Mehmet HocaMatematik
Faiz Problemleri 11 dk okuma

Faiz Problemleri Konu Anlatımı

Faiz nedir?

KPSS'de faiz soruları, yüzde hesabının zamana yayılmış hâlidir. Bankaya yatırılan para belli bir süre sonunda belli bir oranda kazanç getirir; bu kazanca faiz denir. Sorular genellikle basit faiz üzerinedir; bileşik faiz ise daha az ama düzenli olarak sorulur.

Temel kavramlar

  • Anapara (A): Bankaya yatırılan ilk para.
  • Faiz oranı (n): Yüzde olarak verilen yıllık oran (aksi söylenmedikçe).
  • Süre (t): Paranın bankada kaldığı süre (yıl, ay ya da gün).
  • Faiz (F): Paranın bu sürede getirdiği kazanç.
  • Tutar (anapara + faiz): Süre sonunda hesapta biriken toplam para.

Basit faiz formülleri

Basit faizde faiz yalnızca anapara üzerinden hesaplanır; her yıl aynı miktarda faiz eklenir. Süre birimine göre formülün paydası değişir.

\[F = \frac{A \cdot n \cdot t}{100} \quad (t \text{ yıl})\]

\[F = \frac{A \cdot n \cdot t}{1200} \quad (t \text{ ay})\]

\[F = \frac{A \cdot n \cdot t}{36000} \quad (t \text{ gün, 1 yıl = 360 gün})\]

\[F = \frac{A \cdot n \cdot t}{36500} \quad (1 \text{ yıl = 365 gün})\]

Örnek: 10.000 TL, yıllık %24 basit faizle:

  • 1 yılda \(\frac{10000 \cdot 24 \cdot 1}{100} = 2400\) TL
  • 9 ayda \(\frac{10000 \cdot 24 \cdot 9}{1200} = 1800\) TL
  • 45 günde (1 yıl 360 gün) \(\frac{10000 \cdot 24 \cdot 45}{36000} = 300\) TL faiz getirir.

Formülde n her zaman yıllık orandır. Soruda "aylık %2" gibi aylık oran verilirse ya yıllık orana çevrilir (\(2 \cdot 12 = 24\)) ya da \(F = \frac{A \cdot (\text{aylık oran}) \cdot (\text{ay})}{100}\) kullanılır. Gün hesabında bir yılın 360 mı 365 gün mü alınacağı soruda belirtilir; hangisi verildiyse paydada o kullanılır.

Tutar (anapara + faiz)

\[\text{Tutar} = A + F = A \cdot \left(1 + \frac{n \cdot t}{100}\right)\]

"Faiziyle birlikte 27.200 TL oldu" gibi ifadelerde verilen sayı faiz değil tutardır. Anaparaya ulaşmak için tutar, \(\left(1 + \frac{n \cdot t}{100}\right)\) çarpanına bölünür.

Faizin anaparaya oranı

Basit faizde faizin anaparaya oranı yalnızca \(n \cdot t\) çarpımına bağlıdır: \(\frac{F}{A} = \frac{n \cdot t}{100}\).

  • Para iki katına çıkıyorsa faiz anaparaya eşittir: \(n \cdot t = 100\) (t yıl).
  • Faiz anaparanın yarısı ise \(n \cdot t = 50\); %45'i ise \(n \cdot t = 45\).

Örnek: Yıllık %25 basit faizle para \(100 \div 25 = 4\) yılda iki katına, \(200 \div 25 = 8\) yılda üç katına çıkar.

Bileşik faiz

Bileşik faizde her dönemin sonunda faiz anaparaya eklenir ve bir sonraki dönemin faizi bu yeni tutar üzerinden hesaplanır ("faizin de faizi alınır"). Her yıl, tutar aynı çarpanla çarpılır.

\[\text{Tutar} = A \cdot \left(1 + \frac{n}{100}\right)^t\]

Örnek: 10.000 TL, yıllık %20 faizle 2 yıl:

  • Basit faizle: \(10000 + 2 \cdot 2000 = 14000\) TL
  • Bileşik faizle: \(10000 \cdot 1{,}2 \cdot 1{,}2 = 14400\) TL

Aradaki 400 TL, birinci yılın 2000 TL'lik faizinin ikinci yıl getirdiği faizdir (\(2000 \cdot 0{,}2 = 400\)).

