Oran - Orantı Konu Anlatımı

Oran ve orantı nedir?

KPSS'de oran–orantı hem tek başına soru olarak gelir hem de işçi, havuz, karışım, yaş ve hareket problemlerinin temelini oluşturur. Bu konuyu iyi kavrayan öğrenci, problemlerin büyük bölümünü "k" sabitiyle hızlıca çözer.

Örnek: Bir sınıfta 12 kız ve 18 erkek öğrenci vardır.
Kızların erkeklere oranı: \(\frac{12}{18} = \frac{2}{3}\)
Kızların bütün sınıfa oranı: \(\frac{12}{30} = \frac{2}{5}\)

Orantının temel özellikleri

İçler–dışlar çarpımı

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c\]

Örnek: \(\frac{12}{x} = \frac{8}{6}\) ise içler–dışlar çarpımıyla \(8 \cdot x = 12 \cdot 6 = 72\), buradan \(x = 9\) bulunur.

k sabitiyle çalışma

Eşit oranlarda her terim k cinsinden yazılır. Bu, konunun en güçlü yöntemidir:
\(\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7} = k\) ise \(a = 3k\), \(b = 5k\), \(c = 7k\) olur.

Örnek: \(\frac{a}{3} = \frac{b}{5} = \frac{c}{7}\) ve \(a + b + c = 45\) olsun.
\(3k + 5k + 7k = 15k = 45 \Rightarrow k = 3\)
\(a = 9\), \(b = 15\), \(c = 21\)

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = k \Rightarrow \frac{a + c}{b + d} = k \quad \frac{a \cdot c}{b \cdot d} = k^2\]

Zincir oran

İki ayrı oranda ortak bir terim varsa (\(\frac{a}{b}\) ve \(\frac{b}{c}\) gibi), ortak terimin karşılıkları EKOK ile eşitlenir ve üç sayı tek bir oranla yazılır.

Örnek: \(\frac{a}{b} = \frac{2}{3}\) ve \(\frac{b}{c} = \frac{4}{5}\) olsun. b iki oranda 3 ve 4 ile temsil ediliyor; EKOK(3, 4) = 12.
Birinci oran 4 ile genişletilir: a : b = 8 : 12
İkinci oran 3 ile genişletilir: b : c = 12 : 15
Sonuç: a : b : c = 8 : 12 : 15

Doğru orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa (biri azalırken diğeri aynı oranda azalıyorsa) bu çokluklar doğru orantılıdır. Bölümleri sabittir.

\[\frac{y}{x} = k \quad \text{veya} \quad y = k \cdot x\]

Örnek: y ile x doğru orantılıdır ve \(x = 4\) iken \(y = 10\) olsun.
\(k = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\)
\(x = 10\) iken \(y = \frac{5}{2} \cdot 10 = 25\) olur.

Ters orantı

İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa bu çokluklar ters orantılıdır. Çarpımları sabittir.

\[x \cdot y = k \quad \text{veya} \quad y = \frac{k}{x}\]

Örnek: x ile y ters orantılıdır ve \(x = 6\) iken \(y = 8\) olsun.
\(k = 6 \cdot 8 = 48\)
\(x = 12\) iken \(y = 48 \div 12 = 4\) olur.

Bileşik orantı

Bir çokluk birden fazla çoklukla aynı anda orantılıysa bileşik orantı vardır. Kural basittir: doğru orantılı olanlar paya, ters orantılı olanlar paydaya yazılır ve aranan çokluk bu kesrin k katıdır.

Örnek: y; x ile doğru, z ile ters orantılıysa \(y = k \cdot \frac{x}{z}\), yani \(\frac{y \cdot z}{x} = k\) yazılır.

İşçi problemlerinde en çok kullanılan biçim şudur: işçi sayısı, günlük çalışma saati ve gün sayısının çarpımı yapılan işle doğru orantılıdır.

\[\frac{\text{işçi} \cdot \text{saat} \cdot \text{gün}}{\text{iş}} = \text{sabit}\]

Bu formülde "isci" işçi sayısını, "saat" günlük çalışma saatini, "gun" gün sayısını, "is" yapılan iş miktarını gösterir. Verim (bir işçinin hızı) da varsa çarpıma eklenir.

Orantılı paylaştırma

Doğru orantılı paylaştırma

Bir miktar 2, 3 ve 5 sayılarıyla doğru orantılı paylaştırılacaksa paylar \(2k\), \(3k\), \(5k\) alınır ve toplamdan k bulunur.

