EBOB ve EKOK'u verilen sayıların en küçük toplamı
\(a\) ve \(b\) doğal sayılar olmak üzere EBOB\((a, b) = 6\) ve EKOK\((a, b) = 180\)'dir. Buna göre \(a + b\) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- EBOB\((a, b) = 6\)
- EKOK\((a, b) = 180\)
Ne soruluyor?
\(a + b\) en az kaçtır?
Çözüm
- \(a = 6x\), \(b = 6y\); \(x\) ile \(y\) aralarında asal.
→ EBOB çıkarıldıktan sonra kalan çarpanlar ortak olamaz. - EKOK \(= 6xy = 180\) → \(xy = 30\)
→ Aralarında asal sayıların EKOK'u çarpımlarıdır. - \(xy = 30\) olan aralarında asal ikililer: \((1, 30)\), \((2, 15)\), \((3, 10)\), \((5, 6)\)
→ \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\); her asal çarpan ya \(x\)'e ya \(y\)'ye gider. - Toplamlar \(6(x + y)\): \(186\), \(102\), \(78\), \(66\)
→ Her ikili için hesaplandı. - En küçüğü \(66\) (sayılar \(30\) ve \(36\))
→ \(x\) ile \(y\) birbirine yaklaştıkça toplam küçülür.
Kontrol
\(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\), \(36 = 2^2 \cdot 3^2\) → EBOB \(= 2 \cdot 3 = 6\) ✓ EKOK \(= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180\) ✓ \(30 + 36 = 66\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca ilk akla gelen ikiliyi (\(6\) ve \(180\)) kullanıp \(186\) demek. Aralarında asal olmayan \(x, y\) seçmek (örneğin \(x = 3\), \(y = 6\)) EBOB'u değiştirir; o ikililer koşulu sağlamaz.