Olasılık Konu Anlatımı

Olasılık nedir?

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansını 0 ile 1 arasında bir sayıyla ifade eder. KPSS'de olasılık soruları genellikle zar, para, torbadan top çekme, kart çekme ve kişi seçme gibi durumlar üzerine kurulur. Her olasılık sorusu aslında iki sayma sorusudur: toplam kaç durum var ve bunlardan kaçı isteniyor. Bu yüzden permütasyon ve kombinasyon bilgisi burada doğrudan kullanılır.

Olasılığın hesaplanması

Örnek uzaydaki bütün çıktıların gerçekleşme şansı eşitse, bir A olayının olasılığı istenen durum sayısının bütün durumların sayısına oranıdır.

\[P(A) = \frac{s(A)}{s(E)}\]

\[0 \le P(A) \le 1\]

Örnek: Bir zar atıldığında asal sayı gelme olasılığı: asal sayılar 2, 3, 5 olduğundan \(P = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\).

Tümleyen olay

A olayının gerçekleşmemesi A' ile gösterilir. Bir olay ya gerçekleşir ya gerçekleşmez; bu iki olasılığın toplamı 1'dir.

\[P(A') = 1 - P(A)\]

Tümleyen, özellikle "en az bir" sorularında çok işe yarar: "en az bir"in tümleyeni "hiç"tir. Bu yüzden en az birinin gerçekleşme olasılığı = 1 − hiçbirinin gerçekleşmeme olasılığı olur. A ve B bağımsız olaylarsa:

\[P(A \cup B) = 1 - P(A') \cdot P(B')\]

Örnek: İki para atıldığında en az birinin yazı gelme olasılığı: hiç yazı gelmemesi yalnızca TT durumudur, olasılığı \(\frac{1}{4}\). İstenen: \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\).

Zar, para, kart

İki zarın toplamı

İki zar atıldığında üst yüzlerin toplamı ve bu toplamı veren durum sayısı:

• Toplam 2 veya 12: 1 durum
• Toplam 3 veya 11: 2 durum
• Toplam 4 veya 10: 3 durum
• Toplam 5 veya 9: 4 durum
• Toplam 6 veya 8: 5 durum
• Toplam 7: 6 durum (en olası toplam)

Örneğin iki zarın toplamının 7 olma olasılığı \(\frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)'dır. Durumlar 2'den 7'ye kadar birer artar, 7'den 12'ye kadar birer azalır; bu simetriyi hatırlamak sayımı kolaylaştırır.

Kart çekme

Numaralı kart sorularında (ör. 1'den 20'ye kadar numaralı kartlar) örnek uzayın eleman sayısı kart sayısıdır; istenen kartlar bölünebilme kurallarıyla sayılır.

Örnek: Desteden çekilen bir kartın kupa olma olasılığı \(\frac{13}{52} = \frac{1}{4}\), as olma olasılığı \(\frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)'tür. Kupa veya as olma olasılığında kupa ası iki kez sayılmamalıdır: \(\frac{13 + 4 - 1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}\).

Olasılıkta birleşim, kesişim ve bağımsızlık

Veya: birleşim kuralı

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

Bu, kümelerdeki birleşim formülünün olasılıktaki karşılığıdır. A ve B aynı anda gerçekleşemiyorsa (ayrık olaylar) \(P(A \cap B) = 0\) olur ve olasılıklar doğrudan toplanır.

Ve: bağımsız olaylar

Bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa bu olaylar bağımsızdır. Farklı zarlar, farklı paralar, farklı kişilerin atışları ve iadeli çekilişler bağımsızdır. Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı çarpımla bulunur.

\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]

İadeli ve iadesiz çekiliş

• İadeli çekiliş: Çekilen top torbaya geri atılır. Her çekilişte torba aynıdır; olasılıklar değişmez ve çekilişler bağımsızdır.
• İadesiz çekiliş: Çekilen top geri atılmaz. Her çekilişten sonra hem istenen top sayısı hem toplam top sayısı azalır.
• Aynı anda (birlikte) çekiliş: Topların sırası önemsizdir; kombinasyonla hesaplanır. Sonuç, iadesiz art arda çekilişle aynıdır.