Ters orantılı paylaştırma

Bir miktar 2, 3 ve 4 ile ters orantılı paylaştırılacaksa paylar \(\frac{k}{2}\), \(\frac{k}{3}\), \(\frac{k}{4}\) olur. Kesirlerden kurtulmak için paydaların EKOK'u olan 12 ile genişletilir:
\(\frac{1}{2} : \frac{1}{3} : \frac{1}{4} = 6 : 4 : 3\)
Artık paylar \(6k\), \(4k\), \(3k\) biçiminde yazılabilir.

Hem doğru hem ters orantılı paylaştırma

Paylar bir sayı dizisiyle doğru, diğeriyle ters orantılıysa her kişinin "ağırlığı" \(\frac{\text{doğru sayı}}{\text{ters sayı}}\) biçiminde yazılır, sonra ağırlıklar EKOK ile tam sayıya çevrilir.

Ölçek ve dişli çarklar

Örnek: 1 : 500 000 ölçekli haritada 4 cm olan uzaklık, gerçekte \(4 \cdot 500000 = 2000000\) cm \(= 20\) km'dir.

Örnek: 30 dişli bir çark 8 tur attığında, ona bağlı 20 dişli çark \(30 \cdot 8 \div 20 = 12\) tur atar.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. İki sayının oranı \(\frac{3}{5}\), toplamları 64'tür. Bu sayılardan küçük olanı kaçtır?

Çözüm: Oranı k ile yazalım: sayılar \(3k\) ve \(5k\) olsun.

Toplamdan k'yi bulalım:
\(3k + 5k = 8k = 64 \Rightarrow k = 8\)

Küçük sayı: \(3k = 3 \cdot 8 = 24\)
Büyük sayı: \(5k = 40\)

Kontrol: \(24 + 40 = 64\) ve \(\frac{24}{40} = \frac{3}{5}\). İkisi de tutuyor.
Cevap: 24

• Benzer soru: Oranı ve toplamı verilen iki sayıdan küçüğü

Örnek 2. 4 metresi 260 TL olan bir kumaşın 7 metresi kaç TL'dir?

Çözüm: Kumaşın uzunluğu arttıkça ödenen para aynı oranda artar; bu bir doğru orantıdır.

1. adım: 1 metrenin fiyatını (orantı sabitini) bulalım: \(260 \div 4 = 65\) TL
2. adım: 7 metrenin fiyatı: \(7 \cdot 65 = 455\) TL

Orantı ile: \(\frac{260}{4} = \frac{x}{7} \Rightarrow 4x = 1820 \Rightarrow x = 455\)

Kontrol: \(\frac{455}{7} = 65\) TL, metre fiyatı değişmemiş.
Cevap: 455 TL

• Benzer soru: Elma fiyatında doğru orantı

Örnek 3. 12 işçi bir işi 15 günde bitirmektedir. Aynı hızda çalışan 20 işçi bu işi kaç günde bitirir?

Çözüm: İşçi sayısı artarsa iş daha kısa sürede biter; işçi sayısı ile süre ters orantılıdır. Ters orantıda çarpım sabittir.

İşin tamamı: \(12 \cdot 15 = 180\) işçi-gün
20 işçi için süre: \(180 \div 20 = 9\) gün

Kontrol: \(20 \cdot 9 = 180\). İki durumda da çarpım aynı.
Cevap: 9

• Benzer soru: İşçi sayısı azalınca iş süresi

Örnek 4. \(\frac{a}{2} = \frac{b}{5} = \frac{c}{8}\) ve \(c - a = 36\) olduğuna göre \(a + b + c\) kaçtır?

Çözüm: Eşit oranları k'ye eşitleyelim: \(a = 2k\), \(b = 5k\), \(c = 8k\)

Farktan k'yi bulalım:
\(c - a = 8k - 2k = 6k = 36 \Rightarrow k = 6\)

Toplam: \(a + b + c = 2k + 5k + 8k = 15k = 15 \cdot 6 = 90\)

Kontrol: \(a = 12\), \(b = 30\), \(c = 48\); \(48 - 12 = 36\) ve \(12 + 30 + 48 = 90\).
Cevap: 90

• Benzer soru: Oranlı üç sayının farkından toplamı

Örnek 5. \(\frac{a}{b} = \frac{3}{4}\), \(\frac{b}{c} = \frac{6}{5}\) ve \(a + b + c = 93\) olduğuna göre c kaçtır?