Basit ve bileşik faiz farkı (2 yıl)

İki yıllık bileşik faiz ile basit faiz arasındaki fark \(A \cdot \left(\frac{n}{100}\right)^2\)'dir. Örneğin %10 için fark, anaparanın \(0{,}01\)'i, yani %1'idir.

Soru tipleri ve yöntemler

1. Formüldeki bilinmeyeni bulma

F, A, n, t'den üçü verilir, dördüncüsü sorulur. Doğru formülü (yıl, ay, gün) seçip bilinmeyeni yalnız bırakmak yeterlidir. Ay cinsinden süre çıkarsa yıl ve aya çevirmeyi unutma (30 ay = 2 yıl 6 ay).

2. İki farklı süredeki tutarlar

Aynı para iki farklı sürede iki farklı tutara ulaşıyorsa, tutarlar arasındaki fark aradaki sürenin faizidir. Buradan yıllık faiz, sonra anapara bulunur.

3. Paranın farklı oranlara bölünmesi

Paranın bir kısmı (x) bir orana, kalanı (toplam − x) başka bir orana yatırılır. Faizler ayrı ayrı yazılıp toplanır ya da eşitlenir. "Faiz gelirleri eşit" ise yüksek oranlı kısma daha az para yatırılmıştır; paralar oranlarla ters orantılıdır.

4. Aynı faizi farklı sürede almak

Anapara aynı ve faiz aynı isteniyorsa \(n \cdot t\) çarpımı sabit kalmalıdır. Süre kısalırsa oran aynı oranda artar.

\[n_1 \cdot t_1 = n_2 \cdot t_2\]

Çözümlü örnekler

Örnek 1. 12.000 TL, yıllık %15 basit faizle bankaya yatırılıyor. 2 yıl sonunda kaç TL faiz alınır?

Çözüm: Süre yıl cinsinden olduğu için payda 100'dür:
\(F = \frac{12000 \cdot 15 \cdot 2}{100} = 3600\) TL

Kontrol: Bir yılın faizi \(12000 \cdot 0{,}15 = 1800\) TL, iki yılın faizi 3.600 TL.
Cevap: 3.600 TL

Örnek 2. 18.000 TL, yıllık %20 basit faizle 8 aylığına bankaya yatırılıyor. Süre sonunda kaç TL faiz alınır?

Çözüm: Süre ay cinsinden olduğu için payda 1200'dür:
\(F = \frac{18000 \cdot 20 \cdot 8}{1200} = 2400\) TL

Kontrol: Yıllık faiz 3.600 TL, aylık 300 TL; 8 ayda \(8 \cdot 300 = 2400\) TL.
Cevap: 2.400 TL

Örnek 3. Yıllık %25 basit faizle bankaya yatırılan bir para, 1 yılda 4.500 TL faiz getiriyor. Yatırılan para kaç TL'dir?

Çözüm: \(4500 = \frac{A \cdot 25 \cdot 1}{100} \Rightarrow A = \frac{4500 \cdot 100}{25} = 18000\) TL

Kontrol: 18.000'in %25'i, yani dörtte biri 4.500'dür.
Cevap: 18.000 TL

Örnek 4. 25.000 TL, basit faizle 3 yıl bankada kalıyor ve 9.000 TL faiz getiriyor. Yıllık faiz oranı yüzde kaçtır?

Çözüm: \(9000 = \frac{25000 \cdot n \cdot 3}{100} \Rightarrow 9000 = 750n \Rightarrow n = 12\)

Kontrol: Yıllık faiz \(25000 \cdot 0{,}12 = 3000\) TL, 3 yılda 9.000 TL.
Cevap: %12

Örnek 5. Yıllık %40 basit faizle bankaya yatırılan bir para kaç yılda iki katına çıkar?

Çözüm: Paranın iki katına çıkması için faiz, anaparaya eşit olmalıdır (\(F = A\)):
\(A = \frac{A \cdot 40 \cdot t}{100} \Rightarrow 40t = 100 \Rightarrow t = 2{,}5\) yıl
2,5 yıl = 2 yıl 6 ay = 30 ay

Kontrol: Her yıl anaparanın %40'ı eklenir; \(2{,}5 \cdot 40 = 100\), yani %100 artış.
Cevap: 2 yıl 6 ay

Örnek 6. Yıllık %30 basit faizle bankaya yatırılan bir para 73 günde 2.190 TL faiz getiriyor. Bir yıl 365 gün alındığına göre yatırılan para kaç TL'dir?

