Birden kesir çıkarılarak kurulan çarpanların çarpımı
\(\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{3}\right) \cdot \left(1 - \dfrac{1}{4}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{1}{10}\right)\) çarpımının sonucu kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- Çarpanlar \(1 - \dfrac{1}{k}\), \(k = 2, 3, \ldots, 10\)
Ne soruluyor?
Çarpımın sonucu?
Çözüm
- Her parantez sadeleşir: \(1 - \dfrac{1}{k} = \dfrac{k - 1}{k}\)
→ Ortak paydayla çıkarma. - Çarpım: \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} \cdots \dfrac{9}{10}\)
→ Her kesrin paydası bir sonrakinin payıdır. - Ara çarpanlar sadeleşir; geriye ilk pay \(1\) ve son payda \(10\) kalır: \(\dfrac{1}{10}\)
→ Sonuç \(\dfrac{1}{10}\).
Kontrol
İlk üç çarpan: \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{4}\); kalıp doğru ✓
Sık yapılan hata
Sadeleşmeden sonra son paydayı yanlış alıp \(\dfrac{1}{9}\) ya da \(\dfrac{1}{11}\) bulmak ya da çarpımı toplama çevirip \(1 - \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} - \cdots\) yazmak.