Çözüm: b iki oranda ortaktır; birinci oranda 4, ikincide 6 ile temsil ediliyor. EKOK(4, 6) = 12 yapalım.

Birinci oranı 3 ile genişletelim: a : b = 9 : 12
İkinci oranı 2 ile genişletelim: b : c = 12 : 10
Zincir oran: a : b : c = 9 : 12 : 10

\(a = 9k\), \(b = 12k\), \(c = 10k\) yazalım:
\(9k + 12k + 10k = 31k = 93 \Rightarrow k = 3\)
\(c = 10 \cdot 3 = 30\)

Kontrol: \(a = 27\), \(b = 36\), \(c = 30\). \(\frac{27}{36} = \frac{3}{4}\), \(\frac{36}{30} = \frac{6}{5}\), \(27 + 36 + 30 = 93\).
Cevap: 30

• Benzer soru: Zincir orandan üçüncü sayı

Örnek 6. 5400 TL, yaşları 3, 4 ve 6 olan üç kardeş arasında yaşlarıyla ters orantılı olarak paylaştırılıyor. En çok para alan kardeş kaç TL alır?

Çözüm: Ters orantılı paylaştırmada paylar \(\frac{1}{3}\), \(\frac{1}{4}\), \(\frac{1}{6}\) ile doğru orantılıdır.

Paydaların EKOK'u 12'dir. Oranları 12 ile genişletelim:
\(\frac{12}{3} : \frac{12}{4} : \frac{12}{6} = 4 : 3 : 2\)

Paylar \(4k\), \(3k\), \(2k\) olur:
\(4k + 3k + 2k = 9k = 5400 \Rightarrow k = 600\)

En büyük pay, en küçük kardeşe (3 yaşındakine) düşer: \(4k = 2400\) TL
Diğer paylar: 1800 TL ve 1200 TL.

Kontrol: \(2400 + 1800 + 1200 = 5400\). Yaş ile pay çarpımları \(3 \cdot 2400 = 4 \cdot 1800 = 6 \cdot 1200 = 7200\), hepsi eşit; ters orantı sağlanıyor.
Cevap: 2400 TL

• Benzer soru: Yaşlarla ters orantılı paylaştırma

Örnek 7. 8400 TL'lik ödül A, B ve C yarışmacıları arasında paylaştırılacaktır. Paylar, doğru çözülen soru sayılarıyla (4, 6, 9) doğru orantılı, yapılan hata sayılarıyla (2, 3, 3) ters orantılıdır. C kaç TL alır?

Çözüm: Her yarışmacının ağırlığı = doğru sayısı ÷ hata sayısı:
A: \(\frac{4}{2} = 2\)
B: \(\frac{6}{3} = 2\)
C: \(\frac{9}{3} = 3\)

Paylar 2 : 2 : 3 oranındadır: \(2k + 2k + 3k = 7k = 8400 \Rightarrow k = 1200\)
C'nin payı: \(3k = 3600\) TL

Kontrol: A ve B 2400'er TL, C 3600 TL alır; \(2400 + 2400 + 3600 = 8400\). C, A'dan hem daha çok doğru yapmış hem de hatası A'dan fazla; ağırlık hesabı ikisini birlikte dikkate alıyor.
Cevap: 3600 TL

• Benzer soru: Biriyle doğru diğeriyle ters orantılı ödül

Örnek 8. 8 işçi günde 6 saat çalışarak bir işi 15 günde bitirmektedir. Aynı hızda çalışan 10 işçi günde 8 saat çalışarak bu işin 2 katını kaç günde bitirir?

Çözüm: Bileşik orantı kuralı: \(\frac{\text{işçi} \cdot \text{saat} \cdot \text{gün}}{\text{iş}}\) sabittir.

Birinci durum: \(\frac{8 \cdot 6 \cdot 15}{1} = 720\)
İkinci durum: \(\frac{10 \cdot 8 \cdot g}{2} = 40g\)

Eşitleyelim: \(40g = 720 \Rightarrow g = 18\)

Kontrol: İkinci durumda toplam emek \(10 \cdot 8 \cdot 18 = 1440\) işçi-saat; bu, ilk işin emeği olan \(8 \cdot 6 \cdot 15 = 720\) işçi-saatin tam 2 katı.
Cevap: 18

• Benzer soru: İş iki katına çıkınca bileşik orantıyla süre

Örnek 9. Bir çiftlikteki yem 24 hayvana 20 gün yetecek kadardır. 4 gün sonra çiftliğe 8 hayvan daha getiriliyor. Kalan yem, hayvanların hepsine kaç gün yeter?