Çözüm: Gün hesabı ve 1 yıl 365 gün olduğu için payda 36500'dür:
\(2190 = \frac{A \cdot 30 \cdot 73}{36500}\)
\(A = \frac{2190 \cdot 36500}{30 \cdot 73} = \frac{2190 \cdot 36500}{2190} = 36500\) TL

Pratik yol: 73 gün, yılın \(\frac{73}{365} = \frac{1}{5}\)'idir. Yıllık faiz \(2190 \cdot 5 = 10950\) TL; bu da anaparanın %30'u olduğundan \(A = 10950 \div 0{,}3 = 36500\) TL.
Cevap: 36.500 TL

Örnek 7. Bir miktar para yıllık %18 basit faizle bankaya yatırılıyor. 2 yıl sonunda hesapta faiziyle birlikte 27.200 TL olduğuna göre yatırılan para kaç TL'dir?

Çözüm: 27.200 TL faiz değil, tutardır (anapara + faiz).
2 yılda faiz, anaparanın \(18 \cdot 2 = 36\) yüzdesidir; tutar anaparanın %136'sıdır:
\(A \cdot 1{,}36 = 27200 \Rightarrow A = 20000\) TL

Kontrol: Faiz \(\frac{20000 \cdot 18 \cdot 2}{100} = 7200\) TL; \(20000 + 7200 = 27200\) TL.
Cevap: 20.000 TL

Örnek 8. Basit faizle bankaya yatırılan bir para 2 yıl sonunda faiziyle birlikte 14.400 TL, 5 yıl sonunda ise 18.000 TL oluyor. Yatırılan para kaç TL ve yıllık faiz oranı yüzde kaçtır?

Çözüm: İki tutar arasındaki fark, aradaki 3 yılın faizidir:
\(18000 - 14400 = 3600\) TL → yıllık faiz \(3600 \div 3 = 1200\) TL
2 yılın faizi \(2 \cdot 1200 = 2400\) TL olduğundan anapara: \(14400 - 2400 = 12000\) TL
Yıllık oran: \(\frac{1200}{12000} \cdot 100 = 10\)

Kontrol: \(12000 + 5 \cdot 1200 = 18000\) TL.
Cevap: 12.000 TL ve %10

Örnek 9. 50.000 TL'nin bir kısmı yıllık %20, kalanı yıllık %30 basit faizle bankaya yatırılıyor. 1 yıl sonunda toplam 12.000 TL faiz alındığına göre %20'lik orana kaç TL yatırılmıştır?

Çözüm: %20'ye yatırılan x TL olsun; %30'a \(50000 - x\) TL yatırılır.
\(0{,}20x + 0{,}30(50000 - x) = 12000\)
\(0{,}20x + 15000 - 0{,}30x = 12000 \Rightarrow 0{,}10x = 3000 \Rightarrow x = 30000\) TL

Kontrol: \(30000 \cdot 0{,}2 = 6000\) ve \(20000 \cdot 0{,}3 = 6000\); toplam 12.000 TL.
Cevap: 30.000 TL

Örnek 10. 70.000 TL iki kısma ayrılıyor. Birinci kısım yıllık %30, ikinci kısım yıllık %40 basit faizle 1 yıllığına yatırılıyor. İki kısmın faiz gelirleri eşit olduğuna göre %30'luk orana kaç TL yatırılmıştır?

Çözüm: Birinci kısım x, ikinci kısım \(70000 - x\) olsun. Faizler eşit:
\(0{,}30x = 0{,}40(70000 - x)\)
\(0{,}30x + 0{,}40x = 28000 \Rightarrow 0{,}70x = 28000 \Rightarrow x = 40000\) TL

Pratik yol: Faizler eşitse paralar oranlarla ters orantılıdır: \(x : (70000 - x) = 40 : 30 = 4 : 3\). 7 parça = 70.000 TL, 1 parça = 10.000 TL, x = 40.000 TL.
Kontrol: \(40000 \cdot 0{,}3 = 12000\), \(30000 \cdot 0{,}4 = 12000\).
Cevap: 40.000 TL

Örnek 11. Bir para yıllık %20 basit faizle 3 yılda belli bir faiz getiriyor. Aynı paranın aynı faizi 2 yılda getirmesi için yıllık faiz oranı yüzde kaç olmalıdır?