Örnek: Torbada 3 kırmızı, 2 mavi top var. Art arda iki top çekiliyor:

• İadeli, ikisi de kırmızı: \(\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9}{25}\)
• İadesiz, ikisi de kırmızı: \(\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}\)
• Aynı anda iki top, ikisi de kırmızı: \(\frac{C(3, 2)}{C(5, 2)} = \frac{3}{10}\) (iadesizle aynı)

"Bilindiğine göre" soruları (koşullu olasılık)

Soruda bir bilgi verilmişse ("seçilen öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre") örnek uzay daralır: artık yalnızca bu bilgiyi sağlayan durumlar sayılır.

\[P(A \mid B) = \frac{s(A \cap B)}{s(B)} = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

Çözümlü örnekler

Örnek 1. Bir zar atılıyor. Üst yüze gelen sayının 4'ten büyük veya çift olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: Örnek uzay: \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), \(s(E) = 6\)
4'ten büyük olanlar: \(A = \{5, 6\}\)
Çift olanlar: \(B = \{2, 4, 6\}\)
"Veya" dendiği için birleşim alınır; 6 iki kümede de olduğu için bir kez sayılır:
\(A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}\), \(s(A \cup B) = 4\)
\(P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Kontrol (formülle): \(\frac{2}{6} + \frac{3}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6}\).
Cevap: \(\frac{2}{3}\)

Örnek 2. İki zar birlikte atılıyor.
a) Üst yüzlerdeki sayıların toplamının en az 10 olma olasılığı kaçtır?
b) İki zarın farklı sayı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm: İki zarda \(6 \cdot 6 = 36\) durum vardır.

a) Toplamı 10, 11 veya 12 olan durumlar:

• Toplam 10: (4, 6), (5, 5), (6, 4) → 3 durum
• Toplam 11: (5, 6), (6, 5) → 2 durum
• Toplam 12: (6, 6) → 1 durum

İstenen: \(3 + 2 + 1 = 6\) durum, \(P = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)

b) Tümleyeni daha kolaydır: iki zarın aynı gelmesi (1, 1), (2, 2), ..., (6, 6) olmak üzere 6 durumdur.
Farklı gelme olasılığı: \(1 - \frac{6}{36} = \frac{30}{36} = \frac{5}{6}\)
Cevap: a) \(\frac{1}{6}\) b) \(\frac{5}{6}\)

Örnek 3. Üç madeni para birlikte atılıyor.
a) Tam olarak iki tura gelme olasılığı kaçtır?
b) En az bir tura gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm: Örnek uzayın eleman sayısı: \(2^3 = 8\)

a) Tam iki tura: TTY, TYT, YTT → 3 durum. Bu sayı, 3 paradan tura gelecek 2 tanesini seçme sayısıdır: \(C(3, 2) = 3\).
\(P = \frac{3}{8}\)

b) "En az bir" olduğu için tümleyen: hiç tura gelmemesi yalnızca YYY durumudur, olasılığı \(\frac{1}{8}\).
\(P = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\)
Cevap: a) \(\frac{3}{8}\) b) \(\frac{7}{8}\)

Örnek 4. 1'den 20'ye kadar numaralandırılmış 20 kart arasından rastgele bir kart çekiliyor. Çekilen kartın numarasının 3'e veya 5'e tam bölünme olasılığı kaçtır?

Çözüm: \(s(E) = 20\)
3'e bölünenler: 3, 6, 9, 12, 15, 18 → 6 kart
5'e bölünenler: 5, 10, 15, 20 → 4 kart
Hem 3'e hem 5'e (yani 15'e) bölünenler: 15 → 1 kart
Birleşim: \(6 + 4 - 1 = 9\) kart
\(P = \frac{9}{20}\)
Cevap: \(\frac{9}{20}\)

Örnek 5. Bir torbada 5 kırmızı ve 3 mavi top vardır. Torbadan aynı anda rastgele 2 top çekiliyor.
a) İki topun da kırmızı olma olasılığı kaçtır?
b) Topların farklı renkte olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: Aynı anda çekilişte sıra önemsizdir; kombinasyon kullanılır.
Tüm durumlar: \(C(8, 2) = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28\)

a) İki kırmızı: \(C(5, 2) = 10\), \(P = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}\)

b) Bir kırmızı ve bir mavi: \(C(5, 1) \cdot C(3, 1) = 5 \cdot 3 = 15\), \(P = \frac{15}{28}\)

