Temel Kavramlar Konu Anlatımı
Temel kavramlar, matematiğin bütün konularının üzerine kurulduğu zemindir. Sayı kümelerini, tek-çift ayrımını, işaret kurallarını ve işlem önceliğini oturtmadan sonraki konularda ilerlemek zordur. Bu yazıda sınavda karşınıza çıkan her alt başlığı örnekle ele alıyoruz.
1. Sayı kümeleri
Sınavda en çok karıştırılan yer burasıdır. Kümeleri iç içe düşünün:
| Küme | Simge | Elemanları |
|---|---|---|
| Sayma sayıları | \(\mathbb{Z}^+\) | \(1,\ 2,\ 3,\ \dots\) |
| Doğal sayılar | \(\mathbb{N}\) | \(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots\) |
| Tam sayılar | \(\mathbb{Z}\) | \(\dots,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ \dots\) |
| Rasyonel sayılar | \(\mathbb{Q}\) | \(\dfrac{a}{b}\) biçiminde yazılabilenler |
Kritik nokta: \(0\) bir doğal sayıdır ama sayma sayısı değildir. Ayrıca \(0\) ne pozitif ne negatiftir. Her doğal sayı aynı zamanda bir tam sayıdır; tersi doğru değildir.
2. Sayıların işaretleri
Çarpma ve bölmede işaret kuralı basittir: aynı işaret pozitif, farklı işaret negatif sonuç verir.
- \((-3) \cdot (-5) = 15\) — aynı işaret, sonuç pozitif
- \((-3) \cdot 5 = -15\) — farklı işaret, sonuç negatif
- \(\dfrac{-12}{-4} = 3\) — aynı işaret, sonuç pozitif
Toplama ve çıkarmada kural farklıdır: bir sayıyı çıkarmak, onun ters işaretlisini toplamaktır. \(7 - (-3) = 7 + 3 = 10\).
3. Tek ve çift sayılar
Ezberlemek yerine \(3\) ve \(5\) gibi küçük sayılarla deneyin — kural hemen çıkar.
| İşlem | Sonuç | Örnek |
|---|---|---|
| tek + tek | çift | \(3+5=8\) |
| tek + çift | tek | \(3+4=7\) |
| çift + çift | çift | \(4+6=10\) |
| tek \(\cdot\) tek | tek | \(3 \cdot 5 = 15\) |
| tek \(\cdot\) çift | çift | \(3 \cdot 4 = 12\) |
| çift \(\cdot\) çift | çift | \(4 \cdot 6 = 24\) |
Bir çarpımın çift olması için tek bir çift çarpan yeterlidir. Tek olması içinse bütün çarpanların tek olması gerekir.
Genel yazım: çift sayılar \(2n\), tek sayılar \(2n+1\) biçiminde yazılır. \(4a+6 = 2(2a+3)\) gibi bir ifade \(2\) parantezine alınabiliyorsa her zaman çifttir.
4. Ardışık sayılar
Ardışık sayılarda hep en küçüğe \(n\) deyin; gerisi kendiliğinden gelir.
- Ardışık tam sayılar: \(n,\ n+1,\ n+2,\ \dots\)
- Ardışık çift sayılar: \(n,\ n+2,\ n+4,\ \dots\) (\(n\) çift)
- Ardışık tek sayılar: \(n,\ n+2,\ n+4,\ \dots\) (\(n\) tek)
Dikkat: ardışık tek sayılar da ardışık çift sayılar da ikişer artar. Aralarındaki tek fark başlangıç sayısının tek mi çift mi olduğudur.
İki temel formül:
- Terim sayısı \(= \dfrac{\text{son} - \text{ilk}}{\text{adım}} + 1\)
- Toplam \(=\) terim sayısı \(\times\) ortalama, ortalama \(= \dfrac{\text{ilk} + \text{son}}{2}\)
Örnek: \(17\)'den \(45\)'e kadar tam sayıların toplamı. Terim sayısı \(45-17+1 = 29\), ortalama \(\dfrac{17+45}{2} = 31\), toplam \(29 \cdot 31 = 899\).
En sık yapılan hata \(+1\)'i unutmaktır. \(1, 2, 3\) dizisinde \(3-1 = 2\) değil, \(3-1+1 = 3\) terim vardır.
5. İşlem önceliği
Sıra şudur:
- Parantezler (en içten dışa doğru)
- Üslü ifadeler
- Çarpma ve bölme — soldan sağa
- Toplama ve çıkarma — soldan sağa
Örnek: \(20 - [\,3 \cdot (7-4) + 2\,]\). Önce \(7-4=3\), sonra \(3 \cdot 3 = 9\), sonra \(9+2 = 11\), en son \(20-11 = 9\).
Parantezin önündeki eksi, parantezin tamamını etkiler. \(20 - [9+2]\) ifadesini \(20-9+2\) diye açmak en yaygın hatadır; doğrusu \(20-9-2\)'dir.
6. Toplama ve çarpmanın özellikleri
- Değişme: \(a+b = b+a\) ve \(a \cdot b = b \cdot a\). Çıkarma ve bölmede bu geçerli değildir: \(5-3 \ne 3-5\).
- Birleşme: \((a+b)+c = a+(b+c)\)
- Birim eleman: toplamada \(0\), çarpmada \(1\). \(a+0 = a\), \(a \cdot 1 = a\).
- Yutan eleman: çarpmada \(0\). \(a \cdot 0 = 0\).
7. Dağılma özelliği
Sınavda en çok zaman kazandıran kuraldır:
\(a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c\)
Soldan sağa okursanız parantezi açarsınız; sağdan sola okursanız ortak çarpanı parantezine alırsınız. İkinci yön sınavda daha değerlidir:
\(37 \cdot 25 + 37 \cdot 75 = 37 \cdot (25+75) = 37 \cdot 100 = 3700\)
İki ayrı çarpma yapmak yerine tek bir çarpma yeterli oldu.
8. Sayıların karşılaştırılması
Negatif sayılarda sıralama terstir: mutlak değeri büyük olan negatif sayı daha küçüktür. \(-8 \lt -3\) çünkü \(-8\) sayı doğrusunda daha soldadır.
Kesirlerde karşılaştırma yaparken paydaları eşitleyin ya da her ikisini de ondalığa çevirin. Negatif kesirlerde sıfıra en yakın olan en büyüktür.
Sınavda dikkat edilecekler
- \(0\) doğal sayıdır, sayma sayısı değildir; ne pozitif ne negatiftir.
- Aralık sorularında uçların dahil olup olmadığını mutlaka okuyun.
- Terim sayısı formülünde \(+1\)'i unutmayın.
- Parantezin önündeki eksiyi parantezin tamamına dağıtın.
- "Her zaman" soran sorularda tek bir karşı örnek elemeye yeter.
- Toplamı sabit iki sayının çarpımı, sayılar birbirine yaklaştıkça büyür.