Çözüm: Anapara ve faiz aynı olduğuna göre \(n \cdot t\) çarpımı sabittir:
\(20 \cdot 3 = n \cdot 2 \Rightarrow n = 30\)

Kontrol: 1.000 TL için \(1000 \cdot 0{,}2 \cdot 3 = 600\) ve \(1000 \cdot 0{,}3 \cdot 2 = 600\) TL.
Cevap: %30

Örnek 12. Yıllık %18 basit faizle yatırılan bir paranın faizi kaç ay sonra anaparanın %45'ine ulaşır?

Çözüm: Faizin anaparaya oranı \(\frac{n \cdot t}{100}\)'dür (t yıl):
\(\frac{18 \cdot t}{100} = \frac{45}{100} \Rightarrow 18t = 45 \Rightarrow t = 2{,}5\) yıl
2,5 yıl = \(2{,}5 \cdot 12 = 30\) ay

Kontrol: Aylık oran \(18 \div 12 = 1{,}5\); \(30 \cdot 1{,}5 = 45\).
Cevap: 30 ay

Örnek 13. 20.000 TL, yıllık %10 bileşik faizle bankaya yatırılıyor. 2 yıl sonunda hesapta kaç TL olur?

Çözüm: Her yıl tutar \(1{,}1\) ile çarpılır.
1. yıl sonu: \(20000 \cdot 1{,}1 = 22000\) TL
2. yıl sonu: \(22000 \cdot 1{,}1 = 24200\) TL
Formülle: \(20000 \cdot 1{,}1^2 = 20000 \cdot 1{,}21 = 24200\) TL
Cevap: 24.200 TL

Örnek 14. 10.000 TL, yıllık %20 faizle 3 yıllığına bankaya yatırılıyor. Bileşik faizle alınacak faiz, basit faizle alınacak faizden kaç TL fazladır?

Çözüm: Basit faiz: \(\frac{10000 \cdot 20 \cdot 3}{100} = 6000\) TL
Bileşik faizde tutar her yıl \(1{,}2\) ile çarpılır:
1. yıl: 12.000 TL, 2. yıl: 14.400 TL, 3. yıl: 17.280 TL
Bileşik faiz: \(17280 - 10000 = 7280\) TL
Fark: \(7280 - 6000 = 1280\) TL
Cevap: 1.280 TL

Örnek 15. Bir para yıllık %10 faizle 2 yıllığına bankaya yatırılıyor. Bileşik faizle alınan faiz, basit faizle alınan faizden 300 TL fazla olduğuna göre yatırılan para kaç TL'dir?

Çözüm: Basit faiz: \(A \cdot 0{,}1 \cdot 2 = 0{,}2A\)
Bileşik faiz: \(A \cdot 1{,}1^2 - A = 1{,}21A - A = 0{,}21A\)
Fark: \(0{,}21A - 0{,}2A = 0{,}01A = 300 \Rightarrow A = 30000\) TL

Kontrol: Basit faiz 6.000 TL; bileşikte \(30000 \cdot 1{,}21 = 36300\), faiz 6.300 TL; fark 300 TL.
Cevap: 30.000 TL

Sık yapılan hatalar

  • Süre ay ya da gün iken paydayı 100 almak: ay için 1200, gün için 36000 (360 gün) ya da 36500 (365 gün) kullanılır.
  • Tutarı (anapara + faiz) faiz sanmak: "faiziyle birlikte" ifadesine dikkat.
  • Aylık verilen oranı yıllık oran gibi formüle koymak.
  • Bileşik faizde faizleri her yıl anapara üzerinden hesaplamak: bileşik faizde her yılın faizi bir önceki yılın tutarı üzerinden hesaplanır.
  • Süreyi yıl olarak bulup soruda ay istendiğini gözden kaçırmak (2,5 yıl = 30 ay).

Kısa tekrar

  • Basit faiz: \(F = \frac{A \cdot n \cdot t}{100}\) (yıl), \(\frac{A \cdot n \cdot t}{1200}\) (ay), \(\frac{A \cdot n \cdot t}{36000}\) (gün)
  • Tutar = \(A \cdot \left(1 + \frac{n \cdot t}{100}\right)\); iki katına çıkma: \(n \cdot t = 100\)
  • İki tutar farkı = aradaki sürenin faizi
  • Aynı faiz için \(n_1 \cdot t_1 = n_2 \cdot t_2\); eşit faiz getiren paralar oranlarla ters orantılı
  • Bileşik faiz: \(A \cdot \left(1 + \frac{n}{100}\right)^t\)

Konuyu pekiştir

Kendini dene: Faiz Problemleri çözümlü testleri →

WhatsApp