EBOB'u ve toplamı verilen sayıların en büyük çarpımı
EBOB'u \(9\) olan birbirinden farklı iki doğal sayının toplamı \(72\)'dir. Buna göre bu iki sayının çarpımı en fazla kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- EBOB\((a, b) = 9\)
- \(a + b = 72\)
- \(a \ne b\)
Ne soruluyor?
\(a \cdot b\) en fazla kaçtır?
Çözüm
- \(a = 9x\), \(b = 9y\) yazalım; \(x\) ile \(y\) aralarında asal olmalı.
→ \(x\) ve \(y\) ortak bir çarpan taşısaydı EBOB \(9\)'dan büyük olurdu. - \(9x + 9y = 72\) → \(x + y = 8\)
→ Toplam \(9\)'a bölündü. - Adaylar: \((1, 7)\), \((3, 5)\) ✓ \((2, 6)\) ✗ (ortak \(2\)) \((4, 4)\) ✗ (sayılar eşit, üstelik ortak \(4\))
→ \(x \lt y\) alarak bütün ikililer tarandı. - Çarpımlar: \(81 \cdot 1 \cdot 7 = 567\) ve \(81 \cdot 3 \cdot 5 = 1215\)
→ \(a \cdot b = 81 \cdot x \cdot y\). - En büyüğü \(1215\)
→ Sayılar \(27\) ve \(45\).
Kontrol
EBOB\((27, 45)\): \(27 = 3^3\), \(45 = 3^2 \cdot 5\) → \(3^2 = 9\) ✓ \(27 + 45 = 72\) ✓ \(27 \cdot 45 = 1215\) ✓
Sık yapılan hata
"Toplamı sabit iki sayının çarpımı, sayılar eşitken en büyüktür" kuralıyla \(36 \cdot 36 = 1296\) demek. Sayılar hem farklı olmalı hem EBOB'ları \(9\) olmalı; \(36\) ile \(36\)'nın EBOB'u \(36\)'dır.