Kontrol: iki mavi \(C(3, 2) = 3\) durumdur; \(10 + 15 + 3 = 28\), bütün durumlar sayılmış.
Cevap: a) \(\frac{5}{14}\) b) \(\frac{15}{28}\)

Örnek 6. Bir torbada 5 kırmızı ve 3 mavi top vardır. Torbadan art arda 2 top çekiliyor. İki topun da kırmızı olma olasılığı
a) çekilen top torbaya geri atılırsa (iadeli),
b) çekilen top torbaya geri atılmazsa (iadesiz)
kaçtır?

Çözüm: a) İadeli çekilişte torba her seferinde aynıdır; çekilişler bağımsızdır:
\(\frac{5}{8} \cdot \frac{5}{8} = \frac{25}{64}\)

b) İadesiz çekilişte birinci kırmızı çekildikten sonra torbada 4 kırmızı ve toplam 7 top kalır:
\(\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}\)

Dikkat: İadesiz sonuç, bir önceki örnekte aynı anda 2 top çekerken bulunan \(\frac{5}{14}\) ile aynıdır.
Cevap: a) \(\frac{25}{64}\) b) \(\frac{5}{14}\)

Örnek 7. Ali'nin bir hedefi vurma olasılığı \(\frac{2}{3}\), Banu'nun aynı hedefi vurma olasılığı \(\frac{3}{4}\)'tür. İkisi birbirinden bağımsız olarak hedefe birer atış yapıyor.
a) Hedefin vurulma olasılığı kaçtır?
b) Hedefin yalnız bir kişi tarafından vurulma olasılığı kaçtır?

Çözüm: Iskalama olasılıkları: Ali için \(1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}\), Banu için \(1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}\)

a) Hedefin vurulması, en az birinin vurmasıdır. Tümleyeni ikisinin de ıskalamasıdır:
İkisinin de ıskalama olasılığı: \(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}\)
\(P = 1 - \frac{1}{12} = \frac{11}{12}\)

b) İki ayrık durum vardır:

• Ali vurur, Banu ıskalar: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{12}\)
• Ali ıskalar, Banu vurur: \(\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{12}\)

Toplam: \(\frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{5}{12}\)

Kontrol: ikisinin de vurması \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{6}{12}\); \(\frac{5}{12} + \frac{6}{12} = \frac{11}{12}\), (a) şıkkıyla aynı.
Cevap: a) \(\frac{11}{12}\) b) \(\frac{5}{12}\)

Örnek 8. İki zar birlikte atılıyor. Zarlardan en az birinin 6 gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm: "En az bir" olduğu için tümleyen yolunu kullanalım. Hiçbir zarın 6 gelmemesi için her zarda 5 seçenek vardır:
Hiç 6 gelmeme olasılığı: \(\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}\)
\(P = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}\)

Kontrol (sayarak): birinci zar 6 olan 6 durum, ikinci zar 6 olan 6 durum; (6, 6) iki kez sayıldığından \(6 + 6 - 1 = 11\) durum.
Cevap: \(\frac{11}{36}\)

Örnek 9. Aralarında Ali ve Veli'nin de bulunduğu 5 kişi rastgele düz bir sıraya diziliyor. Ali ile Veli'nin yan yana olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: Tüm sıralamalar: \(5! = 120\)
Ali ile Veli'yi bir blok kabul edelim: blok + 3 kişi = 4 birim, \(4! = 24\) sıralama; blok içinde 2 dizilim.
Yan yana sıralamalar: \(24 \cdot 2 = 48\)
\(P = \frac{48}{120} = \frac{2}{5}\)
Cevap: \(\frac{2}{5}\)

Örnek 10. 4 erkek ve 3 kadın arasından rastgele 3 kişilik bir ekip seçiliyor. Ekipte en az bir kadın bulunma olasılığı kaçtır?