Çözüm: Hayvan sayısı ile yemin yeteceği gün sayısı ters orantılıdır.

1. adım: 4 gün sonra kalan yem, 24 hayvana \(20 - 4 = 16\) gün yetecek kadardır.
Kalan yem: \(24 \cdot 16 = 384\) hayvan-gün

2. adım: Yeni hayvan sayısı \(24 + 8 = 32\)
Süre: \(384 \div 32 = 12\) gün

Kontrol: \(32 \cdot 12 = 384 = 24 \cdot 16\)
Cevap: 12

• Benzer soru: Hayvan sayısı artınca yemin yeteceği süre

Örnek 10. 1 : 2 000 000 ölçekli bir haritada iki şehir arasındaki uzaklık 3,5 cm'dir. Bu iki şehir arasındaki gerçek uzaklık kaç km'dir?

Çözüm: Ölçek, haritadaki 1 cm'nin gerçekte 2 000 000 cm olduğunu söyler.

1. adım: Gerçek uzaklık (cm): \(3{,}5 \cdot 2000000 = 7000000\) cm
2. adım: km'ye çevirelim. 1 km = 100 000 cm olduğundan \(7000000 \div 100000 = 70\) km

Kısa yol: 1 cm gerçekte \(2000000 \div 100000 = 20\) km'dir; \(3{,}5 \cdot 20 = 70\) km.
Cevap: 70 km

• Benzer soru: Harita ölçeğinden gerçek uzaklık

Örnek 11. Birbirine geçmiş iki dişli çarktan A'nın 36, B'nin 24 dişi vardır. A çarkı 10 tur attığında B çarkı kaç tur atar?

Çözüm: Birbirine geçen çarklarda aynı sürede geçen diş sayısı eşittir; diş sayısı ile tur sayısı ters orantılıdır.

A'da geçen diş sayısı: \(36 \cdot 10 = 360\)
B'nin tur sayısı: \(360 \div 24 = 15\)

Kontrol: Az dişli çark daha çok tur atar; B'nin dişi A'nınkinden az, turu A'nınkinden fazla. \(24 \cdot 15 = 360\).
Cevap: 15

• Benzer soru: Birbirine geçen dişlilerde tur sayısı

Örnek 12. x ile y ters orantılıdır. x %25 artırılırsa y yüzde kaç azalır?

Çözüm: Ters orantıda \(x \cdot y = k\) sabittir.

Kolaylık için \(x = 100\), \(y = 100\) alalım: \(k = 10000\).
x %25 artınca \(x = 125\) olur.
Yeni y: \(10000 \div 125 = 80\)

y, 100'den 80'e inmiştir; azalış \(100 - 80 = 20\), yani %20.

Kontrol: \(125 \cdot 80 = 10000\), çarpım değişmedi.
Cevap: %20

• Benzer soru: Ters orantıda yüzde değişim

Örnek 13. Bir sınıftaki kız öğrencilerin sayısının erkek öğrencilerin sayısına oranı \(\frac{3}{5}\)'tir. Sınıfa 6 kız öğrenci katılınca bu oran \(\frac{3}{4}\) oluyor. Sınıfın başlangıçtaki mevcudu kaçtır?

Çözüm: Başlangıçta kızlar \(3k\), erkekler \(5k\) olsun. Erkek sayısı değişmiyor.

Yeni oranı yazalım:
\(\frac{3k + 6}{5k} = \frac{3}{4}\)
İçler–dışlar çarpımı: \(4 \cdot (3k + 6) = 3 \cdot 5k\)
\(12k + 24 = 15k \Rightarrow 3k = 24 \Rightarrow k = 8\)

Başlangıçta 24 kız, 40 erkek vardır; mevcut \(24 + 40 = 64\).

Kontrol: \(\frac{24}{40} = \frac{3}{5}\) ve \(\frac{24 + 6}{40} = \frac{30}{40} = \frac{3}{4}\)
Cevap: 64

• Benzer soru: Yeni kız öğrencilerle eşitlenen oran

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• Oran - Orantı soruları (sitemizde tüm sorular)

Kendini dene: Oran - Orantı çözümlü testleri →