içinde \(5\)'in üssü \(2\), \(15!\) içinde \(3\) ✓

   Sık yapılan hata

   \(1000 = 10^3\) diye üç tane \(10\) arayıp \(n = 30\) demek ya da \(5^3 = 125\) olduğundan \(n = 125\) sanmak.

10. 10 Yirmi ikiye bölünen sayıda rakamların en büyük çarpımı
    \(5a3b\) dört basamaklı sayısı \(22\)'nin bir katıdır. Buna göre \(a\) ile \(b\) rakamlarının çarpımı en çok kaç olabilir?
    1. A \(15\)
    2. B \(16\)
    3. C \(18\)
    4. D \(20\)
    5. E \(22\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • \(5a3b\), \(22\)'nin katı

    Ne soruluyor?

    \(a \cdot b\) en fazla kaç?

    Çözüm

    1. \(22 = 2 \cdot 11\): \(b\) çift olmalı ve \(11\) ile bölünebilme sağlanmalı
       → \(2\) ile \(11\) aralarında asal.
    2. \(11\) kuralı (sağdan \(+, -, +, -\)): \(b - 3 + a - 5 = a + b - 8\), \(11\)'in katı → \(a + b = 8\)
       → \(a + b = 19\) olamaz (en çok \(18\)).
    3. \(b\) çift: \((a, b) = (8, 0), (6, 2), (4, 4), (2, 6), (0, 8)\)
       → Çarpımlar: \(0, 12, 16, 12, 0\).
    4. En büyük çarpım \(4 \cdot 4 = 16\)
       → Sonuç \(16\).

    Kontrol

    \(5434 = 22 \cdot 247\) ✓

    Sık yapılan hata

    \(b\)'nin çift olması gerektiğini unutup \((5, 3)\) çiftinden \(15\) bulmak (\(5533\) tek sayıdır).

← Tüm testler