Çözüm: Tüm ekipler: \(C(7, 3) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35\)
Tümleyen, ekipte hiç kadın olmamasıdır; yani 3 kişinin hepsi erkektir: \(C(4, 3) = 4\)
Hiç kadın olmama olasılığı: \(\frac{4}{35}\)
\(P = 1 - \frac{4}{35} = \frac{31}{35}\)
Cevap: \(\frac{31}{35}\)

Örnek 11. 1, 2, 3, 4, 5 rakamları kullanılarak rakamları farklı üç basamaklı sayılar yazılıyor. Bu sayılardan rastgele seçilen birinin çift sayı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: Tüm sayılar (basamak doldurma): \(5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\)
Çift sayılarda birler basamağı 2 veya 4 olmalıdır: 2 seçenek. Kalan iki basamak kalan 4 rakamdan sıralı seçilir: \(4 \cdot 3 = 12\)
Çift sayılar: \(2 \cdot 12 = 24\)
\(P = \frac{24}{60} = \frac{2}{5}\)

Kısa yol: Birler basamağı 5 rakamdan herhangi biri olabilir ve hepsi eşit şanslıdır; bunların 2'si çifttir, \(P = \frac{2}{5}\).
Cevap: \(\frac{2}{5}\)

Örnek 12. Bir sınıfta 18 kız ve 12 erkek öğrenci vardır. Kızların 8'i, erkeklerin 4'ü gözlüklüdür. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu bilindiğine göre bu öğrencinin kız olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: "Gözlüklü olduğu bilindiğine göre" ifadesi örnek uzayı daraltır: artık yalnızca gözlüklüler arasından seçim yapılmış gibi düşünülür.
Gözlüklü öğrenciler: \(8 + 4 = 12\) (yeni örnek uzay)
Bunlardan kız olanlar: 8
\(P = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)

Dikkat: Bilgi verilmeseydi sınıftan seçilen öğrencinin kız olma olasılığı \(\frac{18}{30} = \frac{3}{5}\) olurdu. Verilen bilgi sonucu değiştirdi; bu yüzden örnek uzay her zaman verilen bilgiye göre daraltılmalıdır.
Cevap: \(\frac{2}{3}\)

Örnek 13. Bir torbada 4 kırmızı, 3 beyaz ve 2 siyah top vardır. Torbadan aynı anda rastgele 3 top çekiliyor.
a) Üç topun da farklı renkte olma olasılığı kaçtır?
b) Üç topun da aynı renkte olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: Tüm durumlar: \(C(9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{6} = 84\)

a) Her renkten birer top: \(C(4, 1) \cdot C(3, 1) \cdot C(2, 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24\)
\(P = \frac{24}{84} = \frac{2}{7}\)

b) Üçü kırmızı: \(C(4, 3) = 4\); üçü beyaz: \(C(3, 3) = 1\); üçü siyah: imkânsız (yalnızca 2 siyah top var), 0.
\(P = \frac{4 + 1}{84} = \frac{5}{84}\)
Cevap: a) \(\frac{2}{7}\) b) \(\frac{5}{84}\)

Örnek 14. Bir torbada bir miktar kırmızı ve 4 mavi bilye vardır. Torbadan rastgele çekilen bir bilyenin kırmızı olma olasılığı \(\frac{2}{3}\)'tür. Bu torbadan iadesiz olarak art arda 2 bilye çekilirse ikisinin de mavi olma olasılığı kaçtır?

Çözüm: Kırmızı bilye sayısı x olsun. Toplam bilye sayısı \(x + 4\) olur:
\(\frac{x}{x + 4} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3x = 2x + 8 \Rightarrow x = 8\)
Torbada 8 kırmızı, 4 mavi, toplam 12 bilye vardır.

İadesiz iki mavi: birinci çekilişte \(\frac{4}{12}\), ikinci çekilişte 3 mavi ve 11 bilye kalır: \(\frac{3}{11}\)
\(P = \frac{4}{12} \cdot \frac{3}{11} = \frac{12}{132} = \frac{1}{11}\)

Kontrol (kombinasyonla): \(\frac{C(4, 2)}{C(12, 2)} = \frac{6}{66} = \frac{1}{11}\).
Cevap: \(\frac{1}{11}\)

Sık yapılan hatalar