Koparılan yaprağın büyük sayfa numarası
Sayfaları \(1\)'den başlayarak numaralanmış bir kitapta her yaprağın ön yüzünde tek, arka yüzünde onu izleyen çift numara vardır (\(1\)–\(2\), \(3\)–\(4\), …). Bu kitaptan bir yaprak koparıldığında kalan sayfa numaralarının toplamı \(1236\) oluyor. Koparılan yaprağın üzerindeki büyük sayfa numarası kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- Yapraklar \((2k - 1, 2k)\) çiftleri
- Kalan toplam \(1236\)
Ne soruluyor?
Koparılan yapraktaki büyük numara?
Çözüm
- \(1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2}\) toplamı \(1236\)'yı az farkla geçmelidir: \(n = 49\) için \(1225\) (az), \(n = 50\) için \(1275\).
→ Kitabın sayfa sayısını tahmin ederiz. - \(n = 50\): koparılan sayfaların toplamı \(1275 - 1236 = 39\) → \((2k - 1) + 2k = 4k - 1 = 39\) → \(k = 10\); sayfalar \(19\) ve \(20\)
→ Yaprak toplamı \(4k - 1\) biçimindedir. - \(n = 51\) için fark \(90\), \(n = 52\) için \(142\) olur; ikisi de \(4k - 1\) biçiminde değildir (daha büyük \(n\) için fark tek yaprağı aşar). Büyük numara \(20\)
→ Sonuç: \(20\).
Kontrol
\(1275 - 19 - 20 = 1236\) ✓
Sık yapılan hata
Koparılan sayfaların toplamını (\(39\)) ya da küçük numarayı (\(19\)) cevap vermek.