Bulunan köklerin paydayı sıfırladığı kesirli denklem
\(\dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{2}{x + 2} = \dfrac{8}{x^2 - 4}\) denkleminin gerçek sayılardaki çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{x}{x - 2} - \dfrac{2}{x + 2} = \dfrac{8}{x^2 - 4}\)
- \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\); \(x \ne 2\), \(x \ne -2\)
Ne soruluyor?
Çözüm kümesi?
Çözüm
- Her terim \((x - 2)(x + 2)\) ile çarpılır: \(x(x + 2) - 2(x - 2) = 8\)
→ Ortak payda iki kare farkıdır. - \(x^2 + 2x - 2x + 4 = 8\) → \(x^2 = 4\) → \(x = 2\) ya da \(x = -2\)
→ Doğrusal terimler birbirini götürür. - İki değer de paydalardan birini sıfır yapar; denklemin tanım kümesinde değildir
→ \(x = 2\) için \(\dfrac{x}{x - 2}\), \(x = -2\) için \(\dfrac{2}{x + 2}\) tanımsızdır. - Çözüm kümesi boş kümedir: \(\emptyset\)
→ Sonuç \(\emptyset\).
Kontrol
\(x = 2\) yerine konunca \(\dfrac{2}{0}\) tanımsız; \(x = -2\) için \(\dfrac{2}{0}\) tanımsız; başka kök yoktur ✓
Sık yapılan hata
Paydaları sıfırlayan değerleri denetlemeden \(\{-2, 2\}\) ya da yalnız pozitif kökü alıp \(\{2\}\) işaretlemek.